数字信号处理(第一章)

1、1 121.1 引言引言p本书研究的对象是数字信号的分析和处理。本书研究的对象是数字信号的分析和处理。p信号通常分为：信号通常分为： 连续时间信号、离散时间信号、数字信号。连续时间信号、离散时间信号、数字信号。 通常把时间连续、幅度也连续的信号称为通常把时间连续、幅度也连续的信号称为模拟信号或称为连续时间信号。模拟信号或称为连续时间信号。 时间离散、时间离散、 幅度连续的信号被称为离散时幅度连续的信号被称为离散时间信号。间信号。 时间离散、时间离散、 幅度也离散的信号被称为数字幅度也离散的信号被称为数字信号。信号。 3p系统的作用是把信号变换成某种更合乎要求的系统的作用是把信号变换成某种更合乎

2、要求的形式。形式。p输入和输出都是模拟信号的系统被称为模拟系输入和输出都是模拟信号的系统被称为模拟系统；统；p输入和输出都是离散时间信号的系统被称为离输入和输出都是离散时间信号的系统被称为离散时间系统；散时间系统；p输入和输出都是数字信号的系统被称为数字系输入和输出都是数字信号的系统被称为数字系统。统。4时域离散信号的表示方法；时域离散信号的表示方法；典型信号、线性时不变系统的因果性和稳定性典型信号、线性时不变系统的因果性和稳定性;系统的输入输出描述法，线性常系数差分方程的系统的输入输出描述法，线性常系数差分方程的解法解法;模拟信号数字处理方法。模拟信号数字处理方法。本章主要学习本章主要学习5

3、1. 2 离散时间信号离散时间信号数字序列数字序列p在离散时间系统中，信号要用离散时间的数字在离散时间系统中，信号要用离散时间的数字序列来表示。序列来表示。),.3(),2(),1(),0(),1(),2(.)(xxxxxxnx 6一、常用的典型序列一、常用的典型序列1 1单位脉冲单位脉冲( (冲激冲激) )序列序列 0001)(nnn101231n (n) (t)t0( a )( b ) 图图1-2 1-2 单位脉冲序列和单位冲激信号单位脉冲序列和单位冲激信号 (a)(a)单位脉冲序列；单位脉冲序列； (b)(b)单位冲激信号单位冲激信号 72 2单位阶跃序列单位阶跃序列 0001)(nnn

4、uu(n)01231n图图1-3 单位阶跃序列单位阶跃序列8)1()()( nunun )()(0 kknnu与与之间的关系：之间的关系：)(n )(nu93 3矩形序列矩形序列R4(n)01231n图图1-4 矩形序列矩形序列( (N=4) ) 为其它nNnnRN0101)()()()(NnununRN 104 4实指数序列实指数序列 为实数为实数anuanxn)()( 115 5正弦型序列正弦型序列)sin()(nnx 式中式中 是正弦序列数字域的频率。是正弦序列数字域的频率。它反映了序列变化快慢的速率，或相邻两个样点它反映了序列变化快慢的速率，或相邻两个样点的弧度数。的弧度数。 图图1-

5、6 正弦序列正弦序列 12 对连续信号中的正弦信号进行对连续信号中的正弦信号进行采样，可得正弦序列。采样，可得正弦序列。 )sin()(ttxa )()sin()sin()(nxnnTtxnTta T 数字频率数字频率与模拟角频率与模拟角频率之间的关系为之间的关系为 ssfff 2说明说明：（1）数字）数字域频率是域频率是模拟模拟域频率对采样频率的归一化值域频率对采样频率的归一化值 （2）模拟正弦中的角频率单位是）模拟正弦中的角频率单位是rad/s， 而数字而数字域频率域频率单位是单位是rad。或或136 6复指数序列复指数序列 njenx)()( )sin()cos()(njnenxnj 式

6、中式中为数字域频率。若为数字域频率。若 ，可，可得：得：0 欧拉恒等式欧拉恒等式 称为复正弦序列称为复正弦序列 14如果对所有如果对所有n存在一个最小整数存在一个最小整数N，满足，满足 则称则称x(n)为周期序列，记为为周期序列，记为，最小周期为，最小周期为N。7.7.周期序列周期序列 nNnxnx)()()(nx15下面讨论一般正弦序列的周期性。下面讨论一般正弦序列的周期性。 )sin()( nAnx)sin()(sin()( NnANnANnx设设 那么 kN 2（1）当）当 为最小正整数（此时为最小正整数（此时k=1），则正弦序列是周），则正弦序列是周期序列，周期为期序列，周期为N。（2

