变化率与导数导数的运算教学设计师

1、专题018：变化率与导数、导数的运算（教学设计）（师） 考点要求：1利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程2考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导3本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导. 知识结构：1函数yf(x)从x1到x2的平均变化率函数yf(x)从x1到x2的平均变化率为.若xx2x1，yf(x2)f(x1)，则平均变化率可表示为.2函数yf(x)在xx0处的导数(1)导数的概念：从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:我们称它为函数在出的导数，记作或，即 说明：（1）导数即为函数y=f(x

2、)在x=x0处的瞬时变化率 （2），当时，所以 (2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处切线的斜率相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)3函数f(x)的导函数称函数为f(x)的导函数，导函数有时也记作y.4基本初等函数的导数公式若f(x)c，则f(x)0；若f(x)x(R)，则f(x)x1；若f(x)sin x，则f(x)cos x；若f(x)cos x，则f(x)sin x；若f(x)ax(a>0，且a1)，则f(x)axln_a；若f(x)ex，则f(x)ex；若f(x)logax(a>0，且a1)，则

3、f(x)；若f(x)ln x，则f(x).5导数四则运算法则(1)f(x)±g(x)f(x)±g(x)；(2)f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)*6复合函数的求导法则复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyu·ux.7.一个区别曲线yf(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为kf(x0)，是唯一的一条切线；曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过

4、P点，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条8/两种法则(1)导数的四则运算法则*(2)复合函数的求导法则9.三个防范1利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆2要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别*3正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏基础自测：1下列求导过程中；()；(logax)；(ax)(eln ax)(exln a)exln aln aaxln a其中正确的个数是(D)A1 B2 C3 D42函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为()A2(x2a2) B2(x2a2) C3(x2a2) D3(x2a2)解

5、析f(x)(xa)2(x2a)2(xa)3(x2a2)答案C3(2011·湖南)曲线y在点M处的切线的斜率为()A B. C D.解析本小题考查导数的运算、导数的几何意义，考查运算求解能力y，把x代入得导数值为.答案B4(2011·江西)若f(x)x22x4ln x，则f(x)0的解集为()A(0，) B(1,0)(2，)C(2，) D(1,0)解析令f(x)2x20，利用系轴标根法可解得1x0或x2，又x0，所以x2.故选C.5如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0)_； _(用数字作答)6已知,

6、 则 0 。7若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为。例题选讲：例1：利用导数的定义求函数f(x)x3在xx0处的导数，并求曲线f(x)x3在xx0处切线与曲线f(x)x3的交点审题视点 正确理解导数的定义是求解的关键解f(x0) (x2xx0x)3x.曲线f(x)x3在xx0处的切线方程为yx3x·(xx0)，即y3xx2x，由得(xx0)2(x2x0)0，解得xx0，x2x0.若x00，则交点坐标为(x0，x)，(2x0，8x)；若x00，则交点坐标为(0,0)小结：利用定义求导数的一般过程是：(1)求函数的增量y；(2)求平均变化率；(3)求极限 .例2：求下列各函数的导数：(

7、1)y；(2)y(x1)(x2)(x3)；(3)ysin；(4)y；分析： 先把式子化为最简式再进行求导解(1)yxx3，y(x3)(x2sin x)x3x22x3sin xx2cos x.(2)法一y(x23x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11.法二y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)·(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2)(2x3)(x3)(x1)(x2)3x212x11.(3)ysinsin x，y(sin x)cos x.(4)y，y.小结：(1)熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是正确

8、求导的基础(2)必要时对于某些求导问题可先化简函数解析式再求导*例3：求下列复合函数的导数（复合函数的导数）(1)y(2x3)5；(2)yln(2x5)分析： 正确分解函数的复合层次，逐层求导解(1)设u2x3，则y(2x3)5，由yu5与u2x3复合而成，yf(u)·u(x)(u5)(2x3)5u4·210u410(2x3)4. (2)设yln u，u2x5，则yxyu·uxy·(2x5).小结：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解

9、成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程例4. 已知曲线y=（1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程. 解 （1）y=x2,在点P（2，4）处的切线的斜率k=|x=2=4. 曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. （2）设曲线y=与过点P（2，4）的切线相切于点，则切线的斜率k=|=. 切线方程为即 点P（2，4）在切线上，4=即(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 例5 如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程分析：本题重在理解导数的几何意义

