光的衍射习题答案

1、第六章光的衍射6- 1求矩形夫琅和费衍射图样中，沿图样对角线方向第一个次极大和第二个次极大相对于 图样中心的强度。解：对角线上第一个次极大对应于1.43 ,其相对强度为:I2 2sinsin4si n1.430.0022丨01.43对角线上第二个次极大对应于2.46 ,其相对强度为I2 2sinsin4sin2.460.00029I。2.466-2由氩离子激光器发出波长488 x 0.25mm。在位于矩形孔附近正透镜f 2.5 m焦平面处的屏上观察衍射图样，试求中央亮斑的尺寸。解：中央亮斑边缘的坐标为：xf250048810 61.63 mm2x 3.26mma0.75yf250048810

2、64.88 mm2 y 9.76 mmb0.25x6- 3 一天文望远镜的物镜直径D = 100m m,人眼瞳孔的直径 d = 2mm，求对于发射波长为0.5卩m光的物体的角分辨极限。为充分利用物镜的分辨本领，该望远镜的放大率应选 多大？6-4 一个使用汞绿光546nm的微缩制版照相物镜的相对孔径D / f丨为1:4，问解：当望远镜的角分辨率为：1.22D1.220.51066.110 6 rad10010 3人眼的最小分辨角为：e1.22 d1.220.510 63.0510 4 rad210 3望远镜的放大率应为：e D M d50用分辨率为每毫米 380条线的底片来记录物镜的像是否适宜?

3、解：照相物镜的最大分辨本领为:D1.22 N f1.22 550 10 65001:2.98N 1 D11375/mm41.22 f61.22 546 10380>375可以选用每毫米380条线的底片。6-5(1)2解:假设要使照相机感光胶片能分辨2 m的线距，问光胶片的分辨本领至少是每毫米多少线？照相机镜头的相对孔径 D/f至少有多大？1由于相机感光胶片能分辨 2 m的线距，那么分辨本领至少为：1 N500线/毫米0.0022可见光一般取中心波长550nm计算，那么相机的相对孔径至少为:6 - 6借助于直径为2m的反射式望远镜，将地球上的一束激光600 nm聚焦在月球上某处。如果月球距

4、地球 4 x 105km。忽略地球大气层的影响，试计算激光在月球上的光斑 直径。解：由于衍射效应，反射式望远镜对激光成像的爱里斑角半径为：0 t22D600 10 910 7rad1.2223.66由于角度很小，因此tan °0激光在月球上的光斑直径为:D l0 41083.66 10 7146.4 m6- 7直径为2mm的激光束632.8nm丨射向1km远的接收器时，它的光斑直径有多大？如果离激光器 150km远有一长100m的火箭，激光束能否把它全长照亮？解：激光束的衍射角为：1.22D1.22 632.8 100.386 10 3rad2离激光束1km远处的光斑直径为：D12l

5、12 1000 0.386 10 3 0.772m离激光束150km远处的光斑直径为：33D2 2122 150 100.386 10115.8mD2大于火箭的长度，因此激光束能把它全长照亮。6-8 一透镜的直径 D = 2cm,焦距f= 50cm,受波长 500 nm的平行光照射，试计算在 该透镜焦平面上衍射图象的爱里斑大小。解：爱里斑直径为：500 io 7D 2 1.22 f 2 1.22 503.05 10 'emD26 - 9波长为550nm的平行光垂直照射在宽度为0.025mm的单缝上，以焦距为60cm的会聚透镜将衍射光聚焦于焦平面上进行观察。求单缝衍射中央亮纹的半宽度。解

6、：单缝衍射中心亮纹的角半宽度为：550 10 60.0250.022rad条纹的半宽度为：e f 0.022 60 1.32 cm 6- 10用波长 630 nm的激光粗测一单缝缝宽。假设观察屏上衍射条纹左右两个五级极 小的距离是6.3cm，屏和缝的距离是 5m,求缝宽。解：衍射条纹第五个极小对应于：ka .sin 5255 630 10 11波长 500 nm的平行光垂直照射在宽度为 0.025mm的单缝上，以焦距为 50cm的 会聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求：1衍射图样中央亮纹的半宽度； 2第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；3第一亮纹和第二亮纹相对于中央亮纹的强度。3.15 1