7、）当当 为有理数时，为有理数时，P、Q为互素的整数，则正弦序为互素的整数，则正弦序列是以列是以P为周期的周期序列，且周期为周期的周期序列，且周期 。（3）当）当 无理数，任何整数无理数，任何整数k 都不能使都不能使N为正整数，因此，为正整数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。此时的正弦序列不是周期序列。N 2QP 2 2PN 2)()(nxNnx满足满足 Qk k 216若（若（1 1） （2 2） （3 3）试判断它们的周期性，画出相应的波形。试判断它们的周期性，画出相应的波形。 例例1-2 p13)8cos(2)(nnx )114cos(2)(nnx )41sin(2)(nnx 05101

8、520-2-1012正弦序列（周期为16）05101520-2-1012正弦序列（周期为11）kN 217二、序列运算二、序列运算1.乘法和加法乘法和加法 图图1-7 序列的加法和乘法序列的加法和乘法 182 2移位及翻转移位及翻转图图1-8 序列的移位图序列的移位图 图图1-9 序列的翻转序列的翻转 表示序列右移（延时）；表示序列右移（延时）；表示序列左移（超前）。表示序列左移（超前）。 )(mnx )(mnx 是以是以n=0的纵轴为对称轴左右翻转而得到的的纵轴为对称轴左右翻转而得到的 )()(nxny m为正整数为正整数 193. 3. 尺度变换尺度变换 图图1-10 序列的尺度变换序列的

9、尺度变换 表示序列每表示序列每m点点(或每隔或每隔m-1点点)取一点，称为取一点，称为序列的压缩或抽取序列的压缩或抽取。 表示把原序列两相邻值之间插入表示把原序列两相邻值之间插入m-1个零值，个零值，称为称为序列的伸展或内插零值序列的伸展或内插零值。 )(mnx)(mnx20三、任意序列的单位脉冲序列表示三、任意序列的单位脉冲序列表示 任意序列可表示成单位脉冲序列的移位加权和。任意序列可表示成单位脉冲序列的移位加权和。 即即 mmnmxnx)()()( 这种任意序列的表示方法具有这种任意序列的表示方法具有普遍意义普遍意义，在分，在分析线性时不变系统中是一个很有用的公式。析线性时不变系统中是一个

10、很有用的公式。 21) 4(2) 3() 2(5 . 1) 1(3)(2) 1(3) 2(2)( nnnnnnnnx 图图1-11 用单位采样序列移位加权和表示序列用单位采样序列移位加权和表示序列 例如例如 221.3 离散时间系统离散时间系统y(n)x(n)T图图1-14 时域离散系统时域离散系统 所谓系统所谓系统，是将输入序列，是将输入序列 变换成输出序列变换成输出序列 的一种运算，以的一种运算，以 表示这种运算。表示这种运算。 )(nx)(ny T23一、一、 线性系统线性系统 若满足若满足则此系统是线性系统。则此系统是线性系统。例例1-3 判断判断y(n)Tx(n)=5x(n)+3所表

11、示的系统所表示的系统 是否线性系统？是否线性系统？解：解：因为因为Tax1(n)+bx2(n)=5ax1(n)+bx2(n)+3， 而而ay1(n)+by2(n)5ax1(n)+5bx2(n)+3(a+b)系统满足叠加性和均匀性。系统满足叠加性和均匀性。)()()()()()(212121nbynaynbxTnaxTnbxnaxT 可见此系统不是可见此系统不是线性系统。线性系统。 增量增量线性线性系统系统p14 24 系统的响应与输入信号施加于系统的时刻无关。系统的响应与输入信号施加于系统的时刻无关。或者说，或者说，系统的参数不随时间变化，即不管输入信号系统的参数不随时间变化，即不管输入信号作

