数学：《定积分的简单应用--在物理中的应用》

1、1.7.21.7.2定积分的简单应用定积分的简单应用- -在物理中的应用在物理中的应用定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功液体的静压力液体的静压力平均值和均方根平均值和均方根目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导变力沿直线所作的功1. 由物理学知道，如果物体在作直线运动的由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力过程中有一个不变的力F作用在这物体上，且作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，物这力的方向与物体的运动方向一致，那么，物体位移为体位移为s时，力时，力F对物体所作的功为

2、对物体所作的功为 sFW . )(xFF 一、预备知识一、预备知识2. 微元法微元法二、变力沿直线所作的功二、变力沿直线所作的功 如果物体在运动的过程中所受的力如果物体在运动的过程中所受的力 )(xFF 是变化的，就不能直接使用此公式，而采用是变化的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法微元法”思想思想. .目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导如图：以如图：以oxdxx ab)(xFxx为积分变量，积分区间为为积分变量，积分区间为.,ba,ba,dxxx 在区间在区间内任取一小区间内任取一小区间功的微元数功的微元数dxxFdW)( 所以所以 ba

3、badxxFdWW)(目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导例例1 1 设弹簧在设弹簧在1N力的作用下伸长力的作用下伸长0.01米，要米，要使弹簧伸长使弹簧伸长0.1米，需作多少功？米，需作多少功？解解xoxkF x如图：建立直角坐标系。如图：建立直角坐标系。因为弹力的大小与弹簧的因为弹力的大小与弹簧的伸长（或压缩）成正比，伸长（或压缩）成正比，即即kxF 比例系数比例系数已知已知01. 0,1 xNF代入上式得代入上式得100 k从而变力为从而变力为xF100 所求的功所求的功 1 . 00100 xdxWJ5 . 0 目录目录后退后退主主页页退

4、退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例 2 2 一圆柱形蓄水池一圆柱形蓄水池高为高为 5 米，底半径为米，底半径为 3 米，池内盛满了水米，池内盛满了水.问要把池内的水全部问要把池内的水全部吸出，需作多少功？吸出，需作多少功？ 解解建立坐标系如图建立坐标系如图xoxdxx 取取x为为积积分分变变量量，5 , 0 x5取取任任一一小小区区间间,dxxx ,目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导xoxdxx 5这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为dx238 . 9 功元素为功元素为,2

5、 .88dxxdw dxxw 2 .885050222 .88 x3462 (千焦千焦)目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导 由由物物理理学学知知道道，距距液液体体表表面面深深度度为为h处处的的液液体体压压强强为为ghp ，这这里里 是是液液体体密密度度，g是是重重力力加加速速度度。如如果果有有一一面面积积为为A的的平平板板水水平平地地放放置置在在液液体体深深为为h处处，那那么么，平平板板一一侧侧所所受受的的液液体体压压力力为为ApP 液体的静压力一、预备知识一、预备知识二、液体的静压力二、液体的静压力 如如果果平平板板垂垂直直放放置置在在液液体

6、体中中，由由于于液液体体在在不不同同的的深深度度压压强强p不不同同，平平板板一一侧侧所所受受的的液液体体的的压压力力就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，可可采采用用“微微元元法法”来来计计算算. . 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导例例 3 3 一一个个横横放放着着的的圆圆柱柱形形水水桶桶，桶桶内内盛盛有有半半桶桶水水，设设桶桶的的底底半半径径为为R，水水的的比比重重为为 ，计计算算桶桶的的一一端端面面上上所所受受的的压压力力 解解 在端面建立坐标系如图在端面建立坐标系如图xo取取x为为积积分分变变量量，, 0Rx 取取任任一一小小区区

7、间间,dxxx xdxx 小矩形片上各处的压强近小矩形片上各处的压强近似相等似相等小矩形片的面积为小矩形片的面积为.222dxxR ,gxp 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导小小矩矩形形片片的的压压力力元元素素为为dxxRgxdP222 端端面面上上所所受受的的压压力力dxxRgxPR2202 )(22022xRdxRgR RxRg032232 .323Rg 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导平均值和均方差实例：实例：用某班所有学生的考试成绩的算术平均用某班所有学生的考试成绩的算术平均值来描述

