数列在日常经济生活中的应用第一课时

1、 数列在日常经济生活中的应用三个月半年一年二年三年五年整存整取整存整取 2.602.803.003.904.505.00零存整取零存整取 2.602.803.00整存零取整存零取 2.602.803.00存本取息存本取息 2.602.803.00其他活期一天通知七天通知利率0.40.851.39最新农业银行存款最新农业银行存款利率利率表（更新日期：表（更新日期：2016-2-9）年利率（年利率（%） 利率利率你知道银行存款的利息是怎么计算吗你知道银行存款的利息是怎么计算吗?4 数列在日常经济生活中的应用（一）数列在日常经济生活中的应用（一）银行存款计息方式：银行存款计息方式： 单利单利: 单利

2、的计算是仅在原有本金上计算利息单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产对本金所产生的利息不再计算利息生的利息不再计算利息.利息利息=本金本金利率利率存期存期4 数列在日常经济生活中的应用（一）数列在日常经济生活中的应用（一）以符号以符号P代表本金代表本金,n代表存期代表存期,r代表利率代表利率,S代表本金和利代表本金和利息和息和(以下简称本利和以下简称本利和),则有则有 S=P(1+nr)问题如果你有如果你有1000元钱存入银行元钱存入银行一个月后有多少钱一个月后有多少钱?二个月后呢二个月后呢?这与存款的方式有关这与存款的方式有关4 数列在日常经济生活中的应用（一）数列在日常经济生活中的

3、应用（一）三个月半年一年二年三年五年整存整取整存整取 2.602.803.003.904.505.00零存整取零存整取 2.602.803.00整存零取整存零取 2.602.803.00存本取息存本取息 2.602.803.00其他活期一天通知七天通知利率0.40.851.39最新农业银行存款最新农业银行存款利率利率表（更新日期：表（更新日期：2016-2-9）年利率（年利率（%） 4 数列在日常经济生活中的应用（一）数列在日常经济生活中的应用（一）问题问题2“零存整取零存整取”是怎么回事是怎么回事?规定规定: 每月每月定时定时存入一笔存入一笔相同数目相同数目的现金的现金,这是零存这是零存;

4、到约定日期到约定日期,可以取出全部本利和可以取出全部本利和,这是整取这是整取. 某人选择存期为某人选择存期为1年的年的“零存整取零存整取”需到银行存款几次需到银行存款几次( )某人选择存期为某人选择存期为3年的年的“零存整取零存整取”需到银行存款几次需到银行存款几次( )12次36次4 数列在日常经济生活中的应用（一）数列在日常经济生活中的应用（一）某人选择存期为某人选择存期为1年的年的“零存整取零存整取”,若每月存入金额为若每月存入金额为100元元,月利率月利率0.3%保持不变保持不变,到期能取出多少钱到期能取出多少钱? (暂不考虑利暂不考虑利息税息税)第一月存入的第一月存入的100元到期有

5、多少利息元到期有多少利息?到期为到期为: 100 0.3% 12=3.6第二月存入的第二月存入的100元到期有多少利息元到期有多少利息?到期为到期为: 100 0.3% 11=3.3第三月存入的第三月存入的100元到期有多少利息元到期有多少利息?到期为到期为: 100 0.3% 10=3.0最后一月存入的最后一月存入的100元到期有多少利息元到期有多少利息?到期为到期为: 100 0.3% 1=0.3你发现了什么你发现了什么?4 数列在日常经济生活中的应用（一）数列在日常经济生活中的应用（一）你发现了什么你发现了什么?各月存款所得利息构成一个等差数列各月存款所得利息构成一个等差数列到期了到期了

6、,你这个人连本带利能取回钱是你这个人连本带利能取回钱是本金共有多少本金共有多少100 12=1200100 12+(3.6+3.3+3.0+ +0.3)=1223.4元元 若每月存入金额为若每月存入金额为x元元,月利率月利率r保持不变保持不变,存期为存期为n个月个月,你能推导出到期整取是本利和你能推导出到期整取是本利和的公式吗的公式吗?4 数列在日常经济生活中的应用（一）数列在日常经济生活中的应用（一） 若每月存入金额为若每月存入金额为x元元,月利率月利率r保持不变保持不变,存期为存期为n个月个月, 试试推导出到期整取是本利和的公式推导出到期整取是本利和的公式:第一个月存入的第一个月存入的x元