10、：曲线在给定点处的切线的斜率，用导数的几何意义求曲线的斜率就很简单了。解：切线与直线平行， 斜率为4又切线在点的斜率为 或切点为（1，-8）或（-1，-12）切线方程为或即或点评：函数导数的几何意义揭示了导数知识与平面解析几何知识的密切联系，利用导数能解决许多曲线的切线问题，其中寻找切点是很关键的地方。巩固作业：A组：一、 选择题：1函数的导数是 （ ） 2已知函数的解析式可 （ ） 3曲线上两点，若曲线上一点处的切线恰好平行于弦，则点的坐标为 （ ） 4若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（ ）二、填空题：5已知曲线在处的切线的倾斜角为，则，6已知,则当时,。7一物体做直线运动的方程

11、为，的单位是的单位是，该物体在3秒末的瞬时速度是。8 设是可导函数，且 1 。9在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是 3 。10设f（x）在x=1处连续，且f（1）=0,=2,则 _2_。解：f（1）=0, =2,f（1）= = =2三、解答题：11 求下列函数的导数：(1)yxnex；(2)y；(3)yexln x；(4)y(x1)2(x1)（5）y=tanx解(1)ynxn1exxnexxn1ex(nx)(2)y.(3)yexln xex·ex.(4)y(x1)2(x1)(x1)(x21)x3x2x1，y3x22x1.（5） y12（1）设函数，求；（

12、2）设函数，若，求的值解：（1），（2），由得：，解得：或13已知曲线方程为yx2，求曲线在点A(2,4)处的切线方程。解：由yx2得y2xk=y|x24，因此所求直线的方程为y44(x2)，即4xy40.14已知曲线方程为yx2，求过B(3,5)点且与曲线相切的直线方程。解：设切点P的坐标为(x0，y0)由yx2得y2x，k=y|xx02x0，又k= =2又由,代入上式得x01或x05，切点坐标为(1,1)，(5,25)，所求直线方程为2xy10,10xy250. 小结：(1)解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”。(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解

13、决。15偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式.解 f（x）的图象过点P（0，1），e=1. 又f（x）为偶函数，f（-x）=f（x）.故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.b=0，d=0. f（x）=ax4+cx2+1.函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x-2，可得切点为（1，-1）.a+c+1=-1. =(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c，4a+2c=1. 由得a=，c=.函数y=f（x）的解析式为16求函数 图象上的点到直线的距离的最小值及相应点的坐标.解

14、：首先由得 知，两曲线无交点.，要与已知直线平行，须，故切点：（0 , 2）. .17已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且 （）求直线的方程；（）求由直线，和轴所围成的三角形的面积 解： 设直线的斜率为，直线的斜率为， ，由题意得,得直线的方程为 ,与该曲线的切点坐标为由直线方程的点斜式得直线的方程为： （）由直线的方程为,令由直线的方程为，令由得： 设由直线，和轴所围成的三角形的面积为S，则： B组：一、选择题：二、填空题：三、解答题：1(2010·山东)已知函数f(x)ln xax1(aR)(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)当a

15、时，讨论f(x)的单调性分析： (1)求出在点(2，f(2)处的斜率及f(2)，由点斜式写出切线方程；(2)求f(x)，再对a分类讨论解： (1)当a1时，f(x)ln xx1，x(0，)所以f(x)，x(0，)，(1分)因此f(2)1，即曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为1.又f(2)ln 22，所以曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(ln 22)x2，即xyln 20.(3分)(2)因为f(x)ln xax1，所以f(x)a，x(0，)(4分)令g(x)ax2x1a，x(0，)当a0时，g(x)x1，x(0，)，所以当x(0,1)时，g(x)0，此时f(x)0，函

16、数f(x)单调递减；当x(1，)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递增；(6分)当a0时，由f(x)0，即ax2x1a0，解得x11，x21.1)当a时，x1x2，g(x)0恒成立，此时f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减；(7分)2)当0a时，110.x(0,1)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；x时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递增；x时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；(9分)3)当a0时，由于10，x(0,1)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；x(1，)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递增(11分)综上所述：当a0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)在(1，)上单调递增；当a时，函数f(x)在(0，)上单调递减；当0a时，函数f(x)在