7、0 3arcsin arcsin radaaa那么左右两个五级极小的距离为：32 3.15 105000mm63mm解：1中央亮纹的半角宽度为：0500 100.0250.02 rad中央亮纹的半宽度为：e050 0.021cm缝宽为：2 3.15 5a0.5mm632第一亮纹的位置对应于1.43 ，即:1.43ka . sin 121.431arcs in 一aarcsin1.436500 10arcsin 0.02860.0250.0286 rad第一亮纹到中央亮纹的距离为:q1f 1 e 50 0.0286 1 0.43 cm第二亮纹对应于2.462.462 arcs in aarcsi

8、n2.46 500 10arcsin 0.04920.0492 rad0.025第二亮纹到中央亮纹的距离为:q22 e 50 0.0492 11.46 cm3设中央亮纹的光强为I。，那么第一亮纹的强度为:I110竺2s in 1.4321 0 1.430.04710第二亮纹的强度为:sin 2 sin 2.462I2 丨0丨00.016I0.461.5 f D6300 632.8 10D6 - 12在不透明细丝的夫琅和费衍射图样中，测得暗条纹的间距为1.5mm，所用透镜的焦距为300mm，光波波长为 632.8nm，问细丝直径为多少？解：设细丝的直径为 D，那么由题意：6300 632.8 1

9、01.50.127 mm6- 13在双缝的夫琅和费衍射实验中所用的光波的波长500nm,透镜焦距 f 100 cm,观察到两相邻亮条纹之间的距离e 2.5 mm,并且第四级亮纹缺级，试求双缝的缝距和缝宽。缝距为：dc 500 10 6fd non1000e2.5第四级缺级缝宽为：ad0.20.05 mm446- 14考察缝宽a8.8103cm,双缝间隔d解：双缝衍射两相邻亮条纹的距离为：e f-值两侧的衍射极小值间，将出现多少个干预极小值？假设屏离开双缝 度。解：中央极大值两侧的衍射极小值满足：asi n0.2 mm27.0 10卩m时的双缝衍射，在中央极大457.2cm，计算条纹宽sin在中

10、央极大值两侧的衍射极小值间的衍射角将满足:1干预极小满足：d sin (m )m 0,1,22(m.da27.0 1038.8 107.9527，-8条纹宽度为：30.6328 10e D45724.13 mmd0.7 m的取值可为0,1,出现的干预极小值个数为16个6- 15计算缝距是缝宽3倍的双缝的夫琅和费衍射第1 , 2, 3, 4级亮纹的相对强度。既是：2-d sin2,4 ,824此时，a sin333asi n24,33,3第 1, 2,4级亮纹的相对强度分别为：22sin 11sincos2368.4%41。23221sin1 2317%41。2解：由题意， -3，因此第三级缺级

11、a第三级亮纹的相对强度为0第1, 2, 4级亮纹分别对应于：dsin,2 ,44I24sinJ 4.3%4_3在中央极大值两侧的衍射极小值间，干预极小满足：6- 16波长为500nm的平行光垂直入射到一块衍射光栅上，有两个相邻的主极大分别出现 在sin 0.2和sin 0.3的方向上，且第四级缺级，试求光栅的栅距和缝宽。解：两个相邻的主极大分别出现在sin 0.2和sin 0.3的方向上，那么：0.2d m0.3d (m 1)两式相减得：d5卩m0.1第四级缺级缝宽为：a 1.25卩m46- 17用波长为624nm的单色光照射一光栅，该光栅的缝宽a 0.012 mm，不透明部分宽度b 0.02

12、9 mm，缝数N= 1000条，试求：1中央极大值两侧的衍射极小值间，将出现多少个干预主极大；2谱线的半角宽度。解：1中央峰两侧的衍射极小值满足：a sin.中央峰内的衍射角满足sin aF预主极大满足：d sin mm 0,在中央峰内的干预主极大满足：m.O4! 3.42a 0.012 m的取值可为0,1,2,3出现的干预极小值个数为7个2谱线的角宽度为：2Nd2 624 101000 (0.012 0.029)1.52 10 5rad6- 18 一块光栅的宽度为10cm,每毫米内有500条缝，光栅后面放置的透镜焦距为500mm,问：1它产生的波长632.8nm的单色光一级和二级谱线的半宽度

13、是多少？2假设入射光是波长为 632.8nm和波长与之相差0.5nm的两种单色光，它们的一级和二级谱线之间 的距离是多少？解：1一级谱线和二级谱线的位置分别为：632.8 10 61 arcsi n arcs in18.461d丄.22arcs ind50039.26.2 632.8 10 arcs in1500一级谱线和二级谱线的半宽度为:eiNd cos 15006328 106100 cos18.4633.34 10 mme2Nd cos 25006328 106100 cos39.264.086 10 3mm2一级谱线和二级谱线的线色散分别为:dlmfd cos 11 500 mm1