12、用的时间先后，输出信号的形状均相同，仅是出现作用的时间先后，输出信号的形状均相同，仅是出现的时间不同。的时间不同。二、时不变系统（又称移不变系统）二、时不变系统（又称移不变系统）)()(knxTkny )()(nxTny 设设 对任意整数对任意整数k，若，若 则称该系统为时不变系统则称该系统为时不变系统 25图图1-16系统时不变说明的示意图系统时不变说明的示意图 26判别判别 所代表的系统是否是时不变系统。所代表的系统是否是时不变系统。 )()(nnxny )()()(knxknkny )()(knnxknxT )()(knxTkny 解解 因为因为 因此该系统不是时不变系统。因此该系统不是

13、时不变系统。 可见可见例例1-527 既满足叠加原理，又满足时不变条件的系统，既满足叠加原理，又满足时不变条件的系统，被称为线性时不变系统。被称为线性时不变系统。1. 单位脉冲单位脉冲(冲激冲激)响应响应即：单位脉冲响应是指输入为单位脉冲序列时的系即：单位脉冲响应是指输入为单位脉冲序列时的系统输出。统输出。三、线性时不变系统三、线性时不变系统)()(nTnh 由由 可以确定任意输入时的系统输出，从而推出可以确定任意输入时的系统输出，从而推出线性时不变离散时间系统一个非常重要的描述关系式。线性时不变离散时间系统一个非常重要的描述关系式。 )(nh282. 任意输入时的系统输出任意输入时的系统输出

14、因为系统是线性时不变的，所以因为系统是线性时不变的，所以 称为称为离散卷积或线性卷积离散卷积或线性卷积。 )()()()( mmnmxTnxTny mmmmmnhmxmnTmxmnmxTmnmxTny)()( )()( )()( )()()( 任意序列都可以任意序列都可以表示成单位脉冲序表示成单位脉冲序列的移位加权和列的移位加权和 )()()()()(nhnxmnhmxnym 29线性时不变系统线性时不变系统)(nh)()()(nhnxny )(nx卷积运算有明确的物理意义，就是在卷积运算有明确的物理意义，就是在一般意义上描述了线性时不变离散时间系一般意义上描述了线性时不变离散时间系统对输入序

15、列的作用或处理作用。统对输入序列的作用或处理作用。 303.3.线性卷积的计算线性卷积的计算计算它们的卷积的步骤如下：计算它们的卷积的步骤如下： (1)折叠折叠：先在哑变量坐标轴：先在哑变量坐标轴m上画出上画出x(m)和和h(m)，将，将h(m)以纵坐标为对称轴折叠成以纵坐标为对称轴折叠成 h(-m)。 (2)移位移位：将：将h(-m)移位移位n，得，得h(n-m)。当。当n为正数时，为正数时，右移右移n；当；当n为负数时，左移为负数时，左移n。 (3)相乘相乘：将：将h(n-m)和和x(m)的对应取样值相乘。的对应取样值相乘。 (4)相加相加：把所有的乘积累加起来，即得：把所有的乘积累加起来

16、，即得y(n)。 )()()()()(nhnxmnhmxnym 3131例例1-6 设设x(n)=R4(n)， h(n)=R4(n)，求，求y(n)=x(n)*h(n)。解：采用图解法。解：采用图解法。)()(4nRnx )()(4nRnh )()()(nhnxny mmnhmxny)()()(32例例1-7 )2()1(2)(3)( nnnnx)2()1()(2)( nnnnh列表法列表法 )4()3(3)2(7)1(7)(6)( nnnnnny表表1-1例例1-7列表法列表法或写成：或写成： 401 , 3 , 7 , 7 , 6)(nny33 在在Matlab中，卷积可通过调用函数中，卷

17、积可通过调用函数y=conv(x,h)来实现。来实现。注意：注意：两个长度分别为两个长度分别为N和和M的序列，线性卷积后的序列长的序列，线性卷积后的序列长度为度为N+M-1。 MATLAB实现：实现：n = 0:5-1;x =3*impseq(0,0,2)+2*impseq(1,0,2)+impseq(2,0,2); h =2*impseq(0,0,2)+impseq(1,0,2)+impseq(2,0,2); y=conv(x,h); stem(n,y,.); ylabel(y(n); axis(-1,5,0,8);text(6.1,0.3,n)图图1-18 例例1-7的的MATLAB实现实