7、元,到期利息为到期利息为: xrn 元元 第二个月存入的第二个月存入的x元元,到期利息为到期利息为: 第三个月存入的第三个月存入的x元元,到期利息为到期利息为: 第第n个月存入的个月存入的x元元,到期利息为到期利息为: xr（n-1）元元 xr（n-2）元元 xr1 元元. 本金为本金为 nx 元 1) 1(nnrxxnS2) 1( nnrxxn4 数列在日常经济生活中的应用（一）数列在日常经济生活中的应用（一） 1.若每月初存入若每月初存入500元元,月利率为月利率为0.3%,到第到第36个月个月末整取时的本利和是多少末整取时的本利和是多少? 2.若每月初存入一定金额若每月初存入一定金额,月

8、利率为月利率为0.3%,希望到希望到第第12个月末整取时取得本利和个月末整取时取得本利和2000元元.那么每月初应那么每月初应存入的金额是多少存入的金额是多少?结论结论:“零存整取零存整取”问题就是等差数列的实际应用问题就是等差数列的实际应用2) 136(36%3 . 050050036S2) 112(12%3 . 0122000 xx4 数列在日常经济生活中的应用（一）数列在日常经济生活中的应用（一）试解决下列试解决下列“零存整取零存整取”问题（只列式，不计问题（只列式，不计算）算）问题问题3“整存整取整存整取”是怎么回事是怎么回事?三个月三个月半年半年一年一年二年二年三年三年五年五年整存整

9、取整存整取 3.003.904.505.00零存整取零存整取 2.602.803.00整存零取整存零取 2.602.803.00存本取息存本取息 2.602.803.00其他其他活期活期一天通知一天通知七天通知七天通知利率利率0.40.851.39最新农业银行存款最新农业银行存款利率利率表（更新日期：表（更新日期：2011-2-9）3. 如果选择存一年期如果选择存一年期,但到期忘了取出但到期忘了取出,5年后年后才去取才去取,你猜银行会如何处理你猜银行会如何处理?1. 现有现有10万元万元,如果存一年如果存一年,有多少钱有多少钱?2. 10万元钱万元钱,如果存两年如果存两年,又有多少钱又有多少钱

10、?存期存期1年年2年年3年年5年年年利率年利率%3.003.904.505.00自动转存自动转存100000 (1+3.00%)=103000存期的选择存期的选择4 数列在日常经济生活中的应用（一）数列在日常经济生活中的应用（一）定期自动转存模型定期自动转存模型: 客户存款到期后，客户如不前往银行办理转存手客户存款到期后，客户如不前往银行办理转存手续，银行可自动将续，银行可自动将到期的存款本息到期的存款本息按按相同存期相同存期一并一并转存转存 .复利复利: 把上期末的本利和作为下一期的本金把上期末的本利和作为下一期的本金,在计在计算时每一期本金的数额是不同的算时每一期本金的数额是不同的. 4

11、数列在日常经济生活中的应用（一）数列在日常经济生活中的应用（一） 如果储户存入定期为如果储户存入定期为1年的年的10万元存款，定期年利万元存款，定期年利率为率为3%，连存，连存5年后，试求出储户年后，试求出储户5年后所得本利和年后所得本利和(暂不考虑利息税暂不考虑利息税) 问问: 1年后储户的本利和为多少年后储户的本利和为多少?2年后储户的本利和为多少年后储户的本利和为多少?3年后储户的本利和为多少年后储户的本利和为多少?5年后储户的本利和为多少年后储户的本利和为多少?11%)31 (100000S22%)31 (100000 %)31%)(31 (100000S33%)31 (100000S

12、55%)31 (100000S4 数列在日常经济生活中的应用（一）数列在日常经济生活中的应用（一） 如果储户存入定期为如果储户存入定期为1年的年的P元存款，定期年利率为元存款，定期年利率为r，连存连存n年后，你能求出储户年后，你能求出储户n年后所得本利和的公式吗年后所得本利和的公式吗?1年后储户的本利和为多少年后储户的本利和为多少?n年后储户的本利和为多少年后储户的本利和为多少?3年后储户的本利和为多少年后储户的本利和为多少?2年后储户的本利和为多少年后储户的本利和为多少?11)1 (rPS22)1 (rPS33)1 (rPSnnrPS)1 ( 你们看出了什么你们看出了什么?自动转存是等比数列

13、的应用自动转存是等比数列的应用4 数列在日常经济生活中的应用（一）数列在日常经济生活中的应用（一） 以符号以符号P代表本金代表本金,n代表存期代表存期,r代表利率代表利率,S代代表本金和利息和表本金和利息和,复利的计算公式是复利的计算公式是 nrPS)1 ( 4 数列在日常经济生活中的应用（一）数列在日常经济生活中的应用（一）课堂小结：课堂小结：存款问题存款问题(实际问题）实际问题）数列问题数列问题(数学模型数学模型)数学问题的数学问题的解决解决解释相关解释相关实际问题实际问题4 数列在日常经济生活中的应用（一）数列在日常经济生活中的应用（一）单利单利 单利的计算是单利的计算是仅在原有本金上计