14、610 nm cos18.465000.26mm/ nmdlmfd cos 22 500mm, 0.64mm/ nm1 610 nm cos39.26500波长差0.5nm的两种单色光的一级谱线之间和二级谱线之间的距离分别为:lidl0.26 0.5 0.13mml2dl0.64 0.50.32 mm1589nm ,试求其中589589.62589.3 nm光栅的总缝数为：N m589.31 (589.6 589)982第一级光谱满足：dsin光栅常数为：d sin589.3 10 60.017 mmsin 2第四级缺级缝宽为：a 0.00425 mm46-20为在一块每毫米 1200条刻线的

15、光栅的一级光谱中分辨波长为632.8nm的一束He Ne激光的模结构两个模之间的频率差为450MHz，光栅需有多长？解:(632.8 10 9)23 1086450 106 10 4nm光栅所需要的缝数至少为：N空? 1.05 1066 10 4光栅的总长度为:l Nd61.05 1011200875 mm对于红光0.76的一级光谱有：sin0.76 10 30.381/500m的角色散率，以及对于f 1.5m物镜的线色散率。m解：光栅方程：sind04 10 3对于紫光0.40 i m的一级光谱有：sin v 0.2d1/500 v11.5422.33一级光谱散开的角度是 一级红光的角色散率

16、为：11.54 22.33d COS r45.4 10 rad/nm500610 nm cos22.33相应的线色散为:dl1.5cos r dcos22.335.4 10 448.76 10 m/nm6 22波长范围从390nm到780nm的可见光垂直照射栅距 d 0.002 mm的光栅，为了在 透镜焦面上得到可见光一级光谱的长度为50mm，透镜的焦距应为多少？解：光栅方程：sin对于紫光390 nm的一级光谱有:sin v390 10 60.1950.00211.245对于红光780 nm的一级光谱有：sin r d780 10 60.390.002I f(tan r tan J22.95

17、在透镜焦面上得到可见光一级光谱的长度为:透镜焦距为：222.6 mml50tan r tan v tan 22.95 tan 11.2456 -23设计一块光栅，要求1使波长 600 nm的第二级谱线的衍射角30 ； 2色散尽可能大；3第三级谱线缺级；4在波长 600 nm的第二级谱线能分辨 0.02nm 的波长差。在选定光栅参数后，问在透镜的焦平面上只可能看到波长600nm的几条谱线？解：为使波长600 nm的第二级谱线的衍射角30，光栅常数需满足：msin2 600 10sin 302.4 10 3mm要满足条件2，那么d应尽可能小，因此光栅常数为:第三级缺级d3缝宽为：a0.8 10 m

18、m3由条件4，光栅的缝数至少为：3d 2.4 10 mm6002 0.0215000光栅形成的谱线应在900的范围内。当900 时,即第四级谱线对应于衍射角1,2级共5条谱线。6-24一光栅的光栅常数 d 级光谱的分辨本领，并求波长d sin m2.4 10 3600 10 6 4900，实际上看不见，此外第三级缺级，所以只能看见0,2.5卩m,缝数为N= 20000条，求此光栅的一、二、0.69卩m红光的二级光谱位置，以及光谱对此波长的最大干预级次。解：光栅的分辨本领为：A mN对于一级光谱：A1 N 2 104对于二级光谱： A 2N 4 104对于三级光谱:A3 3N 6 104波长2

19、0.69arcs in33.52.50.69卩m红光的二级光谱位置为:2 arcs in d光栅形成的谱线应在900的范围内。当900 时,d sinm -釜 3.62最大干预级次为3700 nm的一级谱线和零级6-25 一块每毫米50条线的光栅，如要求它产生的红光 谱线之间的角距离为 5°,红光需用多大的角度入射光栅？ sin 1sinsin0dd由微分定理：sin1 sin 0cos 0cos 050.087 radd6700 10 cos 07 10 30.40d10.087 -对于红光的一级谱线:50解：光栅方程为：d(sin对于红光的零级谱线: sin 0 sinsin )

20、 md(sin 0sin )0d(sin 1sin )入射角为：066.426-26 一块每毫米1200个刻槽的反射闪耀光栅，以平行光垂直于槽面入射，一级闪耀波长 为480nm。假设不考虑缺级，有可能看见480nm的几级光谱？解：一级闪耀波长为 480nm，那么：2d sin 0闪耀角为:0 arcs in -2d480 10arcs in 216.741200槽面之间干预产生主极大的条件为:d(sin sin 0) mm 0,1,2光栅形成的谱线应在90°的范围内。当900时,d(sin90 sin °) m1200 (1sin 16.74 )48010 61.24当90