18、现)2()1(2)(3)( nnnnx)2()1()(2)( nnnnh运行结果为：运行结果为：y = 6 7 7 3 1 34线性卷积服从交换律、结合律和分配律线性卷积服从交换律、结合律和分配律 )()()()()()(2121nhnhnxnhnhnx )()()()()()()(2121nhnxnhnxnhnhnx 结合律结合律分配律分配律35 - -输出的变化不领先于输入的变化的系统。输出的变化不领先于输入的变化的系统。即即n=n0的输出的输出y(n0)只取决于只取决于nn0的输入的输入。在数学上因果系统满足如下方程：在数学上因果系统满足如下方程：y(n)=fx(n)，x(n-1)，x(

19、n-2)，一个线性时不变系统为一个线性时不变系统为因果系统的充分必要条件因果系统的充分必要条件: :1. 因果系统因果系统0,0)( nnh四、系统的因果性和稳定性四、系统的因果性和稳定性36非因果系统的延时实现非因果系统的延时实现 0121nx(n)0111nh(n)0121nh (n)（ a ）（ b ）（ c ）0121ny(n)3 1230121ny (n)323（ d ）（ e ）在实际中，利用数在实际中，利用数字信号处理系统作字信号处理系统作非实时处理时，可非实时处理时，可以用具有很大延时以用具有很大延时的因果系统去逼近的因果系统去逼近非因果系统。非因果系统。 37 -指对于每个有

20、界输入指对于每个有界输入x(n)，都产生有界输出，都产生有界输出y(n)的系统。即的系统。即 如果如果|x(n)|M(M为正常数为正常数)，有，有|y(n)|+，则，则该系统被称为稳定系统。该系统被称为稳定系统。 一个线性时不变系统一个线性时不变系统稳定的充分和必要稳定的充分和必要条件条件是其单位取样响应是其单位取样响应h( (n) )绝对可和，即绝对可和，即2.稳定系统稳定系统 nnh| )(|38一个线性时不变系统为因果、稳定系统一个线性时不变系统为因果、稳定系统的充分必要条件：的充分必要条件：0,0)( nnh nnh| )(|39设线性时不变系统的单位取样响应设线性时不变系统的单位取样

21、响应 ，式中式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。是实常数，试分析该系统的因果稳定性。 例例1-8)()(nuanhn aaaanhNNnNnNnnn 11100limlim)(解解 由于由于n0时，时， ，系统是因果系统。，系统是因果系统。 0)0( hanhn 11)(1 a因此系统稳定的条件是因此系统稳定的条件是: : 1 a时，时，40判别系统判别系统 的因果稳定性。的因果稳定性。解解因 果 性因 果 性 ： 因 为 只 与： 因 为 只 与 的 当 前 值 有 关 ， 而的 当 前 值 有 关 ， 而与，与， 等未来值无关，故系统等未来值无关，故系统是因果的。是因果的。 稳定性稳

22、定性：当：当 时，有时，有 ，由于由于 是有界的，所以是有界的，所以 也是有也是有界的，故系统是稳定的。界的，故系统是稳定的。 例例1-9)cos()()()( nnxnxTny)1( nx)2( nx)(nxMnx )()cos()( nMnxT1)cos( n)()(nxTny 411.4 离散时间系统的时域描述离散时间系统的时域描述 差分方程差分方程 一、常系数线性差分方程的一般表达式一、常系数线性差分方程的一般表达式其中其中ak，br都是常数。都是常数。或者：或者： MrNkkrknyarnxbny01)()()(1, )()(000 arnxbknyaMrrNkk42 该式说明，系统

23、在该式说明，系统在某时刻某时刻n的输出值的输出值y(n)不仅与不仅与该该时刻时刻的输入的输入x(n)、过去时刻的输入、过去时刻的输入x(n-1)，x(n-2)等有等有关，还与关，还与该时刻以前该时刻以前的输出值的输出值y(n-1)，y(n-2)等有关。等有关。 说明说明 MrNkkrknyarnxbny01)()()(1) )差分方程的阶数是用方程差分方程的阶数是用方程 项中的项中的 取值最大取值最大与最小之差确定的。与最小之差确定的。2) ) )(kny k1, )()(000 arnxbknyaMrrNkk43差分方程的特点差分方程的特点 采用差分方程描述系统简便、直观、易于计采用差分方程