8、这个班的成绩的概况。值来描述这个班的成绩的概况。nyyyyn 21算术平均值公式算术平均值公式只适用于有限个数值只适用于有限个数值一、预备知识一、预备知识目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导问题：问题：求气温在一昼夜间的平均温度求气温在一昼夜间的平均温度.入手点：入手点：连续函数连续函数 在区间在区间 上的平均值上的平均值.)(xf,ba讨论思想：讨论思想：分割、求和、取极限分割、求和、取极限.二、平均值二、平均值和均方差和均方差1.平均值平均值目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导（1）分割：）分割

9、：把把区区间间,ba分分成成n等等分分,1210bxxxxxann 每个小区间的长度每个小区间的长度;nabx （2）求和：）求和：设各分点处的函数值为设各分点处的函数值为nyyyy,210函数函数 在区间在区间 上的平均值近似为上的平均值近似为)(xf,ba;1210nyyyyn （3）取极限：）取极限：每个小区间的长度趋于零每个小区间的长度趋于零.目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导函数函数 在区间在区间 上的上的平均值平均值为为)(xf,ba,lim1210nyyyyynn nababyyyyynn 1210limx niixxyab110

10、lim1,)(lim1110 niixxxfab几何平均值公式几何平均值公式yab)( )()( fab 区间长度区间长度 badxxfaby)(1目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导例例 4 4 计计算算纯纯电电阻阻电电路路中中正正弦弦交交流流电电tIim sin 在在一一个个周周期期上上的的功功率率的的平平均均值值（简简称称平平均均功功率率）. 解解设电阻为，设电阻为，R则电路中的电压为则电路中的电压为,sintRIm iRu ,sin22tRIm uip 功率功率,2, 0 一个周期区间一个周期区间平均功率平均功率tdtRIpm 2202s

11、in12 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导tdtRIpm 2202sin12 )(sin22022ttdRIm )()2cos1(4202tdtRIm 20222sin4 ttRIm22RIm 242 RIm)(RIUmm .2mmUI 结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导 通常交流电器上标明的功率就是平均通常交流电器上标明的功率就是平均功率交流电器

12、上标明的电流值都是一种功率交流电器上标明的电流值都是一种特定的平均值，习惯上称为特定的平均值，习惯上称为有效值有效值 周期性非恒定电流周期性非恒定电流i（如正弦交流电）（如正弦交流电）的有效值规定如下：当的有效值规定如下：当)(ti在它的一个周在它的一个周期期T内在负载电阻内在负载电阻R上消耗的平均功率，上消耗的平均功率，等于取固定值等于取固定值I的恒定电流在的恒定电流在R上消耗的功上消耗的功率时，称这个值率时，称这个值I为为)(ti的有效值的有效值. 二、均方根二、均方根目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导有效值计算公式的推导有效值计算公式的推

13、导固固定定值值为为I的的恒恒定定电电流流在在R上上消消耗耗的的功功率率为为RI2,电电流流)(ti在在R上上消消耗耗的的功功率率为为Rti)(2,它它在在, 0T上上的的平平均均功功率率为为,)(102 TRdttiT,)(1022 TRdttiTRI按定义有按定义有 TdttiTI022)(1.)(102 TdttiTI即即目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导正正弦弦交交流流电电tItim sin)( 的的有有效效值值tdtIIm 2022sin12 )(22022ttdinsIm 20222sin4 ttIm.2mI 结论：正弦交流电的有效值

14、等于电流的峰值的结论：正弦交流电的有效值等于电流的峰值的 21.)(12 badxxfab 在实际问题中，我们通常称另一种平均值为在实际问题中，我们通常称另一种平均值为函数的函数的均方根均方根，即，即目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导 2. 利用利用“微元法微元法”思想求平均值、思想求平均值、均方差均方差（注意熟悉相关的物理知识）（注意熟悉相关的物理知识）小结1. 利用利用“微元法微元法”思想求变力作思想求变力作功、水压力等物理问题功、水压力等物理问题函数的平均值函数的平均值;)(1 badxxfaby函数的均方根（有效值）函数的均方根（有效值

