在高中解题教学中渗透数学思想方法的研究

1、在高中解题教学中渗透数学思想方法的研究本文以数学方法论、解题理论和元认知等理论为基础， 具体阐述了数学思想方法的理论意义和实际意义。对实验班和对照班采取了不同的教学方法。在实验班的解题教学中，注重数学思想方法的渗透，重点实施了探索性的教学模式。通过实验前后学生问卷调查结果的Excel图表分析，结果表明，在高中解题教学中渗透数学思想方法，有利于提高学生对数学的学习兴趣，加深对数学的理解，从而也提高了学生的数学解题能力。一、 问题及其意义数学思想方法是数学的灵魂，是开启数学知识宝库的金钥匙 ，是用之不竭的数学发现的源泉。可以说数学的发展史是一部生动的数学思想的发展史，它深刻地告诉我们：数学思想方法

2、是数学知识的本质，它为分析、处理和解决数学问题提供了指导方针和解题策略。数学思想方法比数学知识具有更大的统摄性和包容性，它们犹如网络，将全部数学知识有机地编织在一起，形成环环相扣的结构和息息相关的系统。所以，数学教学必须通过数学知识的教学和适当的解题活动突出数学思想方法。1.1 渗透数学思想方法是高中数学解题教学的需要G.PolYa在怎样解题一书中指出，解题是人类最富有特征的一种活动，是学生学习数学的中心环节，是一种实践性技能，是发展数学思维能力、培养良好心理素质的重要手段。正因为如此，解题在数学教学中具有重要的地位。但是由于长期以来人们对解题概念的不科学的理解，导致了对解题的片面认识和盲目实

3、践，认为解题=解题类型+方法。这种模式虽然能够巩固所学的知识，并能够加强基本方法的训练，但忽视了解题目标、过程的分析，以及解题中数学思维方法的培养，导致学生创造能力下降，缺乏独立开拓的创新意识与本领。在当前高中数学教学中，解题教学存在的主要问题表现在以下两个方面：解题教学停留在技能、技巧的训练上解题在数学教学中处于重要的地位，解题训练很受重视。可是，直到现在，解题教学方法单一，唯一的训练方式就是教给学生解答一定类型习题的固定方法，并按照所掌握的方法做大量的，有时是特别费力的练习。在中学期间，要解答有几万道之多的习题。有些学生掌握了解题的一般本领，而许多学生一遇到形式不熟，或少见的习题就茫无所措

4、，不知如何去解答。 学生习惯于动手，不习惯于思维在解题活动中，我们经常还可以看到这样的现象：学生们（甚至包括教师）只是满足于用某种方法求得问题的解答，而不再进行进一步的思考和研究，甚至未能对所获得结果的正确性（包括完整性）作出必要的检验或证明。关于“问题解决”的现代研究表明，过分强调问题的归类，特别是按照问题的具体内容来进行分类，并要求学生机械地去记住相应的解题方法，对于提高学生解题的能力是很不利的。与此相反，我们应当更加注意问题内在数学结构的分析，并应努力帮助学生掌握数学的思维方法。与片面强调“问题算法”的传统做法相比，思想方法的分析和训练是更为重要的。对于教学内容和教学方法的选择和取舍，这

5、又是新时代所赋予数学教育的一个重要任务。因此，在解题教学中渗透数学思想方法是重要的。1.2 渗透数学思想方法的教学有利于提高教师的教学水平我们不仅应当注意具体的数学知识的传授，而且也应注意数学思想方法方面的训练和培养。只有注意思想方法的分析，我们才能把数学课讲活、讲懂、讲深。所谓“讲活”，就是让学生看到活生生的数学知识的发生发展过程，而不是死的数学结论；所谓“讲懂”，就是让学生真正理解有关的数学内容，而不是囫囵吞枣、死记硬背；所谓“讲深”，则是指使学生不仅能掌握具体的数学知识，而且也能领会内在的思想方法。 另外，只有数学思想方法与具体数学知识的教学有机结合，并真正渗透于其中，才能不断提高教学质

6、量。这就对教师从专业素养、教育理论、能力水平诸方面都提出了更高的要求。1.3 渗透数学思想方法的教学有利于学生思维品质和能力培养数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂。因此，引导学生领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是使学生提高思维水平，真正懂得数学的价值，建立科学的数学观念，从而发展数学、运用数学的重要保证，也是现代教学思想与传统教学思想根本区别之一。1.3.1 渗透数学思想方法的教学是素质教育的需要数学教学要以学生发展为本，提高学生的数学素养，丰富学生的精神世界，将每一名学生培养成勇于思考、探索和创新的素质型人才。饶汉昌先生等数学教育家撰文指出：“数学思想、方