24、描述系统简便、直观、易于计算机实现。算机实现。2.2.容易得到系统的运算结构。容易得到系统的运算结构。3.3.便于求解系统的瞬态响应。便于求解系统的瞬态响应。 但差分方程不能直接反应系统的频率特但差分方程不能直接反应系统的频率特性和稳定性等。实际上用来描述系统多数还性和稳定性等。实际上用来描述系统多数还是由是由系统函数系统函数。44 常系数差分方程的求解方法有迭代法，时域常系数差分方程的求解方法有迭代法，时域经典法，卷积法和变换域法。经典法，卷积法和变换域法。 时域经典法时域经典法类似于解微分方程，过程繁琐，类似于解微分方程，过程繁琐，应用很少，但物理概念比较清楚。应用很少，但物理概念比较清楚

25、。 迭代法迭代法( (递推法递推法) )比较简单，且适合于计算机比较简单，且适合于计算机求解，但不能直接给出一个完整的解析式作为解求解，但不能直接给出一个完整的解析式作为解答（也称闭合形式解答）。答（也称闭合形式解答）。 卷积法卷积法适用于系统起始状态为零时的求解。适用于系统起始状态为零时的求解。 变换域方法变换域方法类似于连续时间系统的拉普拉斯类似于连续时间系统的拉普拉斯变换，这里采用变换，这里采用Z Z变换法变换法来求解差分方程，这在来求解差分方程，这在实际使用上是最简单有效的方法。实际使用上是最简单有效的方法。 二、差分方程的求解二、差分方程的求解45设系统用差分方程设系统用差分方程y(

26、n)=ay(n-1)+x(n)描述，输入序描述，输入序列列x(n)=(n)，求输出序列，求输出序列y(n)。解：解： 该系统差分方程是一阶差分方程，需要一个初该系统差分方程是一阶差分方程，需要一个初始条件。始条件。 (1) 设初始条件设初始条件 y(-1)=0 y(n)=ay(n-1)+x(n)n=0时时，y(0)=ay(-1)+(0)=1n=1时时，y(1)=ay(0)+(1)=an=2时时，y(2)=ay(1)+(2)=a2n=n时时，y(n)=any(n)=anu(n)以以迭迭代代法法为为例例例例1-10 0,0)( nnh46n=0时时，y(0)=ay(-1)+(0)=1+an=1时时

27、，y(1)=ay(0)+(1)=(1+a)an=2时时，y(2)=ay(1)+(2)=(1+a)a2n=n时时，y(n)=(1+a)any(n)=(1+a)anu(n)(2)设初始条件设初始条件y(-1)=147 y(n-1)=a-1y(n)-(n) y(n)=a-1y(n+1)-(n+1) y(0)=a-1y(1)-(1)=0 y(-1)=a-1y(0)-(0)=-a-1 y(-2)=a-1y(-1)-(-1)=-a-2 y(n)=-ay(n-1)=-a n得到得到 h(n)= y(n)=-anu(-n-1)0,0)( nnh(3)设初始条件设初始条件1 nn48（1 1）一个常系数线性差分

28、方程不一定代表一）一个常系数线性差分方程不一定代表一个因果系统。个因果系统。（2 2）一个常系数线性差分方程，如果没有附）一个常系数线性差分方程，如果没有附加的起始条件，不能唯一的确定一个系统的输入加的起始条件，不能唯一的确定一个系统的输入输出关系，并且只有当起始条件选择合适时，才输出关系，并且只有当起始条件选择合适时，才相当于一个线性时不变系统。相当于一个线性时不变系统。 在以下的讨论中，除非另外声明，我们都在以下的讨论中，除非另外声明，我们都假设常系数线性差分方程所表示的系统都是指线假设常系数线性差分方程所表示的系统都是指线性时不变系统，并且多数是指因果系统。性时不变系统，并且多数是指因果

