联系生活实际,重视考查数学应用能力

1、联系生活实际，重视考查数学应用能力福建省2005年中考数学试题（课改卷）选析福建省南安市教师进修学校 潘振南（注：本文发表在CN211487/G中学数学教育（初中版）2005年第9期）我国著名数学家华罗庚教授对数学的各种应用有着精辟阐述：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁等各个方面，无处不有数学的重要贡献”。数学是社会生活和生产实践活动的产物，它来源于现实生活，又应用于指导实践活动。随着时代的发展，能用数学的眼光去看待生活，去认识世界，并综合应用数学知识和数学方法处理周围的问题，将成为每个公民应具备的基本素养。纵观2005年我省课改实验区初中毕业、升学考试数

2、学试卷，都能依据数学课程标准，联系生活实际，重视考查学生从简单的实际问题中抽象出数学模型的能力与应用数学的意识，题材取自学生熟识的生活实际，应用性较强，具有时代气息与教育价值。下面从中遴选部分试题进行评析，与同行交流探讨。一、利用数式模型解题例1（泉州、宁德联考）：据泉州统计局网上公布的数据显示，2005年第一季度泉州市完成工业总产值约为61 400 000 000元，用科学记数法表示约为 元。例2（福州）：据法制日报2005年6月8日报道，1996年至2004年八年间全国耕地面积共减少114000000亩，用科学记数法表示为（ ）。A1.14×10亩； B1.14×10亩

3、； C1.14×10亩； D0.114×10亩.【评注】在实际生活、生产实践中，存在着大量的“大数”与“小数”，为了便于书写，引进了“科学记数法”。例1、例2的问题背景来自于媒体的真实报道，其素材不是命题者凭空想像的，该题材具有爱国、爱乡的教育功能，且学生只要利用已掌握的“科学记数法”的数式模型就能顺利解题（例1答案：6.14×10，例2选：C）。例3（福州）：吐鲁番盆地低于海平面155m，记作 155m，福州鼓山绝顶峰高于海平面919m，记作 m。【评注】本题以地理知识为背景，体现了学科之间的整合，考查了学生利用数学“相反意义的量”的数式模型来解决地理问题（答案

4、：+919）。例4（福州）：瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，, 中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。请你按这种规律写出第七个数据是 。【评注】本题提供了物理光学中的一组数据作为背景材料，让学生从中寻找规律，探索构建数式模型，利用探索到的规律或模型即可解决问题（答案：）。二、构建方程（组）模型解题例5（厦门）：一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u，像距v和凸透镜的焦距f满足关系式：. 若f6厘米，v8厘米，则物距u 厘米。【评注】本题利用物理光学中的一个公式作为背景材料，学生只要把已知条件f、v的值代入该公式，就可构建一个未知数为u的方程模型进行求解（答案：24） 三、构建不等式（组）

5、模型解题例10（福州）：请你替小健同学解答以下问题：学校准备用2000元购买名著和辞典作为科艺节奖品，其中名著每套65元，辞典每本40元。现已购买名著20套，问最多还能买辞典多少本？【评注】在生活实际与生产实践中存在着大量的不等关系，因此构建不等式（组）模型解决实际问题已成为一种基本的数学解题能力。本题可设买辞典x本,依题意得40x + 65×202000, 解得x 17.5, 根据实际意义x只能取最大的整数，所以答案是17。四、构建函数模型解题例6（泉州、宁德联考）：一辆客车从泉州出发开往宁德，设客车出发t小时后与宁德的距离为s千米，下列图象能大致反映s与t之间的函数关系的是（ ）

6、A. B. C. D.【评注】05年宁德市的课改卷与泉州市的课改卷联合命题，命题人员为了体现两地联手合作精神，故以“一辆客车从泉州出发开往宁德”为背景材料，具有纪念意义。本题考察了学生数形结合的函数思想，学生可通过构建“函数S=S v t”模型来解题，其中S表示泉州与宁德的距离，V表示客车速度，这里的S与V都是常量，所以s与t之间的函数关系是一次函数，根据该函数S随着t的增大而减少，排除D。再根据S、t表示的实际意义所确定的取值范围是S 0，t 0, 排除B、C。故选A。例8（福州）百舸竞渡，激情飞扬。端午节期间某地举行龙舟比赛。甲、乙两支龙舟队在比赛时的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数

7、图象如下图所示。根据图象回答下列题： （1）1.8分钟时，哪支龙舟队处于领先位置？（2）在这次龙舟赛中，哪支龙舟队先到达终点？提前多少时间到达？（3）求乙队加速后，路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系式。【评注】端午节举行龙舟赛，是学生耳闻目睹的民间传统项目，题材亲切有趣，生动活泼，具有教育意义。本题很好地考查了学生从函数图像中获取信息的能力，第（1）、（2）题学生直接从给出的图像就可观察到答案【（1）答案：甲；（2）答案：乙，0.5分钟】，第（3）题学生要根据图中提供的数据信息构建函数模型【答案：y =300x300 (2 x 4.5 ) 】例9（泉州、宁德联考23）如图，一架梯子AB

