王划一版32稳定性和误差

1、13.5线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析 如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度差有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态，则这种系统称为恢复到初始平衡状态，则这种系统称为；如果系统受到有界扰动，只有当扰动引起的初；如果系统受到有界扰动，只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态，到初始平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态，则称为则称为。23 对于稳定的线性系统

2、，它必然在大范围内和小范对于稳定的线性系统，它必然在大范围内和小范围内都能稳定，只有非线性系统才可能有小范围稳定围内都能稳定，只有非线性系统才可能有小范围稳定而大范围不稳定的情况。而大范围不稳定的情况。4 线性控制系统线性控制系统的定义如下：若线性控制系的定义如下：若线性控制系统在初始扰动统在初始扰动 (t)的影响下，其过渡过程随着时间的推的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称系统为稳定。反之，则移逐渐衰减并趋向于零，则称系统为稳定。反之，则为不稳定。为不稳定。 线性系统的稳定性只取决于系统自身固有特性，线性系统的稳定性只取决于系统自身固有特性，而与输入信号无关。而与输入信

3、号无关。 根据定义输入根据定义输入 (t)，其输出为脉冲过渡函数，其输出为脉冲过渡函数g(t)。如果当如果当 t时，时， g(t)收敛到原来的平衡点，即有收敛到原来的平衡点，即有0)(lim tgt那么，线性系统是稳定的。那么，线性系统是稳定的。5 qirkkdktktpitteBeAtgkki)0( )sin()( 01110111)()()(asasasabsbsbsbsDsMsnnnnmmmm ：闭环系统特征方程的闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均位于位于s左半平面（不包括虚轴）。左半平面（不包括虚轴）。 根

4、据稳定的充要条件决定系统的稳定性，必须知道根据稳定的充要条件决定系统的稳定性，必须知道系统特征根的全部符号。系统特征根的全部符号。然而对于高阶系统，求根的工作量然而对于高阶系统，求根的工作量很大，常常希望使用一种直接判断根是否全在很大，常常希望使用一种直接判断根是否全在s s左半平面左半平面的代替方法，下面就介绍劳斯代数稳定判据。的代替方法，下面就介绍劳斯代数稳定判据。不失一般性，设不失一般性，设n 阶系统的闭环传递函数为阶系统的闭环传递函数为6 首先给出首先给出：设线性系统的闭：设线性系统的闭环特征方程为环特征方程为0)()(10122110 niinnnnnssaasasasasasD式中

5、，式中，a0 0 , si（i =1,2 , , n）是系统的）是系统的n个闭环极点。个闭环极点。根据代数方程的基本理论，下列关系式成立：根据代数方程的基本理论，下列关系式成立：0211011aassaasnjijijinii 01)1(aasnnnii 7 从上式可以导出，系统特征根都具有负实部的必从上式可以导出，系统特征根都具有负实部的必要条件为：要条件为：ai aj 0 ( i, j =1,2, , n)即闭环特征方程各项同号且不缺项。即闭环特征方程各项同号且不缺项。 如果特征方程不满足上式的条件，系统必然非渐近如果特征方程不满足上式的条件，系统必然非渐近稳定。但满足上式，还不能确定一定

6、是稳定的，因为稳定。但满足上式，还不能确定一定是稳定的，因为上式仅是必要条件。下面给现系统稳定的充分必要条上式仅是必要条件。下面给现系统稳定的充分必要条件。件。 1. 1. 劳斯判据劳斯判据 该方程式的全部系数为该方程式的全部系数为正，且由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都正，且由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都要是正的；劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等要是正的；劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等于相应特征方程式位于右半于相应特征方程式位于右半s平面上根的个数。平面上根的个数。81, 11 , 11,21 ,21 , 11 jiijiiiijcccccc表中：表中：1 1）最左

7、一列元素按）最左一列元素按s 的幂次排列，由高到低，只起标的幂次排列，由高到低，只起标识作用，不参与计算。识作用，不参与计算。2 2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。3 3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。aa2 a4 aa3 a5 cc2 c3 cn (an)snsn1 sn2 s1 s0 ( i 3, j = 1, 2, )9 2. 2.劳斯判据的应用劳斯判据的应用 （1）判断系统的稳定性判断系统的稳定性 例例3-5 设有下列特征方程设有下列特征方程D(s) = s4 +

8、2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0试用劳斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。试用劳斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。 解解：劳斯表劳斯表第一列元素第一列元素 符号改变了符号改变了2次，次，系统不稳定，且系统不稳定，且s 右半平右半平面有面有2个根。个根。s4s3s2s1s01 3 52 4 615510例例3-6 系统的特征方程为系统的特征方程为 D(s) = s3 3s + 2 = 0试用劳斯判据确定正实数根的个数。试用劳斯判据确定正实数根的个数。解：系统的劳斯表为解：系统的劳斯表为：劳斯表中某劳斯表中某行的第一列元素为零，而其余行的第一列元素为零，而其余各项不为零，或不全为