15、）.)(12 badxxfab（理解平均功率、电流的有效值等概念）（理解平均功率、电流的有效值等概念）目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导1 1. . 把一个带把一个带 q 电量的点电荷放在电量的点电荷放在 r 轴上轴上坐标原点处，它产生一个电场 这个电场对周围坐标原点处，它产生一个电场 这个电场对周围的电荷有作用力 由物理学知道，如果一个单位的电荷有作用力 由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为正电荷放在这个电场中距离原点为 r 的地方，的地方，那么电场对它的作用力的大小为那么电场对它的作用力的大小为 2rqkF （k是常数）

16、 ，当这个单位正电荷在电场中从是常数） ，当这个单位正电荷在电场中从 ar 处沿处沿 r 轴移动到轴移动到 br 处时，计算电场力处时，计算电场力 F 对它所作的功对它所作的功 练习题目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导解解取取r为为积积分分变变量量，ro q a b 1 r,bar drr 取取任任一一小小区区间间,drrr ,功元素功元素,2drrkqdw 所求功为所求功为drrkqwba 2barkq 1.11 bakq如果要考虑将单位电荷移到无穷远处如果要考虑将单位电荷移到无穷远处drrkqwa 2 arkq1.akq 目录目录后退后退主

17、主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2 2. . 将将直直角角边边各各为为a及及a2的的直直角角三三角角形形薄薄板板垂垂直直地地浸浸人人水水中中，斜斜边边朝朝下下，直直角角边边的的边边长长与与水水面面平平行行，且且该该边边到到水水面面的的距距离离恰恰等等于于该该边边的的边边长长，求求薄薄板板所所受受的的侧侧压压力力 解解 建立坐标系如图建立坐标系如图xoa2a2a面积微元面积微元,)(2dxxa gdxxaaxdP 1)(2)2(gdxxaaxPa )(2(20.373ag 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导习题

18、1. 1.弹簧原长弹簧原长0.300.30厘米，每压缩厘米，每压缩0.01m0.01m需力需力2N2N，求把弹簧从求把弹簧从0.25m0.25m压缩到压缩到0.20m0.20m所作的功。所作的功。 2.2.一个质点按规律一个质点按规律x=tx=t3 3作直线运动，介质的作直线运动，介质的阻力与速度成正比，求质点从阻力与速度成正比，求质点从x=0 x=0移到移到x=1x=1时克服时克服介质阻力所作的功。介质阻力所作的功。 3.3.有一圆柱形贮水桶，高有一圆柱形贮水桶，高2m2m，底圆半径，底圆半径0.8m0.8m桶内装桶内装1m1m深的水，问要将桶内水全部吸出要作多深的水，问要将桶内水全部吸出要

19、作多少功？少功？ 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导 4. 4.有一上口直径有一上口直径20m20m，深为，深为15m15m的圆锥形水池，的圆锥形水池，其中盛满了水，若将水全部抽尽，需作多少功？其中盛满了水，若将水全部抽尽，需作多少功？ 5.5.有一闸门，它的形状有一闸门，它的形状和尺寸如图所示。水面和尺寸如图所示。水面门顶门顶1m1m，求闸门上所受，求闸门上所受的水的压力。的水的压力。 6.6.一个横放着的半径为一个横放着的半径为R R的圆形由桶，桶内盛有的圆形由桶，桶内盛有半桶油，设油的密度为半桶油，设油的密度为，计算桶的一个端面上所，计算桶的一个端面上所受的压力。受的压力。 3m1m2m目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导 7. 7.一块高为一块高为a a，底为，底为b b的等腰三角形薄板，垂的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计直地沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄板每面所受的压力。如果把它倒放，使它的算薄板每面所受的压力。如果把它倒放，使它的顶与