29、系统。以上结果说明：以上结果说明：49MATLAB实现实现 y=filter(b,a,x) );()2(9 . 0)1()(nxnynyny 例例1-11 a=1,-1,0.9; b=1;x=impseq(0,-20,120); % 输入输入x为单位脉冲序列为单位脉冲序列n=-20:120;h=filter(b,a,x); % 系统输出为单位脉冲响应系统输出为单位脉冲响应stem(n,h,.);50501.5 模拟信号数字处理方法模拟信号数字处理方法前置预前置预滤波器滤波器A/D变换器变换器数字信号数字信号处理器处理器D/A变换器变换器模拟模拟滤波器滤波器模拟模拟xa(t)PrFADCDSPD

30、ACPoF模拟模拟ya(t)采样采样采样恢复采样恢复5151一、采样的基本概念一、采样的基本概念 所谓所谓“采样采样”，就是利用采样脉冲序列从连续时间信号，就是利用采样脉冲序列从连续时间信号中抽取一系列的离散样值，由此得到的离散时间信号通常称中抽取一系列的离散样值，由此得到的离散时间信号通常称为采样信号，以为采样信号，以 表示。表示。 图图1-21 1-21 采样的原理框图采样的原理框图)(txa采样器采样器连续信号连续信号采样脉冲采样脉冲采样信号采样信号5252 （a）实际采样）实际采样 （b） 理想采样理想采样图图1-22 两种采样方式两种采样方式5353二、理想采样及其频谱二、理想采样及

31、其频谱 1.时域分析时域分析 数学模型数学模型 采样脉冲：采样脉冲： 理想采样输出理想采样输出: : nTnTtttp)()()( naTaanTtnTxttxtx)()()()()()()(21)(aa PXX 54先从时间域直观的来看：先从时间域直观的来看：p后面我们将讲到，每个信号都可以分解为多个不同频率、不后面我们将讲到，每个信号都可以分解为多个不同频率、不同振幅和不同相位的正弦或余弦函数叠加的形式。为讨论方同振幅和不同相位的正弦或余弦函数叠加的形式。为讨论方便我们假定要离散化的信号只有一个频率成分便我们假定要离散化的信号只有一个频率成分 。p如果此信号以每周少于两个点采样，会发生什么

32、情况呢？如果此信号以每周少于两个点采样，会发生什么情况呢？p下面我们用下面我们用MATLABMATLAB模拟来研究这种情况模拟来研究这种情况 ：p例：现有一个振幅为例：现有一个振幅为1 1，频率为，频率为10Hz10Hz，相位为，相位为0.30.3的模拟信号的模拟信号, , 即即x(t)=sin(2x(t)=sin(2* *pipi* *1010* *t+0.3)t+0.3)用用0.010.01秒的采样间隔来表示原秒的采样间隔来表示原始信号（实际上模拟信号不能用离散值表示，此处为了在计始信号（实际上模拟信号不能用离散值表示，此处为了在计算机上表示，用采样率非常高的离散信号表示模拟信号）。算机上

33、表示，用采样率非常高的离散信号表示模拟信号）。若以每秒采样若以每秒采样1010次，即采样间隔为次，即采样间隔为0.1s0.1s的采样，试绘出原始的采样，试绘出原始信号和采样后的信号信号和采样后的信号 55pdt=0.01;t=dt=0.01;t=0:0:dtdt:1:1; ; pf=10; %f=10; %原始信号的频率为原始信号的频率为10Hz10Hzpx=sin(2x=sin(2* *pipi* *f f* *t+0.3); %t+0.3); %在计算机上的原始信在计算机上的原始信号号pdt=0.1;t1=dt=0.1;t1=0:0:dtdt:1:1; %; %以以10Hz10Hz的采样频

34、率采样的采样频率采样px1=sin(2x1=sin(2* *pipi* *f f* *t1+0.3); %t1+0.3); %采样后的信号采样后的信号psubplot(3,1,1),plot(t,x),ylim(-1,1),title(subplot(3,1,1),plot(t,x),ylim(-1,1),title(原原始信号始信号)p% %绘出模拟原始信号，为与下图统一，采样绘出模拟原始信号，为与下图统一，采样y y轴的范围轴的范围-1 1-1 1用用ylimylim给出给出psubplot(3,1,2),plot(t,x,t1,x1,o),ylim(-subplot(3,1,2),plo