21、°时,dsin( 90 ) sin 011200(1 sin16.74 )2.24能看见480nm的谱线级数为：480 102, 1, 06 27 一闪耀光栅刻线数为 100条/mm，用 假设第二级光谱闪耀，闪耀角应为多大？600 nm的单色平行光垂直入射到光栅平面,解：由于第二级光谱闪耀，那么：2d sin 0 2闪耀角为：600 10 60arcs inarcs in3.44d1/1006 28在进行菲涅耳衍射实验中,当接收屏由很远的地方向圆孔靠近时,求前两次出现光强最大和最小的位置。解：该圆孔的菲涅耳数为:Nm垃L 8.9R 632.8 100.3说明当接收屏从远处向圆孔靠近时

22、，半波带最少是 个光强最大值，这时离圆孔的距离为：9个。因为N为奇数，对应于第R 0.3"N- "9 "1 1 Nm 8.926.7 m对应于第二个光强最大值的半波带数N = 11,出现在:R 0.3rM2"N711 1Nm 8.91.27m对应于第一个光强最小值的半波带数N = 10,出现在:Nm0.31018.92.43m圆孔半径1.3mm，光源离圆孔0.3m,632.8nm,对应于第二个光强最小值的半波带数N = 12,出现在:m20.30.86 m8.9解：波带数与圆孔半径的关系为:RdP该点的光Nm6-29波长 563.3nm的平行光射向直径

23、D = 2.6mm的圆孔，与孔相距r。= 1m处放一屏幕。问轴线与屏的交点是亮点还是暗点？至少把屏幕向前或向后移动多少距离时, 强发生相反的变化？当平行光入射时，R波带数为：Nro(2.6/2)2 30.5633 1轴线与屏的交点是亮点当把屏幕向前移近圆孔，相应的波带数增加，增大到 时屏幕到圆孔的距离为：4时，轴线与屏的交点是暗点，此(2.6/2)20.5633 40.75 m屏幕移动的距离为：r0 r01 0.75 0.25 m当把屏幕向后移远圆孔，相应的波带数减小，减小到 时屏幕到圆孔的距离为：2时，轴线与屏的交点是暗点，此2(2.6/2)0.5633 21.5m屏幕移动的距离为：r0r0

24、 1.5 1 0.5m6-30 一波带片离点光源 2m,点光源发光的波长为 546nm,波带片成点光源的像位于2.5m远的地方，问波带片第一个波带和第二个波带的半径是多少？解：由波带片的成像公式:1 丄丄R r。fRr2 25求得波带片的主焦距为：f01.11mR r02 2.5那么波带片第一个波带和第二个波带的半径分别为：1. Nf.1 1.11 546 10 97.78 10 4m2. Nf2 1.11546 10 91.1 10 3m6-31 一个波带片的第八个带的直径为5mm，试求此波带片的焦距以及相邻次焦点到波带片的距离。设照明光波波长为500nm。解：波带片的焦距为:沁 1.56m

25、8 0.5相邻次焦点到波带片的距离为:0.52 m6-32波长632.8nm的单色平行光垂直入射到一圆孔屏上，在孔后中心轴上距圆孔处的P点出现一个亮点，假定这时小圆孔对P点恰好露出第一个半波带，试求小圆孔的半径。当P点沿中心轴从远处向小圆孔移动时，第一个暗点至圆孔的距离。2解：波带数与圆孔半径的关系为：N卞1-ro当平行光入射时,波带数为：N0 N1 632.8 10 917.95 10 4m当P点沿中心轴从远处向小圆孔移动时，第一个暗点对应于N = 2，此时，该暗点至圆孔的距离为：r0匸7.95 10 4：0N 2 632.8 10 96-33单色点光源500nm安放在离光阑1m远的地方，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm和1mm的通光圆环，接收点离光阑 1m远，问在接收点的光强和没有光阑时的 光强之比是多少？解：半径为1mm的圆孔包含的波带数为:N1R1 RRr°120.5 11 1半径为0.5mm的圆孔挡住的波带数为:2 2N2s R亘1 11Rr。0.5 11通光圆环通过的波带数为 3,因此通光圆环在接收点产生的振幅等于一个波带在接收 点产生的振幅，且近似地等于第一个波带产生的振