14、算仅在原有本金上计算利息利息,对本金所产生的利息不再计算利息对本金所产生的利息不再计算利息.其其公式为公式为 利息利息=本金本金利率利率存期存期 若以符号若以符号P代表本金代表本金,n代表存期代表存期,r代表代表利率利率,S代表本金和利息和代表本金和利息和(简称简称本利和本利和),则则有有 S=P(1+nr)你知道吗？你知道吗？复利复利 把把上期末的本利和作为下一上期末的本利和作为下一期的本金期的本金,在计算时每一期的本金在计算时每一期的本金,在在计算时每一期的数额是不同的计算时每一期的数额是不同的.复利复利的计算公式是的计算公式是 S=P(1+r)n说明说明例例1. 银行有一种叫做零存整取的

15、储蓄业务银行有一种叫做零存整取的储蓄业务,即即每每月定时存入月定时存入一笔相同数目的现金一笔相同数目的现金,这是零存这是零存;到到约定日期约定日期,可以可以取出全部本利和取出全部本利和,这是整取这是整取.规定规定每次存入的钱每次存入的钱不计复利不计复利(暂不考虑利息税暂不考虑利息税).(1)若每月存入金额为若每月存入金额为x元元,月利率月利率r保持不变保持不变,存期存期为为n个月个月,试推导出到期整取时本利和的公式试推导出到期整取时本利和的公式.零存整取模型零存整取模型(2)若每月初存入若每月初存入500元元,月利率为月利率为0.5%,到第到第24个个月末整取时的本利和是多少月末整取时的本利和

16、是多少?例例1. 1. 银行有一种叫做零存整取的储蓄业务银行有一种叫做零存整取的储蓄业务, ,即即每月定时存入每月定时存入一笔相同数目的现金一笔相同数目的现金, ,这是零存这是零存; ;到约定日期到约定日期, ,可以可以取出全部本利和取出全部本利和, ,这是整取这是整取. .规定每次存入的钱不计复利规定每次存入的钱不计复利( (暂不考虑利息税暂不考虑利息税).).(3)(3)若每月初存入一定金额若每月初存入一定金额, ,月利率是月利率是0.5%,0.5%,希望希望 到第到第1212个月末整取时取得本利和为个月末整取时取得本利和为20002000元元. .那么那么每月初应存入的金额是多少每月初应

17、存入的金额是多少? ?零存整取模型零存整取模型解解 （1）根据题意，第）根据题意，第1个月存入的个月存入的x元，到期元，到期利息为利息为 ；第；第2个月存入的个月存入的x元，到期利息元，到期利息为为 ；第第n个月存入的个月存入的x元，到期利元，到期利息为息为 ； 不难看出，这是一个等差数列求和不难看出，这是一个等差数列求和的问题的问题.各月的利息之和为各月的利息之和为（元元）xrnnnxr2)1()21( nrx 1 nrxxr零存整取模型零存整取模型而本金为而本金为nx元，这样就得到本利和公式元，这样就得到本利和公式（元元）xrnnnxy2)1( 即即 Nnrnnnxy（元元）2)1(零存整

18、取模型零存整取模型（2）每月存入）每月存入500元，月利率为元，月利率为0.3，根据，根据公式公式 ，本利和，本利和（元元）18999%3 . 02373636500 y 2)1(rnnnxy（3）依题意在式子）依题意在式子 中，中，y=2000, r=0.3%, n=12 2)1(rnnnxy（元）（元）48.163%3 . 01361220002)1( rnnnyx答答 每月应存入每月应存入163.48元元.零存整取模型零存整取模型例例2. 银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如例如,储户某日存入一笔储户某日存入一笔1年期定期存款年期定期存款,1

19、年后年后,如如果储户果储户不取出本利和不取出本利和.则银行自动办理转存业务则银行自动办理转存业务,第第2年的本金就是第年的本金就是第1年的本利和年的本利和.按照定期存款按照定期存款自动转存的储蓄业务自动转存的储蓄业务(暂不考虑利息税暂不考虑利息税),我们来讨我们来讨论以下问题论以下问题:(1)如果储户存入定期为如果储户存入定期为1年的年的P元存款元存款,定期年利定期年利率为率为r,连存连存n年后年后,再取出本利和再取出本利和.试求出储户年试求出储户年后所得的本利和的公式后所得的本利和的公式;定期自动转存模型定期自动转存模型例例2. 银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存银行有另一种储蓄业务为定