7、法是素质教育的重要内容”。数学思想方法，是铭记在人们头脑中起永恒作用的数学观点和文化，数学的精神和态度，它使人思维敏捷，表达清楚，工作有条理；使人善于处世和做事，使人实事求是，锲而不舍，使人得到文化方面的修养更好地理解、领略和创造现代社会的文明。它对人不但具有即时价值，更具有延时价值 ，使人受益终身。 渗透数学思想方法的教学有利于学生的知识建构数学学习与数学教学活动的本质不是学生对于教师所授予知识的被动接受，而是以其已有的知识和经验为基础的、主动的建构过程。数学思想方法作为数学知识进一步提炼、概括的一种对数学内容的本质认识，数学的指导思想和一般方式、途径和手段，使得学生所学的知识不再是零散的知

8、识点，也不再是解决问题的刻板套路和一招一式，这就为学生形成有序的知识链，进行有意义的学习，以及把数学知识结构内化为学生的认知结构，起到十分重要的基础作用。1.3.3 渗透数学思想方法的教学有利于培养学生的数学能力1996年5月国家教委颁布的“高级中学数学教学大纲”指出：进一步培养学生的思维能力、运算能力、空间想象能力，以逐步形成运用数学知识来分析和解决实际问题的能力。这四大能力可以作为中学数学能力的主要成分。现行的数学课程标准指出：数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容

9、、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。J.S.布鲁纳指出，掌握基本的数学思想方法能使数学更易于理解和更易于记忆，领会基本数学思想方法是通向迁移大道的“光明之路”。不但要让学生学习特定的事物，而且要让学生学习一般模式，模式的习得有助于理解可能遇到的其他类似事物。在基本数学思想方法的指导下驾驭数学知识，就能培养学生的数学概括能力。这不仅使数学学习变得容易，而且使相关学科的学习也变得容易些。按照上述观点，数学教学不能满足于单纯的知识灌输，而是要使学生掌握数学最本质的东西，用数学思想方法统率具体知识、具体问题的解法，循此培养和发展学生的数学能力。二、理论研究2.1数学思想方法的研究现状 自20世

10、纪以来，由于数学基础学科中重大思想方法的出现，特别是数学公理化的形成以及数学基础理论研究的深入开展，人们渐渐关心数学各分支之间的内在联系，开始注重对数学思想方法本身的产生及其发展规律的探讨。 1993年九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲和数学课程标准都明确提出数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分。近年来，我国已广泛地开展了渗透数学思想方法的教学实践研究。由无锡市教育科学研究所和无锡市MM课题组设计并组织实施的MM实验自从1994年通过专家组鉴定后，在杨世明、徐沥泉等人的倡导和关怀下，正有条不紊地向全国许多省市推广。十多年的教学实验表明，MM实验不仅能够提高学生的素质，而且是培养优秀教师

11、的摇篮。另外，北京市教科所主持的数学思想方法教学实验、上海市黄浦区数学方法论研究组主持的数学思想方法训练序的教学实验以及MA实验等也取得了良好的教学效果。2.2 对数学思想方法的认识对“数学思想”这一术语，目前还未形成精确的定义，比较一致的认识是，数学思想就是人们对数学知识和方法形成的规律性的理性认识、基本看法。数学方法是指“人们解决数学问题的步骤、程序和格式，是实施有关数学思想的技术手段。” 而与之相一致的说法是“数学方法是指某一数学活动过程的途径、程序、手段。”由此可以看出，数学思想方法具有过程性、层次性、可操作性等特点。人们往往把某一数学成果笼统地称之为数学思想方法，而当“用它去解决某些

12、具体数学问题时，又可具体称之为数学方法”，因而，在中学数学教学中一般将数学思想与数学方法统称为数学思想方法。三、在解题教学中渗透数学思想方法的教学策略3.1 运用数学思想方法指导解题教学的教学原则渗透数学思想方法的教学不仅要遵循一般教学原则和数学教学原则，而且根据它的特点还突出贯彻以下教学原则：3.1.1 渐进发展性原则学生数学思想的形成需要经历一个从模糊到清楚，从理解到应用的的较长发展过程。数学思想从孕育到形成、发展，一般都需要经历一个复杂的“润物细无声”的过程。因此，数学思想的课堂教学目标的设立应该具有从简单到复杂、从浅层到深层渐增的层次性。3.1.2 反复渗透性原则由于数学思想方法是基于

13、数学知识又高于数学知识的一种隐性的数学知识，要在反复的体验和实践中才能使个体逐渐认识、理解，内化为个体认知结构中对数学学习和问题解决有着生长点和开放面的稳定成份。因此，在解题教学中，教师要合理编排教学内容，精心设计教学过程，反复恰当地渗透数学思想方法，从而对学生产生潜移默化的影响。3.1.3 学生参与性原则华罗庚一贯提倡数学教学要“教会学生思考”，培养学生“能算善想”的良好习惯。因此，数学学习应该充分发挥学生学习的主动性，启动学生以自己的思维去探索数学的奥秘。在解题教学中，教师起主导作用，学生积极参与，动手动脑，充分发挥学生的主体作用，这样，才能使学生主动理解和掌握有关的数学思想方法。3.2

