学生在数学学习中获得数学的基本思想的路径

1、学生在数学学习中获得数学的基本思想的路径梁秋莲，河南省基础教育教学研究室.我国小学数学教育始终十分重视开发学生的智慧，培养学生的思维能力.新颁布的义务教育数学课程标准（2011年版）（以下简称标准（2011年版）明确提出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”的四基目标.从20世纪50年代到进入21世纪，小学数学课程对培养学生思维能力的目标由“训练儿童善于运用方法和习惯”“培养初步的逻辑思维能力”拓展为“培养初步的思维能力”提升为“获得数学的基本思想”.呈现由少到多、由偏到全、由低到高的变革轨迹.今天的数学教育

2、，特别关注每个学生终身可持续发展的基础，越来越重视数学思想方法的教育.数学知识的掌握与思维能力的培养是相辅相成的，不依赖思维，不能学好数学；正确的数学教学，必然有助于思维能力的提高.小学数学教学中，有意识地、恰当地渗透一些基本的数学思想方法，可以加深学生对数学知识的理解，可以提高学生的思维能力、实践能力、解决问题的能力和学习能力，还有利于培养学生的探索兴趣和创新意识.一、数学基本思想的内涵1.抽象2.推理3.模型模型思想在数学思想方法中有非常重要的地位，许多数学家把数学看成是“关于模型的科学”.数学模型是用数学语言概括地或近似地表述出研究对象的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构.从广义的角

3、度看，一切数学的概念、原理和数学的理论体系，都视为数学模型.就其狭义而言，是指能描述或反映特定问题或具体事物关系的数学结构.数学模型方法，是把研究、考察的实际问题或理论问题抽象为数学问题，建立相应的数学模型，通过对数学模型研究得出原问题的解决方法.数学模型是数学基础知识与数学应用之间的桥梁.标准（2011年版）课程内容部分明确提出：注重发展学生的“模型思维”，并具体解释为“模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.建立和求解模型过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示问题中的数量关系和变化规律，求出结果，并讨论结果的意义.这些

4、内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识”.例如，利用若干个相同的1 的正方形测量一个长方形的面积引发猜测，到测量和探究几个不同长方形中含有1 正方形的个数与长方形的长和宽的关系，再到归纳出长方形的面积计算公式建立模型S=ab，学生经历了一个模型化的过程，实现数学的“再创造”.而今，数学教学注重以“问题情境建立模型解释与应用”的模式展开，让学生经历建立和处理数学模型的过程，运用数学知识解决实际问题；让学生从实际情境中发现数学、“再创造”数学，获得新的数学知识.这样的数学活动，既利于学生理解、掌握数学的知识与技能，感悟数学思想；又利于培养发展学生发现和提出问题的能力、分

5、析和解决问题的能力，同时增强学生的应用意识和创新意识.二、渗透数学思想方法、培养思维能力的建议数学思想方法是数学的灵魂，它蕴藏在数学知识之中.基于小学生认识能力与思维发展水平，不要求学生理解掌握数学的思想方法，而是在数学学习中体会数学的基本思想.从小学数学教学角度讲，则强调：结合教学内容渗透数学思想方法.“渗透”二字凸显数学思想方法与数学知识融于一体的自然性，又体现了须适合小学生认知规律、学习能力与思维发展特点的思考.需要以数学知识和技能的学习为载体，精心设计学习活动渗透数学思想方法，让学生充分地观察、比较、分析、猜想、思考，切实参与探索和运用数学知识的过程.并且，要克服只注意数学知识学习的倾

6、向，有意识、有目的地引导学生在这个过程中感受、体会相应的数学思想方法.广大数学教师深知数学思想方法重要，都想“渗透”，许多教师在教学实践中探索解决“怎样渗透”的课题.多年的探索实践，积累、提炼了比较成功的经验.笔者建议教师们在教学中从以下几个方面努力，促进学生思维能力的发展.1.正确处理好几个关系（1）阶段性和连续性的关系（2）整体性和个别性的关系思维能力是一个整体结构.在数学教学过程中，各种思维方法与形式只有相对的独立性，在思维过程中是密切联系、相互补充、交错作用的.学生通过对事物或现象的分析综合，就可以对两个或两个以上的事物进行比较，在比较中进行分析综合，找出它们之间的异同；在分析比较的基