9、零。对各项不为零，或不全为零。对此情况，可作如下处理：此情况，可作如下处理：s3s2s1s01 3 0 2 用一个很小的正数用一个很小的正数 来代替第一列为零的项，从而来代替第一列为零的项，从而使劳斯表继续下去。使劳斯表继续下去。 可用因子可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中乘以原特征方程，其中a可为任意可为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯判据。正数，再对新的特征方程应用劳斯判据。11 321b0+时，时，b1 0，劳斯表，劳斯表中第一列元素符号改变了两中第一列元素符号改变了两次次系统有两个正根，不稳定。系统有两个正根，不稳定。 （s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程为：）乘以原特征方程

10、，得新的特征方程为： D1(s) = D(s)(s + 3 ) = s4 + 3s3 3s2 7s + 6 = 0s3s2s1s01 3 0() 22s4s3s2s1s0 1 3 6 3 7 2/3 6 20 612例例3-7 设某线性系统的闭环特征方程为设某线性系统的闭环特征方程为 D(s) = s4 + s3 3s2 s + 2 = 0试用劳斯判据判断系统稳定性。试用劳斯判据判断系统稳定性。解解:该系统的劳斯表如下该系统的劳斯表如下：劳斯表中某行元素全为零。此时，劳斯表中某行元素全为零。此时，特征方程中存在对原点对称的根（实根，共轭虚根或特征方程中存在对原点对称的根（实根，共轭虚根或共轭复

11、数根）。对此情况，可作如下处理：共轭复数根）。对此情况，可作如下处理：s4s3s2s1s0 1 3 2 1 1 2 2 0 013 由于劳斯表中第一列元素的符号改变了两次，由于劳斯表中第一列元素的符号改变了两次，系统有两个正根，系统不稳定。关于对原点对称的根，系统有两个正根，系统不稳定。关于对原点对称的根，可解辅助方程求出。得可解辅助方程求出。得 s1=1 和和 s2= 1 。 对本例题，可用长除法求出另二个根，分别为对本例题，可用长除法求出另二个根，分别为 s3=1 和和 s4= 2 。 用全为零上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助用全为零上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得

12、方程的系数代替全零行，继续劳斯表。方程求导，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。s4s3s2s1s0 1 3 2 1 1 2 2 4 2F(s) = 2s2+ 2 F (s)= 4s14 （2）分析参数变化对稳定性的影响）分析参数变化对稳定性的影响 例例3-8 已知系统结构图如下，试确定使系统稳定时已知系统结构图如下，试确定使系统稳定时K的取值范围。的取值范围。 解：系统特征方程式解：系统特征方程式 s3 + 3s2 + 2s + K = 0要使系统稳定，劳斯表中第要使系统稳定，劳斯表中第一列元素均大于零。一列元素均大于零。0 K 6s3s2s1s0 1 2 3 K(6 K)/3 Ks(s

13、+1)(s+2)R(s)C(s) K+15（3）确定系统的相对稳定性）确定系统的相对稳定性 例例3-9 检验多项式检验多项式2s3 + 10s2 + 13s + 4 = 0是否有根在是否有根在s 右半平面，并检验有几个根在垂直线右半平面，并检验有几个根在垂直线 s = 1的右边？的右边？解：解：1) 劳斯表中第一列元素均劳斯表中第一列元素均为正为正系统在系统在s 右半平面没有右半平面没有根，系统是稳定的。根，系统是稳定的。 2) 令令 s = s1 1 坐标平移，得新特征方程为坐标平移，得新特征方程为2 s13 + 4 s12 s1 1 = 0s3s2s1s0 2 13 10 412.2 41

14、6 劳斯表中第一列元素不全为正，且第一列元素符号劳斯表中第一列元素不全为正，且第一列元素符号改变了一次，故系统在改变了一次，故系统在s1 右半平面有一个根。因此，系右半平面有一个根。因此，系统在垂直线统在垂直线 s = 1的右边有一个根。的右边有一个根。s13s12s11s10 2 1 4 1 0.5 1 2 s13 + 4 s12 s1 1 = 0173.6稳态误差的定义及一般计算公式稳态误差的定义及一般计算公式 1. 1. 误差的定义误差的定义 误差的定义有两种：误差的定义有两种： 从系统输入端定义，从系统输入端定义，它等于系统的输入信号与它等于系统的输入信号与主反馈信号之差，即主反馈信号

15、之差，即 E(s)=R(s) B(s) 从系统输出端定义，它定义为系统输出量的实际值与从系统输出端定义，它定义为系统输出量的实际值与希望值之差希望值之差。（。（性能指标中经常使用）性能指标中经常使用） 对于单位反馈系统，两种定义是一致的。对于单位反馈系统，两种定义是一致的。 2. 2.两种定义的关系两种定义的关系G(s)R(s)C(s)+H(s)E(s)B(s)18 由图可知，由图可知，R (s)表示等效单位反馈系统的表示等效单位反馈系统的输入信号，输入信号，也就是输出的希望值。因而，也就是输出的希望值。因而， E (s)是从输出端定义的非是从输出端定义的非单位控制系统的误差。单位控制系统的误

