初中数学一次函数学案

1、专题：一次函数基础知识梳理1、正比例函数一般地，形如 (是常数，)的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数。2、正比例函数图象和性质一般地，正比例函数（为常数，）的图象是一条经过原点和（1，）的一条直线，我们称它为直线。当k>0时，直线经过第 象限，从左向右上升，即随着x的增大， ；当k<0时，直线经过第 象限，从左向右下降，即随着x的增大 .3、正比例函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式中的常数，其基本步骤是：（1）设出含有待定系数的函数解析式；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程；（3）解方程，求出待定系数；（

2、4）将求得的待定系数的值代回解析式.4、一次函数一般地，形如 (k,b是常数，k0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.5、一次函数的图象（1）一次函数 (的图象是经过（0，b）和（，0）两点的一条直线，因此一次函数的图象也称为直线. （2）一次函数的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可。一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），（，0）.即横坐标或纵坐标为0的点.6、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数的图象是一条直

3、线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.7、直线y=kxb的图象和性质与k、b的关系如下表所示：b>0b<0b=0k>0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y随x的增大而增大k<0经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降，y随x的增大而减小8、直线与图象的位置关系： (1)当b>0时，将图象向x轴上方平移b个单位，就得到的图象(2)当b<0时，将图象向x轴下方平移b个单位，就得到了的图象9、直线：与：的位置关系可由

4、其解析式中的系数和常数来确定：当时，l1与l2相交10、直线 (k0)与坐标轴的交点(1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0，0)；(2)直线与x轴交点坐标为(，0),与 y轴交点坐标为(0，b)11、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：关键：确定一次函数y= kx+ b中的字母 与 的值 步骤：1、设一次函数表达式 2、将x，y的对应值或点的坐标代入表达式； 3、解关于系数的方程或方程组； 4、将所求的待定系数代入所设函数表达式中。12、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组、一次函数与一元一次方程：一般地将x= 或y 代入y= kx+ b中解一元一次方程可求求直线与坐

5、标轴的交点坐标。、一次函数与一元一次不等式：kx+ b>0或kx+ b<0即一次函数图象位于x轴上方或下方时相应的x的取值范围，反之也成立、一次函数与二元一次方程组：两条直线的交点坐标即为两个一次函数所列二元一次方程组的解，反之根据方程组的解可求两条直线的交点坐标【特别提醒：1、一次函数与三者之间的关系问题一定要结合图象去解决2、在一次函数中讨论交点问题即是讨论一元一次不等式的解集或二元一次方程组解的问题】3、一次函数的应用 一般步骤：（1）设定问题中的变量 （2）建立一次函数关系式 （3）确定自变量的取值范围 （4）利用函数性质解决问题 （5）作答【特别提醒：一次函数的应用多与二

6、元一次方程组或一元一次不等式（组）相联系，经常涉及交点问题，方案设计问题等】 13、正比例函数和一次函数的图象、性质考点一：一次函数的概念例1、一根弹簧长15，它所挂的物体质量不能超过18kg，并且每挂1kg就伸长.写出挂上物体后的弹簧长度y（）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式 例2、下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）y=-x； （2）y=-； （3）y=-3-5x； （4）y=-5x2； （5）y=6x- （6）y=x(x-4)-x2.练习（1）当m为何值时，函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数？（2）当m为何值时，函数y=-（m-2）x+（m-4）是正比例

7、函数？考点二：一次函数的图像例3. 已知一次函数y=(4m+1)x-(m+1).（1）m为何值时，y随x的增大而减小？。（2）m为何值时，直线与y轴的交点在x轴上？。（3）m为何值时，直线位于第二、三、四象限？。练习（1）对于函数y5x+6，y的值随x值的减小而_。（2）一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过_ 象限。（3）一次函数 y=(6-3m)x(2n4)不经过第三象限，则m、n的范围是_。例4. 下列图形中，表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx（m，n为常数，且mn0）的图象的是（）A、 B、 C、 D、练习：（1）已知直线y=kx

8、+b经过第一、二、四象限，那么直线y=-bx+k经过第_象 限。 （2）无论m为何值，直线y=x+2m与直线y=-x+4的交点不可能在第_象限。 （3）y=x与y=-2x+3的图像的交点在第_象限 （4）无论实数m取什么值，直线y=x+m与y=-x+5的交点都不能在（） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 考点三：一次函数图像的变换例5.将直线y=2x向右平移2个单位所得的直线的解析式是（）A、y=2x+2 B、y=2x-2 C、y=2（x-2） D、y=2（x+2）例6.一次函数y=2x+3的图象沿y轴向下平移2个单位，那么所得图象的函数解析式是（）A、y=2x-3 B、

9、y=2x+2 C、y=2x+1 D、y=2x例7.函数的图象过点P（2，3），且与函数的图象关于y轴对称，那么他们的解析式= ； = 练习：（1）若正比例函数y=kx与y=2x的图象关于x轴对称，则k的值= （2）如图，是一个正比例函数的图象，把该图象向左平移一个单位长度，得到的函数图象的解析式为 （3）直线向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线 。（4）已知直线y=2x+1求已知直线与y轴交点A的坐标；若直线y=kx+b与已知直线关于y轴对称，求k与b的值考点四 用待定系数法求函数解析式 例8.若点A（2，-3）、B（4，3）、C（5，）在同一条直线上，则的值是（）A、6或-6 B、6