7、础上，进一步区分对象的各种组成部分，分出哪些是一类事物共有的一般的本质属性，然后把这些同类事物的属性结合在一起，这就进行了抽象概括，从而形成了概念.在教学中，教师应该从整体着眼，有目的、有计划地逐步提高思维过程中的各种基本能力，要善于组织学生的思维活动，还要有意识地引导学生学会自己去组织自己的思维活动.这样，才能在获得数学知识与技能的同时，发展他们的思维能力，提高他们的智力水平.（3）一般性和特殊性的关系各年级段学生思维过程中的一般的、典型的、本质的特征代表了该年段学生思维发展的一般趋势.同一年龄的学生由于心理成熟的早晚，经验积累的多少，尤其是学校、家庭以及社会教育的影响，他们的思维特征表现出

8、一定的差异性和特殊性.我们不能以特殊性来否定一般性，也不能以一般性来抹杀或限制特殊性.在教学中要注意因材施教，从每个学生的情况出发，既要充分发挥好学生的才能，也要让学习困难的学生提高.对于学习困难的学生不仅要补知识缺陷，还要引导他们打开思路，学会思考.我们的教学，要使每个学生的思维能力都得到充分的发展.2.重视挖掘教科书中蕴涵的数学思想方法培养发展学生思维能力的主要阵地是课堂，主要依据是教科书小学数学教科书编写，一般都把学科特点与儿童的思维特点结合起来，既体现数学的逻辑顺序，又体现儿童的思维顺序.数学思想方法蕴藏在数学知识之中，教科书中丰富的数学思维因素，教师要有意识地结合教学内容把培养思维贯

9、穿在不同年级、不同的教学环节之中.要让学生在获取数学知识的过程中，逐步学会观察、比较、分析、综合、类比、联想、想象、猜想等基本的思维方法，体会数学的基本思想和思维方式，发展思维能力.3.正确运用数学的思维方法进行教学由于小学生年龄特点和认识水平有限，培养小学生的思维能力，主要是在教学过程中通过教师示范、引导、指点，潜移默化地使学生获得一些思考问题的方法.例如在解决问题中，总是要根据信息条件之间及其与问题的关系去寻求解决的方法.推理过程可能是从问题到信息条件，也可能是从信息条件到问题，这实际上是分析法和综合法，有时也可能两种方法交错使用.教师需要通过例题的教学，给以示范，使学生逐步学会分析法和综

10、合法，并会灵活运用两种分析方法.另外，就教学数学知识的逻辑顺序讲：一是从特殊到一般，二是从一般到特殊.前者的思考顺序叫归纳，后者的思考顺序叫演绎.在小学阶段，归纳推理是教师引导学生获取知识的重要方法.只有正确运用数学的思维方法进行教学，才能使学生从中受到良好的影响，获得思维能力的发展.4.加强数学语言的培养，促进思维发展培养学生语言的表达和运用的能力，对于低年级可以要求用完整的句子来表达；对中年级可以要求有条理、连贯地表达思维过程；对高年级可要求逐步用数学语言，准确、简练和有根据地进行表达.在这方面，教师的语言应该是学生的表率，起到良好的示范作用.教师的语言力求用词准确、简明扼要、条理清楚，前

11、后连贯、逻辑性强.这样，对学生思维能力的形成会产生良好的影响.对培养学生的语言表达能力，要“阳光普照”，调动全体学生的积极性，使他们勇于探讨、善于争论，逐步能有根有据地进行议论、说理、阐明自己的见解.学生说理，是学生思维最活跃的时刻.通过语言表达，推动学生思维条理清楚，严密精确，达到培养提高思维的目的.这就要求教师面对全体学生，纠正把发言机会只给少数好学生的做法.对于个别学习困难的学生，要鼓励他们大胆发言，多给他们锻炼机会.为此，可以让他们有比较充分的准备再发言，使他们有可能比较完整地陈述自己的认识，也可以从复述训练开始，增强他们的信心.很明显，我们所说的加强数学语言的培养，不是指背数学概念、