16、差。 E(s) = R(s) B(s) = R(s) H(s)C(s) )()()(1)()()(sCsRsHsCsRsE 由此可见，从系统输入端定义的稳态误差，可以直接由此可见，从系统输入端定义的稳态误差，可以直接或间接地表示从系统输出端定义的稳态误差。或间接地表示从系统输出端定义的稳态误差。G(s)H(s)R(s)C(s) 1H(s)E(s)R(s)+)()(1)()()()(1sEsHsCsHsRsH 19 3.3.稳态误差稳态误差ess定义：定义：)(lim)(lim0sssEteetss 终值定理终值定理 例例3-10 设单位反馈控制系统的开环传函为设单位反馈控制系统的开环传函为 试

17、求当输入信号分别为试求当输入信号分别为r(t) = t2/2 ，r(t) = 1(t) ， r(t) = t ， r(t) = sint 时时，控制系统的稳态误差。控制系统的稳态误差。 解：解：TssG1)( TssTssGssRsEe/1/111)(11)()()( (1) 当当 r(t) = t2/2 R(s) =1/s3解法一：解法一：终值定理的条件终值定理的条件31/1)(sTsssE sTsssEessss1/11lim)(lim0020解法二解法二：TsTsTsTsTsssE/11/1)(2223 e(t) = T(tT) + T2 e t/T )(lim)(teeesstssss

18、(2)当当 r(t) = 1(t) R(s) =1/ssTsssRsGsE1/1)()(11)( 0)(lim0 ssEesss(3)当当 r(t) = t R(s) =1/s221/1)(sTsssE TsTsssEsessss 1/1lim)(lim0021221)( ssssET222222122111 scssTTsTTTtTTtTTeTTteTt sin1cos11)(22222222 )sin(cos1)(22tTtTTtess 0)( sse)sin(122 tTTTtg 11 (4)当当r(t) = sint R(s) = /(s2 + 2) 终值定理的条件不成立！22不失一般

19、性，开环传函可写为：不失一般性，开环传函可写为：N = 0 称为称为 0 型系统；型系统；N = 1 称为称为型系统；型系统；N = 2 称为称为型系统。型系统。等等等等在一般情况下，系统误差的拉氏变换为：在一般情况下，系统误差的拉氏变换为：)()(11)()()(sRsGsRssEke )()1()1()()()(011sGsKsTssKsNsMsGNNniimjjNk 233.6.3 3.6.3 给定信号作用下的稳态误差分析给定信号作用下的稳态误差分析1. 1.阶跃输入作用下的稳态误差阶跃输入作用下的稳态误差)()(lim111)()(11lim00sHsGssHsGsessss 令令)(

20、)(lim0sHsGKsp 系统的静态位置误差系数系统的静态位置误差系数pssKe 11容许位置误差容许位置误差容许位置误差容许位置误差希望输出的位置希望输出的位置 sssspeeK1 0 型系统：型系统： Kp = K ess = 1/ (1+ K)型及型及型以上系统：型以上系统： Kp = ess = 0242. 2.单位斜坡输入作用下的稳态误差单位斜坡输入作用下的稳态误差)()(lim11)()(11lim020sHssGssHsGsessss 令令100lim)()(lim NssvsKsHssGK静态速度误差系数静态速度误差系数vssKe1 容许的位置误差容许的位置误差希望的输出速度

21、希望的输出速度 ssveK1 0 型系统：型系统： Kv = 0 ess = 型系统：型系统： Kv = K ess = 1/ K型及型及型以上系统：型以上系统： Kv = ess = 0253.3.加速度输入作用下的稳态误差加速度输入作用下的稳态误差)()(lim11)()(11lim2030sHsGsssHsGsessss 令令2020lim)()(lim NssasKsHsGsK静态加速度误差系数静态加速度误差系数assKe1 容许位置误差容许位置误差希望输出的加速度希望输出的加速度 ssaeK1 0 型系统：型系统： Ka = 0 ess = 型系统：型系统： Ka = 0 ess =

22、 型系统：型系统： Ka = K ess = 1/ K 型及型及型以上系统：型以上系统：Ka = ess = 026阶跃、斜坡、加速度输入作用下的稳态误差阶跃、斜坡、加速度输入作用下的稳态误差r(t)=t2/2r(t)=tr(t)=1(t)静态误静态误差系数差系数系统系统型别型别ess=1/Ka ess=1/Kv ess=1/(1+ Kp ) Kp Kv KaN1/(1+ K ) K 0 001/K 00 K21/K 0 K 0127 例例3-11 已知两个系统如图所示，当参考输入已知两个系统如图所示，当参考输入r(t) = 4 + 6 t + 3t 2 ，试分别求出两个系统的稳态误差。试分别求出两个系统的稳态误差。 解：图（解：图（a），型系统型系统 Kp = ， Kv =10/4 ，Ka = 0 avpssKKKe66141图（图（b），型系统型系统Kp = ， Kv = ，Ka = 10/44 . 2