10、 C、-6 D、6和3例9.如图，已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（3，1） 1.写出一个图象经过A，B两点的函数表达式；2.指出该函数的两个性质 例10、如图所示，已知直线y=x+3的图象与x轴、y轴交于A，B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把AOB的面积分为2：1的两部分，求直线l的解析式例11、一次函数与正比例函数的图象都经过点（2，-1）.（1）分别求出这两个函数的解析式.（2） 求这两个函数图象与x轴围成的三角形的面积.考点五：一次函数与一元一次方程及一元一次不等式例12已知一次函数y=ax+b（a、b为常数），x与y的部分对应值如下表：x-2-10123y6420

11、-2-4那么方程ax+b=0的解是 ； 不等式ax+b0的解是 。 练习：（1）一元一次方程3x-1=5的解就是一次函数 与x轴的交点横坐标（2）如图，直线y=kx+b交坐标轴于A，B两点，则不等式kx+b0的解集是（）A、x-2 B、x3 C、x-2 D、x3（3）作出函数y=2x-4的图象，并根据图象回答下列问题： 当-2x4时，求函数y的取值范围； 当x取什么值时，y0，y=0，y0； 当x取何值时，-4y2考点六 一次函数的实际运用例13、小明、爸爸、爷爷同时从家里出发到达同一目的地后立即返回，小明去时骑自行车，返回时步行；爷爷去时是步行，返回时骑自行车；爸爸往返都是步行。三人步行的速

12、度不等，小明和爷爷骑自行车的速度相等，每个人的行走路程与时间的关系如图9中的A、B、C表示，根据图象回答下列问题：A路程（千米）时间（分）12002620OB路程（千米）时间（分）12002412OC路程（千米）时间（分）12006O(1)三个图象中哪个对应小明、爸爸、爷爷？(2)小明家距离目的地多远？(3)小明与爷爷骑自行车的速度是多少？爸爸步行的速度是多少？例14、甲、乙两地相距80km，A骑自行车，B骑摩托车沿相同路线由甲地驶往乙地.两人行驶路程y（km）与时间x（h）之间的关系如图6-1-3所示，请你根据图象回答下面问题：（1） 谁出发较早？早多少时间？谁到达乙地较早？早多少时间？（2

13、）两人在途中行驶的速度分别是多少？（3）请你分别求出表示自行车和摩托车行驶的路程y（km） 与时间x（h）的关系式.（要求写自变量的取值范围）（4）指出在哪段时间里两车均行驶在途中（不包括端点），在这一时间段里，请你按要求写出关于时间x的方程或不等式.自行车行驶在摩托车之前.自行车与摩托车相遇时.自行车落后于摩托车. 例15、如图6-3-4，某工厂有甲、乙两条生产线先后投产，在乙生产线投产以前，甲生产线已生产了200吨成品，从乙生产线投产开始，甲、乙两条生产线每天分别生产20吨和30吨成品.（1）分别求出甲、乙两条生产线投产后，总产量y（吨）与从乙开始投产以来所用时间x（天）之间的关系式，并求

14、出第几天结束，甲、乙两条生产线的总产量相同.（2）在如图所示的坐标系中，作出上述两个函数在第一象限内的图象.观察图，分别指出第15天和第25天结束时，哪条生产线的总产量最高.练习（1）某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x（kg）与其运费y（元）由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量（）A、20kg B、25kg C、28kg D、30kg（2）2007年4月，巴中市出租车收经费方式全面调整，具体收费方式如下：行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步价3元，超过3千米后，每多行驶1千米加收1.4元，试写出乘车费用y（元）与乘车距离x（千米）x3之间的函数关系式为

15、（3）从地面到高空11千米之间，气温随高度的升高而下降，每升高1千米，气温下降6已知某处地面气温为23，设该处离地面x千米（0x11）处的气温为y，则y与x的函数关系式是 （4） 某汽车加油站储油45000升，每天给汽车加油1500升，那么储油量y（升）与加油x（天）之间的关系式是什么？并指出自变量的取值范围【提高题】 1.已知，那么的图象一定不经过（ ）A 第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2. 当满足 时，一次函数的图象与轴交于负半轴.3.已知一次函数的图象，交x轴于A（-6，0），交正比例函数的图象于点B，且点B在第三象限，它的横坐标为-2，AOB的面积为6平方单位，求正比例函

16、数和一次函数的解析式。 4.已知正比例函数y=kx (k<0)图象上的一点与原点的距离等于13，过这点向x轴作垂线，这点到垂足间的线段和x轴及该图象围成的图形的面积等于30，求这个正比例函数的解析式。 5.某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过14吨（含14吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过14吨时，超过部分每吨按市场调节价收费小英家1月份用水20吨，交水费29元；2月份用水18吨，交水费24元（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少？（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，写出y与x之间的函数关系式；（3）小英家3月份用水24吨，她家应交水费多少元？6.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系,如下表：x(元)152030y(件)252010若日销售量y是销售价x的一次函数.（1）求出日销售量y（件）与销售价x(元)的函数关系式: （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？7.已知：函数y = (m+1) x+2 m6（1）若函数图象过（1 ，2），求此函数的解析式。（2）若函数图象与直线 y = 2 x + 5 平行，求其函数的解析式。（3）求满足（2）条件的直线与此同时y = 3 x + 1 的交点，并求这两条直线 与y 轴所围