大学物理第一章习题解答

1、习题解答（注：无选择题，书本已给出）习题一1-6IrI与r有无不同？drdtdrdt有无不同？dvdt和a有无不同？其不同在哪里？dt试举例说明.解：（1）(2)drdtr是位移的模,是速度的模，即drdtr是位矢的模的增量，即dsdt1，rr2dr»、，dr只是速度在径向上的分量dt有rr?（式中？叫做单位矢）drdtd?rdt式中dr,一，、一r就是速度径向上的分量,dtdt有式中如不同如题1-1图所示.dt业表示加速度的模，即dtdvdtvv（表轨道节线方向单位矢）dv就是加速度的切向分量dt型是加速度a在切向上的分量.dtdvdtdvdtdv-dt故不予讨论）d?d?（与的运

2、算较复杂，超出教材规定,dtdt1-7设质点的运动方程为x=x（t）,y=y（t）,在计算质点的速度和加速度时，有人先求odrd2r出厂=*'X2y2,然后根据v=dL,及a=-4而求得结果；又有人先计算速度和加速度dtdt2的分量，再合成求得结果，即；221,22,22v =:dxdy 及 a= |d xd y1dtdtdt29 dt2你认为两种方法哪一种dx.i dtd2x. ri dt2dyjdtj dt2而前一种方法的错误可能有两点,2其二，可能是将生与匕dt dt2-22axay,d2x 2dt222d ydt2其一是概念上的错误,即误把速度、加速度定义作drv 一 adtd

3、2r dt2,、，, dr ，、误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明-dr不是速度的模,dt而只是速度在径向上的分量，同样,d2rJr也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中 dtd2r的一部分a径d4dt22ddt。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢 r在径向（即正确？为什么？两者差别何在?解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有rxiyj,drvdtd2ra2dt2故它们的模即为-22VxVy量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r及速度v的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。1-8一质点在xOy平面上运动，运动方程为x=3t+5,y=-12+3t

4、-4.2式中t以s计，x,y以m十.（1）以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；（2）求出t=1s时刻和t=2s时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；（3）计算t=0s时刻到t=4s时刻内的平均速度；（4）求出质点速度矢量表示式，计算t=4s时质点的速度；（5）计算t=0s至iJt=4s内质点的平均加速度；（6）求出质点加速度矢量的表示式，计算t=4s时质点的加速度（请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式）.解：(1)r(3t5)i23t4)jm(2)将t2代入上式即有18i0.5j11j4j5j(4)drdt3i(t3)jV43ivo

5、3i(6)V4V。43j4.5jm4jj417i12i20j7j3j,V441jdvdt这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。1j3i16j_13i5jms7j当人以1v0 (m s )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小.图上在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示.解：设人到船之间绳的长度为l,此时绳与水面成角，由图可知2,22lhs将上式对时间t求导，得dlcds2l2sdtdt根据速度的定义，并注意到l,s是随t减少的,题图dsv船dtlvodlv0,v船dtldlsdtl70sdsdtcos(h22.1/2s)Vo亦即2)2 18t将v船再对

6、t求导，即得船的加速度dv船a dtdls -dt2 s l2、2 一)V0 s2su 2 2h Vo3s1-9质点沿X轴运动，其加速度和位置的关系为Vo slv 船一2vos2a = 2+6 x , a的单位为x的单位为m.质点在x=0处，速度为10ms1,试求质点在任何坐标处的速度值.解:dv adtdv dxdx dtdv vdx分离变量:adx (26x2)dx两边积分得2x2x3由题知，x0时，v010,，c50v 2 x3 x25 m s 11-10已知一质点作直线运动，其加速度为a = 4+3t2、一，.m s ,开始运动时,=0,求该质点在t=10s时的速度和位置.解:dvdt

7、分离变量，得dv(43t)dt积分，得v4t-12c12由题知，t0,v00,c10故v4t3t22又因为vdx4t3t2dt2分离变量，dx(4t|t2)dtc1c积分得x2t21t3c22由题知t0,x05,.c251。故x2t2-t352所以t10s时321v10410-102190ms12213X1021021035705m2=2+3t3,式中以弧度计，t以秒(2)当加速度的方向和半径成 45°角1-11一质点沿半径为1m的圆周运动，运动方程为计，求：(1)t=2s时，质点的切向和法向加速度;时，其角位移是多少？解：(1)t2s时,ddt9t2,ddt18tR118236ms

8、R21(922)21296ms2(2)当加速度方向与半径成45°角时，有atan451an即R2R32则解得t39于是角位移为3223t32322.67rad91.,2j.一r,.,日,sx1-12质点沿半径为R的圆周按s=v0t-bt的规律运动，式中s为质点离圆周上某点的弧长，v0,b都是常量，求：（1）t时刻质点的加速度；（2）t为何值时，加速度在数值上等于b.解：（1）ds vdtVo btb2(Vobt)2R(Vo bt) 4R22(Vobt)4abb 9R24,2.2(V0忖)4b b 2,(v0bt) 0R则加速度与半径的夹角为（2）由题意应有即，aRbarctan2an

9、(Vobt)半径为R的轮子，以匀速Vo沿水平线向前滚动：（1）证明轮缘上任意点B的运动方程为X=R（tsint）,y=R（1cost）,式中v0/R是轮子滚动的角速度，当B与水平线接触的瞬间开始计时.此时B所在的位置为原点，轮子前进方向为x轴正方向；（2）求B点速度和加速度的分量表示式.解：依题意作出下图，由图可知VotVotR(2Rsin-cos-22RsintRsint)v1vx v0cos60oan1 g 10ms22Rsinsin一22R(1cos)R(1cost)(2)dxVxvydtdydtR(1Rsincost)ax2sint)ay2cosdVxdtdVydt以初速度v0解：设小

10、球所作抛物线轨道如题o61一20ms抛出一小球，抛出万向与水平面成幔60的夹角,求：(1)球轨道最高点的曲率半径R1；(2)落地处的曲率半径R2.(提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)1-10图所示.题图(1)在最高点,又aman110m(2)在落地点,V22V21-13一质点在半径为半径为0.4a=0.2rads解：当t2s时,(202cos60)10V00.4如题1-12图,an2cos60o-2(20)an210cos6080mm勺圆形轨道上子静止开始作匀角加速转动，其角加速度为，求t=2s时质点上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度.0.4t0.20.16manR22an

11、a0.4rads0.4(0.4)20.40.20.0640.08m,(0.064)2(0.08)220.102ms2物体A以相对B的速度v=J2gy沿斜面Vt动，y为纵坐标，开始时A解：当滑至斜面底时,在斜面顶端高为h处,B物体以u匀速向右运动，求A物滑到地面时的速度.yh,则Va«2gh,A物运动过程中又受到B的牵连运动影响,Va2ghcos)i(2ghsin)j1-14一船以速率Vi=30km-h-1沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率V2=40km-h沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何？在艇上看船的速度又为何？解：(1)大船看小艇，则有v21v2V1,依题意作速度矢量图如题1-13图(a)由图可知v21v12 v2 50 km h题1-14图方向北偏西arctan-arctan36.87v24(2)小船看大船，则有Vi2Viv