8、斜靠在一面墙上，底端B与墙角C的距离BC为1米，梯子与地面的夹角为70°，求梯子的长度（精确到0.1米）。【评注】梯子斜靠在墙上是日常生活中常见的“景观”，此时此景一个直角三角形的图形自然而然地映入眼帘，因此构建一个三角函数模型也就水到渠成了，由cos70° =，再利用计算器即可求得梯子AB2.9米。五、综合利用各种模型解题例10（厦门) 某软件公司开发出一种图书管理软件，前期投入的开发、广告宣传费用共50000元，且每售出一套软件，软件公司还需支付安装调试费用200元.（1）试写出总费用y(元)与销售套数x(套)之间的函数关系式；（2）如果每套定价700元，软件公司至少要

9、售出多少套软件才能确保不亏本？【评注】本题材来源于市场经济活动中的投资与盈利问题，要解决这两个问题，必须综合利用函数模型与不等式模型，问题（1）构建函数模型y =50000 + 200 x, 问题（2）构建不等式模型700x 50000 + 200 x ,求得x 100，故至少要售出100套软件才能确保不亏本。例11（泉州、宁德联考）：如图，在一个横截面为RtABC的物体中，ACB=90°，CAB=30°，BC=1米。工人师傅要把此物体搬到墙边，先将AB边放在地面（直线）上，再按顺时针方向绕点B翻转到ABC的位置（在上），最后沿的方向平移到的位置，其平移的距离为线段AC的长

10、度（此时恰好靠在墙边）。（1） 请直接写出AB、AC的长；（2） 画出在搬动此物的整个过程中A点所经过的路径，并求出该路径的长度（精确到0.1米）。【评注】在实际生活中，搬动物体时常通过翻转、平移把物体放靠在墙边。本题设计巧妙，富有创意，让人耳目一新。学生解答问题（1）时，要利用三角函数模型，解答问题（2）时要利用课标新增加的“旋转”与“平移”的知识内容。例12（泉州、宁德联考）某校初一、初二两年段学生参加社会实践活动，原计划租用48座客车若干辆，但还有24人无座位坐。（1）设原计划租用48座客车x辆，试用含x的代数式表示这两个年段学生的总人数；（2）现决定租用60座客车，则可比原计划租48座

11、客车少2辆，且所租60座客车中有一辆没有坐满，但这辆车已坐的座位超过36位。请你求出该校这两个年段学生的总人数。【评注】在实际生活中，租车包车时其座位常不恰好坐满，空位、缺位现象常有发生，本题抓住“空位、缺位”这种现象大做文章。学生解答本题时，认真审题，谨慎理解题意非常关键，题中“还有24人无座位坐”要特别注意，不要变成“还有24座位无人坐”；另一句“已坐的座位超过36位”不要变成“超过36人无座位坐”。问题（1）构建数式模型即可解决（答案：48x+24）。而问题（2）要构建不等式（组）模型才便于解决，例如可由48x+2460（x 2）和48x+2460（x 3）36组合成不等式组，当然也可以

12、列出其它的不等式组合，甚至可以用一个不等式、一个方程来解决等多种方法，可见学生的解决问题能力在此表现得淋漓尽致。例15（泉州、宁德联考.）如图是某居民小区的一块直角三角形空地ABC，其斜边AB=100米， 直角边AC=80米。现要利用这块空地建一个矩形停车场DCFE，使得D点在BC边上，E、F分别是AB、AC边的中点。（1） 求另一条直角BC的长度；（2） 求停车场DCFE的面积；（3） 为了提高空地利用率，现要在剩余的BDE中，建一个半圆形的花坛，使它的圆心在BE边上，且使花坛的面积达到最大，请你在原图中画出花坛的草图，求出它的半径（不要求说明面积最大的理由），并求此时直角三角形空地ABC的

13、总利用率是百分之几（精确到1%）？【评注】随着时代发展，当今居民的生活水平不断提高，停车场、花坛已随处可见。而空地规划要合理使用，提高土地利用率，已成为管理者、设计者所考虑的问题。本题设计具有现实意义，形式新颖，层次分明，难度不大。第（1）、（2）题学生只要利用勾股定理、矩形面积公式的数式模型即可解决。第（3）题要使半圆面积最大，学生通过动手实践，动脑探索，寻找规律，即可发现当半圆与BD、DE两边都相切时，半圆面积才达到最大。本题通过综合利用数式模型、几何图形模型来解决问题，考察了学生的双基与综合应用的能力【答案：（1）60，（2）1200，（3）、69%】。综上所述，可见学生学习数学不能仅仅停留在掌握知识的层面上，而必须学会应用。教师在教学中，要增强应用意识，渗透数学建模思想。新课标十分强调，应该结合具体的教学内容采用“问题情境建立模型解释、应用与拓展