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1、均值不等式的四种变形及其应用定理：如果，那么（当且仅当取等号）。这个定理至少有四种变式。例如一 第一种变式为 它是怎样用定理“如果，那么（当且仅当取等号），”推导出来的呢？只要在么的两边同时加上可推出为它可以用中文数学语言叙述成“两个非负数的平方和的2倍不小于这两个非负数的和的平方。”什么时候用这一均值不等式的变式呢？凡带有根号形式的不等式证明题可用此第一种变式。例1设，求证：。证明： 所以证：。例2设x,y均为正数,求证:x-2y（1987年列宁格勒数学奥林匹克试题）.证明：用均值不等式的变形公式（移项得x-2y.例3 若a,b,c且a+b+c=1,求证:.证明:用三元均值不等式的变形公式两

2、边开方得出例4 若a,b,c,d且a+b+c+d=1求证:证明: 用四个变量均值不等式的变形公式.两边开方得出所要证的结果.二 笫二种变形。这个变形公式是如何证明的？用中文的数学语言如何表达？何时用这一变形公式？只要在定理（当且仅当取等号）的两边同除以再移项即可得形。叙述“成一个数的平方除以第二个数不小于第一个数的二倍减去第二个数”，证明分当式且分子是平方形式时，用此不等式来证明。例1 若a,b为正实数,求证.证明1：；又因为两式相加得柯西不等式 设则有不等式成立;当且仅当时等号成立.（证明从略）证明2: (用柯西不等式)构造两组数:代入柯西不等式之中(两边同除以推出。例2 :a,b,c为正数

3、,求证:证明1：以上三式相加得证:证明2：用柯西不等式证明是很容易的.先构造两组数代入柯西不等式之中.不等式之两边同除以(a+b+c)推出:例6若均为正数,求证:(1984年省市自治区联合数学竞赛题)证明1：以上个不等式边边相加得出证:。证明2:（用柯西不等式法）构造两组数代入哥西不等式两边同除以推出:三 用笫三种变形这个变形公式适用于“积定和最小” 的类型。公式如何证明？注意如何中文数学语言叙述？何时用这一公式？例7若正数满足求的最小值？解：= 。例8已知且求的最小值？解：由推导， 。例 已知求函数的最大值。解：因为所以数=当且仅当时，上式等号成立故当。例8求证:分析: 把拆成,当且仅当时等

4、号成立, 此时取等号.例求证: (x)分析: 把拆成便于使用均值不等式, 当且仅当时, 即时取等号,X是不可能的. 这是“误等”的一个陷井, 只有寻求其它途径, 才能彻底激活这种类型的数学题.从以上两例进行比较, 发现一个矛盾: 例8用均值不等式所得答案是正确的, 而例用均值不等式所得答案是错误的. 所谓比较数学就是将两道形式一样, 解题方法也类似的数学题进行比较而发现异同的数学. 比较数学在教学中应该有它的认识论, 激活论的重要作用.。例的正确解法又怎样呢？证法1：（利用函数的 递增性来证明）设则t2,y=取可见y=在(是增函数, 故当x=2时,y有最小值5/2, 即y=的最小值是5/2.证

5、法2: 因为y=又可设因为所以即00,求证的最大值是2解法1:(均值不等式法).,所以,即的最大值是,什么时候取最大值呢?3x=时, 的最大值是2。例9求函数y= 的最小值.解:(用均值不等式)当且仅当时,y取得最小值.关于“积定和最小” 的类型, 我们出示3道习题让学生练习:求的最小值（；求的最小值；（上两题关键在于拆项的技巧）求的最小值。（提示：）四 笫四种变形这个变形公式适用于“和定积最大” 的类型例9求的最大值。分析：虽然这种拆项能保证“和”一定的条件，但是却出现了“误等”的错误，事实上 同时成立是不可能的。可见“误拆”与“误等”是一对“孪生兄弟”， 用“和定积最大” 的方法是如下的正

6、确解法。解：，推出。例 已知，求的最值。分析：若用下列方法作是错的，.，为什么错呢? 这是“误等”的错误. 为了既不陷于“误等”的错误; 又不陷于“误正”的错误可用平方法.解: 推出当且仅当以上两题形式不同思想方法同例10 已知且，求的最大值及相应的的值。解：推出，当且仅当时等号成立，所以取最大值为。最后指出定理：如果，那么（当且仅当取等号）的应用例11（2005年重庆理科5）若是正数，则的最小值是（）解：又当且仅当成立，即时，则的最小值是为4。综上所述，用均值不等式求最值要有三个条件：“一正；二定；三相等” 即各项或各因式非负；和或积为定值；当且仅当各项（或各因式）都能取相等值时，等号成立。与之相反的是存在三个陷井：“误正”、“误定”、“误等”。 除此之外还有两个陷井：“误拆”（ 即错误的拆项）和“误传”（