20、期存款自动转存.例如例如,储户某日存入一笔储户某日存入一笔1年期定期存款年期定期存款,1年后年后,如如果果储户不取出本利和储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务则银行自动办理转存业务,第第2年的本金就是第年的本金就是第1年的本利和年的本利和.按照定期存款按照定期存款自动转存的储蓄业务自动转存的储蓄业务(暂不考虑利息税暂不考虑利息税),我们来讨我们来讨论以下问题论以下问题:(2)(2)如果存入如果存入1 1万元定期存款万元定期存款, ,存期为存期为1 1年年, ,年利率年利率 为为1.98%,1.98%,那么那么5 5年后共得本利和多少万元年后共得本利和多少万元? ?定期自动转存模型定期自动转

21、存模型银行整存整取定期储蓄年利率如表所示银行整存整取定期储蓄年利率如表所示: :存期存期1 1年年2 2年年3 3年年5 5年年年利率年利率/%/%2.792.793.333.333.963.964.414.41 某公司欲将某公司欲将1010万元存入银行万元存入银行5 5年年, ,可按以下方案办理可按以下方案办理( (不考虑利息税不考虑利息税):):(1)(1)直接存入直接存入5 5年定期年定期; ;(2)(2)先存先存2 2年定期年定期, ,取出本利和后再存取出本利和后再存3 3年定期年定期. .问题问题1 1: :计算出不同存法到期后的本利和计算出不同存法到期后的本利和, ,哪种存款方哪种

22、存款方式更合算式更合算? ?问题问题2 2: :你能设计出更好的存款方案吗你能设计出更好的存款方案吗? ?思考交流思考交流分期付款的有关规定分期付款的有关规定 1.1.分期付款分若干次付款分期付款分若干次付款, ,每次付款额相同每次付款额相同, ,各次付款的时间间隔相同各次付款的时间间隔相同. . 2.2.分期付款中双方的每月分期付款中双方的每月( (年年) )利息均按复利利息均按复利计算计算, ,即上月即上月( (年年) )的利息要计入本金的利息要计入本金. . 3.3.各期所付的款额连同到最后一次付款时所各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和产生的利息和, ,等于商品售价及从购买

23、到最后等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和一次付款的利息和, ,这在市场经济中是相对公这在市场经济中是相对公平的平的. .例例3. 3. 小华准备购买一台售价为小华准备购买一台售价为50005000元的电元的电脑脑, ,采用分期付款的方式采用分期付款的方式, ,并在一年内将款并在一年内将款全部付清全部付清. .商场提出的付款方式为商场提出的付款方式为: :购买后购买后2 2个月第个月第1 1次付款次付款, ,再过再过2 2个月第个月第2 2次付款次付款购买后购买后1212个月第个月第6 6次付款次付款, ,每次付款金额相每次付款金额相同同, ,约定月利率为约定月利率为0.8%,0.8%,

24、每月利息按复利计每月利息按复利计算算. .求小华每期付的金额是多少求小华每期付的金额是多少? ?分析分析1:1:考虑小华每次还款后考虑小华每次还款后, ,还欠商场的金额还欠商场的金额. .分期付款模型分期付款模型 设小华每期还款设小华每期还款x元元,第第k个月末还款后的本利欠个月末还款后的本利欠款数为款数为Ak元元,则则22500010.008Ax2424210.008500010.0081.00 8AAxxx26464210.008500010.0081.0081.008AAxxxx21210121086421 0.00850001 0.0081.0081.0081.0081.0081.00

25、8AAxxxxxxx由题意年底还清由题意年底还清, ,所以所以120A 解得解得: :12241050001.00811.0081.0081.008880.8()x元答答: :小华每次付款的金额为小华每次付款的金额为880.8880.8元元. .分析分析2:2:小华在小华在1212月中共付款月中共付款6 6次次, ,它们在它们在1212个月后的本个月后的本利和的累加与一年后付款总额相等利和的累加与一年后付款总额相等. .例例3. 3. 小华准备购买一台售价为小华准备购买一台售价为50005000元的电脑元的电脑, ,采用分期付款的方式采用分期付款的方式, ,并在一年内将款全部付并在一年内将款全部付清清. .商场提出的付款方式为商场提出的付款方式为: :购买后购买后2 2个月第个月第1 1次付款次付款, ,再过再过2 2个月第个月第2 2次付款次付款购买后购买后1212个个月第月第6 6次付款次付款, ,每次付款金额相同每次付款金额相同, ,约定月利率约定月利率为为0.8%,0.8%,每月利息按复利计算每月利息按复利计算. .求小华每期付求小华每期