35、t(t,x,t1,x1,o),ylim(-1,1),title(1,1),title(采样过程采样过程)p% %绘出在模拟信号基础上的采样过程绘出在模拟信号基础上的采样过程psubplot(3,1,3),plot(t1,x1),ylim(-1,1)subplot(3,1,3),plot(t1,x1),ylim(-1,1)ptitle(title(采样后信号采样后信号),xlabel(),xlabel(时间时间/s) %/s) %绘出采样绘出采样后的信号后的信号56我们可以说，采过样的我们可以说，采过样的10Hz10Hz的信号具有的信号具有“零频率零频率”信号的外貌信号的外貌 . .57我们再来

36、考虑一个频率我们再来考虑一个频率9Hz9Hz的原始正弦信号，以的原始正弦信号，以0.10.1秒间隔的采样结果产生的信号具有秒间隔的采样结果产生的信号具有1Hz1Hz信号的外貌信号的外貌 5859p通过上面的分析，我们可以得到：通过上面的分析，我们可以得到：当采样频率大于信号中所含有信号最大频率的二当采样频率大于信号中所含有信号最大频率的二倍时，采样后的数据可以不失真地描述信号。当采样倍时，采样后的数据可以不失真地描述信号。当采样频率不满足这个条件时，会出现频率折叠和频率重复。频率不满足这个条件时，会出现频率折叠和频率重复。 这就是采样定理。这就是采样定理。在数字信号处理中通常定义采样频率为在数

37、字信号处理中通常定义采样频率为NyquistNyquist（奈奎斯特）频率。（奈奎斯特）频率。因此采样定理还可以叙述为：因此采样定理还可以叙述为：只有信号中的最大频率不大于只有信号中的最大频率不大于NyquistNyquist频率的一半，频率的一半，采样后的数据才能不失真地反映信号采样后的数据才能不失真地反映信号。 6060 2. 2.频域分析频域分析 傅里叶（傅里叶（Fourier，17681830）生）生子法国中部欧塞尔一个裁缝家庭，八岁子法国中部欧塞尔一个裁缝家庭，八岁时沦为孤儿，就读子地方军校，时沦为孤儿，就读子地方军校，1795年年任巴黎综合工科大学助教，任巴黎综合工科大学助教，17

38、98年随拿年随拿破仑军队远征埃及，受到拿破仑器重，破仑军队远征埃及，受到拿破仑器重，回国后被任命为格伦诺布尔省省长，由回国后被任命为格伦诺布尔省省长，由于对于对热传导理论热传导理论的贡献于的贡献于1817年当选为年当选为巴黎科学院院士，巴黎科学院院士，1822年成为科学院终年成为科学院终身秘书。身秘书。6161 傅里叶早在傅里叶早在1807年就写成关于热传年就写成关于热传导的基本论文，但经导的基本论文，但经拉格朗日拉格朗日、拉普拉拉普拉斯斯和和勒让德勒让德审阅后被科学院拒绝，审阅后被科学院拒绝，1811年又提交了经修改的论文，该文获科学年又提交了经修改的论文，该文获科学院大奖，却未正式发表。院

39、大奖，却未正式发表。1822年，傅里年，傅里叶终于出版了专著叶终于出版了专著热的解析理论热的解析理论。这部经典著作将这部经典著作将欧拉欧拉、伯努利伯努利等人在一等人在一些特殊情形下应用的三角级数方法发展些特殊情形下应用的三角级数方法发展成内容丰富的一般理论，三角级数后来就以傅里叶名字命名。成内容丰富的一般理论，三角级数后来就以傅里叶名字命名。6262 傅里叶发现，傅里叶发现，任何周期函数任何周期函数都可以用都可以用正弦函数正弦函数和和余弦函余弦函数数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是函数是因为它们是正交正交的），

40、后世称为的），后世称为傅里叶级数傅里叶级数。6363 映射 时域相乘时域相乘 频域卷积频域卷积 （模拟系统）（模拟系统） 1)1)冲激函数序列冲激函数序列T(t)的频谱的频谱 考虑到周期信号可以用傅里叶级数展开，因此，冲激函考虑到周期信号可以用傅里叶级数展开，因此，冲激函数序列数序列T(t)可用傅里叶级数表示为可用傅里叶级数表示为: :其中其中 ntjnnTseAt)()()(21)(aa PXX )()()(aatptxtx T/2s 2/2/)(1TTtjnndtetTAs TdttTTT1)(12/2/ 64因此，因此， 上式表明冲激函数序列具有梳状谱的结构，即它的各次上式表明冲激函数序