12、计算法则，或者读课本中的结论及书面的叙述过程.而是利用教学内容，启发学生说推导过程、说算理、概括结论等.我们应该抓住课堂教学中一切可以让学生说的机会，让学生说，以促进学生思维的发展.5.通过学具操作培养学生的思维能力多年教学改革实践证明，学具对发展学生思维能力发挥了积极作用.在动手操作的全过程中要注意培养思维能力.操作不是单纯的身体动作，是与大脑的思维活动紧密联系着的.“用手思维”的形式对小学生学习数学知识是很有必要的.教师常引导学生通过操作学具发现数学知识，操作的过程同时也是发展思维的过程.进行学具操作，不是简单地让学生动手，活跃一下课堂气氛，而是研究怎样让学生在进行操作的全过程中，既易理解

13、知识，又获得思维发展.操作要有明确的目的.学习某些数学知识前操作学具，目的是帮助学生获得必要的、具体的感性认识，为学习新知识作准备.如揭示“圆周率”概念前，让学生测量不同的圆的直径、周长，计算圆的周长与直径的比值，就是让学生初步了解圆的周长与它的直径的比值是三点多.在学习某些知识前操作学具，目的是为了揭示概念的本质属性，帮助学生形成和掌握新概念或抽象概括出数学结论.动作能促进思维的发展，但必须在教师的正确引导下，通过学生的观察、比较、分析、综合、抽象、概括，把感性认识上升为理性认识，才能发展学生的思维能力.让学生动手操作，不能满足于操作过程的完成，让学生的认识停留在感知或表象的水平上，而要对操

14、作的过程和结果加以分析、比较，引导学生从中抽象概括出结论.如，“有余数除法”的教学，不仅让学生通过把7个平均分成2份、3份，发现存在着平均分有剩余的情况，支撑对有余数除法的认识，还要让学生通过对多次平均分活动的过程和结果的认识、分析和比较，获得“余数比除数小”的结论.至此，学生对有余数除法的认识才比较全面、准确.学具操作思维和语言训练相结合.在操作学具时，要充分给学生“说”的机会，让学生口述操作过程.动手操作要按一定的顺序进行，操作的顺序性可以培养学生语言的条理性，促进思维的逻辑性.在教学“20以内进位加法”时，让学生通过摆小棒掌握算法.例如教学“9+3”时，从3根小棒中拿出1根，与9根放一起

15、.使学生看到把9根凑成10根，9和1相加得10；再把10根和2根合在一起，10和2相加得12.操作过程反映出计算的思维过程，让学生按摆的顺序说出操作过程，进而表达思考过程，可以使学生切实理解和掌握这个过程.操作有序，决定了语言层次分明，计算思路清晰.在学生“说”时，教师还要注意帮助学生逐句修正，训练语言的准确性.实践证明，操作、思维和语言表达紧密结合起来，既利于加深学生对数学知识的理解，又利于培养学生的思维能力和语言表达能力.操作学具是完成教学目的的手段之一，不是目的.学具使用的适时、适量、适度，才能有效地培养学生的思维能力，促使教学目标的全面达成.另外，教师还应注意加强基础知识教学，重视学生获取知识的思维过程；加强思维训练，组织好学生的练习活动；发挥学生的积极性、主动性等.总之，培养发展学生的思维能力是数学学科教育的目的之一，是教师的重要任务.这个任务，需要在数学教学的全过程中逐步完成.使学生获得数学的基本思想目标，需要在数学学习的全过程中逐步达成.老子云：“合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下”.学生的思维能力发展，正如合抱之木、九层之台与千里之行，需要靠数学教师长