叠乘法求数列的通项公式-微课

1、叠乘法求数列的通项公式叠乘法求数列的通项公式玉门油田第一中学玉门油田第一中学张力琼张力琼 ;1.2例.已知下列各数列的递推公式，求的通项公式nnnn* *n+1n1nn+1n1nn*n*1n+1nn1n+1nn* *1n+1nn1n+1nn1nn-1n1nn-1naaaa3 31.a= 2a ,1.a= 2a ,且且a =,na =,nN ,N ,求求a a2 22.a = 2,a= a3 ,n2.a = 2,a= a3 ,nN ,N ,求求a a3.a =1,na=(n+1)a ,n3.a =1,na=(n+1)a ,nN ,N ,求求a a4.a =1,a =a+1, (n4.a =1,a

2、 =a+1, (n2),2),求求a a相邻两个项的系数不相等坠）* *n n+ +1 1n na a= = f f( (n na a + +g g( (n n) ), ,f f( (n n) )1 1, ,n nN N11324123113241231111qa,aaaa,aaaa,annnnnnnnnnnnaaqaqqqqaaaaqaaaaqaaq-=鬃鬃=已 知 等 比 数 列的 首 项 为， 公 比 为由 等 比 数 列 的 定 义 可 得则 有 ， 回想推导等比数列的通项公式的方法n n* *1 1n n+ +1 1n nn n2 2. .a a = = 2 2, ,a a= = a

3、 a3 3 , ,n nN N , ,求求a a2-2-13-1212-2-13,3 ,3,3,nnnnnnaaaaaaaa=技=所所 以以，=nn+1n+1n na a解解：原原式式可可化化为为 3 , 3 ,a a( -1)*22 3,nN .n nna = 次所所以以叠乘法（或累商法）( -1)21-13,n nnana=将将以以上上（）个个等等式式相相乘乘，并并整整理理得得* *n n+ +1 1n n1 1n n3 31 1. .a a= = 2 2a a , ,且且a a = =, ,n nN N , ,求求a a2 2n n+ +1 1n na a解解 ： 原原 式式 可可 化化

4、 为为 = = 2 2, ,a a2*3 2,nnnN-= 孜根据等比数列的定义，可知a a23-1324123-13 333nnnaaaaaaaa鬃准 甲= 鬃鬃 * *1 1n n+ +1 1n nn n3 3. .a a = =1 1, ,n na a= =( (n n+ +1 1) )a a , ,n nN N , ,求求a a1=nn+n n+ +1 1n na a解解：原原式式可可化化为为 , ,a a2 23 3n n- -1 1n n1 12 2n n- -2 2n n- -1 1a aa aa aa a2 23 3n n- -1 1n n所所以以 , ,= =, ,= =,

5、,= =， ，= =a a1 1 a a2 2 a an n- -2 2a an n- -1 1*,.nn nN=所以a a1 1n nn n- -1 1n n1 14 4. .a a = =1 1, ,a a = =a a+ +1 1, , ( (n n2 2) ), ,求求a a2 2n nn n- -1 11 1解解：原原式式可可化化为为a a + +1 1= = 2 2（a a+ +1 1）, ,且且当当n n = =1 1时时，a a + +1 1= = 2 2, ,n n1 1a an n将将以以上上（n n- -1 1）个个等等式式叠叠乘乘，得得= =, ,a a1 1n n所所

6、以以数数列列 a a + +1 1 是是以以2 2为为首首项项，2 2为为公公比比的的等等比比数数列列，n nn n所所以以 a a + +1 1= = 2 2 , ,*n nn n所所以以 a = 2 -1,nN . a = 2 -1,nN .4343=鬃鬃创创2 23 3n n1 12 2n n- -1 1a aa aa aa a2 23 3n na aa aa aa a1 12 2n n- -1 100=坠小结：已知，求通项公式的步骤当时，1.作商,商为常数，数列为等比数列，2.商不是常数，则递推出（n-1）个等式，待定系数构法求通项；当时，利用新的等比数列求通项.累商造法* *n n+

7、 +1 1n n形形如如a a= = f f( (n n) ) a a+ + g g( (n n) ), ,f f( (n n) )1 1, ,n n N N的的递递推推公公式式g g( (n n) )g g( (n n) )* *1 1n n+ +1 1n nn n3 3. .a a = =1 1, ,n na a= =( (n n+ +1 1) )a a , ,n nN N , ,求求a a1=nn+n n+ +1 1n na a解解：原原式式可可化化为为 , ,a a2 23 3n n- -1 1n n1 12 2n n- -2 2n n- -1 1a aa aa aa a2 23 3n n- -1 1n n所所以以 , ,= =, ,= =, ,= =， ，= =a a1 1 a a2 2 a an n- -2 2a an n- -1 1*,.nn nN=所以a an n1 1a an n将将以以上上（n n- -1 1）个个等等式式叠叠乘乘，得得= =, ,a a1 14343=鬃鬃创创2 23 3n n1 12 2n n- -1 1a aa aa aa a2 23 3n na