41、列具有梳状谱的结构，即它的各次谐波都具有相等的幅度谐波都具有相等的幅度1/T。 2, 1, 0,1)( neTtntjnTs )()(21)(aa PXX )()()(aatptxtx 两种方法求两种方法求65dteeTtxdtetxjXtjntjnatjaas 1)()()( ntnjantnjadtetxTdtetxTss)()()(1)(1 nsajnjXT)(1 ntjnaaseTtxtx1)()(dtetxjXtjaa )()( 2 2）理想采样信号）理想采样信号 的频谱的频谱)(txa方法方法1 1：6666上式表明：上式表明： （1）频谱产生周期延拓频谱产生周期延拓。即采样信号的

42、频谱是频率的周即采样信号的频谱是频率的周期函数，其周期为期函数，其周期为s。 （2）频谱的幅度是）频谱的幅度是Xa(j)的的1/T倍。倍。)(*)(21)( PXjXaa )(2*)(21 nsanTX nsanXT)(1方法方法2 2：)(2ss tje67三、时域采样定理三、时域采样定理 如果信号如果信号xa(t)是带是带限信号，且最高频率不超过限信号，且最高频率不超过s/2，即，即 那么采样频谱中，那么采样频谱中，基带频谱基带频谱以及以及各次谐波频谱各次谐波频谱彼此是不重叠彼此是不重叠的。的。 用一个带宽为用一个带宽为s/2的理想的理想低通滤波器，可以不失真的还低通滤波器，可以不失真的还

43、原出原来的连续信号。原出原来的连续信号。 2/|02/|)()(ssaajXjX68图图1-24 1-24 采样信号的频谱图采样信号的频谱图 但是，如果信号最高频谱但是，如果信号最高频谱超过超过s/2，那么在采样频谱，那么在采样频谱中，各次调制频谱就会相互交中，各次调制频谱就会相互交叠起来，这就是叠起来，这就是频谱混叠现频谱混叠现象象。 其中，其中，s/2 或或 fs/2，称作，称作折折叠频率叠频率 。69中国矿业大学信息与电气工程学院697070图图1-26 1-26 单音（余弦）信号采样中的频谱混叠情况示意图单音（余弦）信号采样中的频谱混叠情况示意图 ttxa0cos)( 7171 设设

44、没有混叠时，恢复出的输出为没有混叠时，恢复出的输出为 有混叠时，则是有混叠时，则是 结论：结论：为使采样后能不失真的还原出原信号，采样频率为使采样后能不失真的还原出原信号，采样频率必须大于两倍信号最高频率，这就是必须大于两倍信号最高频率，这就是奈奎斯特采样定理奈奎斯特采样定理。ttxa0cos)( ttya0cos)( ttysa)cos()(0 7272四、采样的恢复（内插）四、采样的恢复（内插） 1.1.频域分析频域分析 2/,02/,)(ssTjG)()()(1)()()( jXjGjXTjGjXjYaaa)()(txtya 73732.2.时域分析时域分析 把输出看成是把输出看成是 与

45、理想低通单位冲激响应与理想低通单位冲激响应g(t)的卷积的卷积 理想低通理想低通G(j)的冲激响应为的冲激响应为)(txa 2/2/2)(21)(ssdeTdejGtgtjtj tTtTttss sin22sin 7474 根据卷积公式，低通滤波器的输出为：根据卷积公式，低通滤波器的输出为： dtgxtxtyaa)()()()( dtgnTxna)( )()( nadnTtgx )()()( nananTtTnTtTnTxnTtgnTx)()(sin)()()( 7575其中：其中： naanTtTnTtTnTxtx)()(sin)()( )()(sin)(nTtTnTtTnTtg 采样内插公式采样内插公式 内插函数内插函数 内插函数内插函数权 内插结果使得被恢复的信号在内插结果使得被恢复的信号在采样点的值就等于采样点的值就等于xa(nT)，采样点之间的信号则是由采样点之间的信号则是由各采样值内插函数的波形延伸各采样值内插函数的波形延伸叠加叠加而成的。而成的。 7676 要完全恢复