全国高中数学联赛模拟卷7一试二试附详细解答

1、2012年全国高中数学联赛模拟卷(7)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_考试号：_得分：_一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）_1. 集合, 则的取值范围是_2. 某人投两次骰子, 先后得到点数, 用来作为一元二次方程的系数, 则使方程有CABDEFMN实根的概率为_3. 过四面体的顶点作半径为的球，该球与四面体的外接球相切于点，且与平面相切。若，则四面体的外接球的半径_4. 如图, 分别为正六边形ABCDEF的对角线AC,CE的内分点,且, 若B,M,N三点共线,则=_ 5. 已知是偶函数，则函数图像与轴交点的纵坐标的最大值是 6. 对所有的实数及均有, 则实

2、数的取值范围是 _ .7. 定义“n次幂平均三角形”:如果ABC的三边满足等式：(), 则称ABC为“n次幂平均三角形”. 如果ABC为“3次幂平均三角形”, 则角B的最大值是 _ .8. 设为复数, 其中, 若, 则当的辐角主值最小时, 的值为_二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9定义域为实数集R的函数f(x)同时满足以下3个条件：x0时，f(x)0，f(1)2，对任意m，n，都有f(mn) f(m)f(n)设集合，若AB且AC，试求实数a的取值范围10. 已知双曲线方程，是否存在过焦点的直线l，交双曲线于A、B两点，使得AOB若存在，求出l的方程；若

3、不存在，请说明理由。11. 数列an满足对任意nN*，求的最小值2012年全国高中数学联赛模拟卷(7)答案1、由条件知, A, 2a+13a5, A, 解得a4或1a9.2、由题意知，则事件总数为36，而方程有实根等价于, 即：，据此可列出的值：1, 2, 3, 4, 5, 6。的个数为：5, 4, 3, 3, 2, 2。即5+4+3+3+2+2=19，故概率为3、过作平面的垂线，垂足为，作，垂足为，垂足为，则，且有。由于，则，因此为半径为的球的直径，从而四面体 的外接球的球心在的延长线上，于是有，解得.4、延长EA，CB交于P，设正方形边长为1，易知PB=2，A为EP的中点，EA=AP= ，

4、由，可得：，又，CA是边上的中线，则有，即：，整理得：，因为当B，M，N三点共线时，存在实数使得，故，解得5、是偶函数, , 即,. 的图像与轴交点的纵坐标是,设a=2cos, b=2sin, 0, , 3ab=6cos2sin, 当时，最大为66、即恒成立, 则, 即或. 或. , 当且仅当, 即.故. 又易知函数在单调递减, 故. 综上可知, 实数的取值范围是.7. 解：注意到条件, 猜想当时, 角B达到最大值, 由余弦定理知,此时, 得到B=.为此只需证明. 即证明, 即 ,即 , 即. 显然.8、因为，所以，于是对应的点P在以对应的点M为圆心，3为半经的圆C上，当的辐角主值最小时,OP

5、与圆C相切，而，则，于是，又的辐角主值，所以，故9、由条件令m0得f(0)0；再令mx，nx得：f(x) f(x)；所以f(x)在R上是奇函数设x1，x2R，且x2x1，则x2x10，由和知：，所以在R上是增函数由f(1)2及可得：2412f(1)f(12)，所以f(3x2)f(4y2)24，即f(3x24y2)f(12)，从而；由f(x) f(ay)f(3)0得：f(xay3)f(0),从而；由得：，从而；由AB可求得：；由AC可求得：；所以实数a的取值范围是：10、， 焦点坐标，不防设过右焦点F：若轴，则A，B坐标为，矛盾！故可设的方程为 设A：（x1,y1）,B（x2,y2）.，由、，得 k22时，只有一个根，至多只能对应一个交点，不可能故k22由韦达定理得 ， 由、，得由、，得，矛盾！故不存在过右焦点的直线，同时满足条件（1）、（2）同理，也不存在过左焦点的直线满足题意11、由已知：，从而还有以上两式相减，得， 故 （1）若数列中所有项均为1，则（2）若数列中所有项不均为1，设a1a2am11(m1时该式省去)，am1.中，取nm, 有am11或a1a2am1am1由前面所设，a1a2am-1amam 1am11设amkamk1am11，则中，取nmk, 有am k11或a1a2amk1，同理，只可能是am k11另