14、在解题教学中渗透数学思想方法的教学模式在帮助学生获得信息、思想、技能、价值、思维方式及表达方式时，我们也在教他们如何学习。教育的最终目的是能够提高学生更容易、更有效地进行学习的能力，因为他们不仅获得了知识技能，也掌握了学习过程。E.卡尔康说：“思维就是对事物是什么的探究。”因此，探索性的教学模式在数学思想方法的教学中是非常重要的。3.2.1 创设问题情境，蕴涵数学思想方法现代思维科学认为，问题是思维的起点，任何思维过程是指向某一具体问题。问题又是创造的前提，一切发明创造都是从问题开始的。问题情境是指问题呈现的知觉方式。问题情境又是课堂教学的一种“气氛”，它能促使学生积极主动地、自由地去想象、思

15、考、探索，去解决问题或发现规律，并可伴随一种积极的情感体验。在学生学习某种新知识之前，如果让他们先了解这项知识在生活中的原型，那么对新知识的理解就会更自然、深刻和全面，学习态度也会表现得更主动和有兴趣。通过创设一定的问题情境，构建适当的认知差，引起学生的认知冲突，有利于激发学生的探索心理。3.2.2 探索发现问题，渗透数学思想方法弗赖登塔尔认为：学习数学的唯一方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生。因此，教师通过渗透数学思想方法，引导学生自主探索，有充分的时间和空间去观察、测量、动手

16、操作，对周围环境和实物产生直接的感知，发现和创造所学的数学知识。进入问题情景后，学生开始审题，这是弄清问题的过程。学生通过阅读和思考，明确已知条件是否充分、多余或矛盾。教师通过渗透数学思想方法，引导学生去发现问题。3.2.3 探究解题策略，运用数学思想方法 教师在组织学生分析已知、未知和所求的数学关系后，学生尝试寻找解决问题的途径。在知识探求的过程中，特别要让学生自己去观察、归纳、类比、联想和论证，逐步通过试探或试验来提出各种解题策略，运用数学思想方法获取深层知识，在教师的引导下，确定问题的最终解法。例题：A的一条边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同顶点A共10个点，以这些点为顶点可以

17、组成多少个三角形？在解这道题时，学生在画出BAC及十个点后，利用分类讨论法探索三角形的共性。不难发现A点的特殊性，据此，可分为两类：含有点A的的三角形有个；不含有点A的三角形又可分为两类。 AB边上取一点，AC边上取两点，有（个）；AB边上取两点，AC边上取一点，有（个）。一共可以组成90个三角形。3.2.4 反思解题过程，评价数学思想方法一个好的小结不只是对课堂内容的简单回顾，还是对所用数学思想方法的总结。通过学生自己总结，不仅促进了对知识的理解，培养了数学表达能力和概括能力，而且通过归纳反思能有效把握知识的脉搏，找到知识之间的内在联系。这对于学生构建良好的认知结构大有裨益，也让学生从中学会

18、感悟数学、欣赏数学的价值。教师还可以“借题发挥”，引起学生思维的发散，开拓思维的视野。一题多解，多角度的思考分析，从中让学生得出最佳的思维途径，优化思维方法，进而培养创新精神和实践能力。例如，在解完上道例题后，教师可引导学生进行回顾，通过反思学生发现分类讨论法使他们从纷乱复杂的思维中，找到了清晰的思路，从而顺利地解决了问题。在评价数学思想方法时，思考一题多解的可能性，有些同学会发现如下的解法：（个），这是从逆向思维出发得到的解法。3.3在解题教学中渗透数学思想方法的实验措施3.3.1 备课教师要深挖教材，不仅要备好表层知识，而且要根据教材内容和学生情况，备好数学思想方法；并把数学思想方法列入教

19、学目标之中。数学思想方法的教学要有计划、有目的、有步骤地进行。教师通过精选习题，使学生能系统地掌握数学思想方法。3.3.2 “双主”教学教师的主导作用体现在设疑、质疑、组织课堂教学等方面，学生的主体作用则体现在积极动口、动手和动脑上。教师要引导学生自己发现问题，自己探究解题策略，运用元认知监控解题方向，善于自我反思和自我评价。即使学生出现错误，教师也要学会容忍，积极给予鼓励。3.3.3开展丰富多彩的教学活动将学生分成若干学习小组，积极开展学习讨论，加强他们之间的数学交流，培养他们的合作精神。鼓励学生互相帮助，可开展“一帮一”的活动，还可以请学习优秀的学生上台讲课，这对于学生总体能力的提高很有益

20、处。3.3.4 实验教学片段 教师通过解不等式的教学可以培养学生的化归思想。例如，学生在学习一元二次不等式的解法这一节时，对于解有理分式不等式，总是将它转化为有理整式不等式，其基本解法如下： ； 。学生掌握了化复杂为简单的化归思想，在前面学习的基础上，对于更为复杂的不等式，如 也能迎刃而解。应用函数法、数形结合法讨论方程的根例题：已知关于的方程：有两个不等的实根，求的取值范围。师：同学们首先读题，然后思考本题可能涉及的思想方法，并探索解题的基本思路。生：该方程可以转化为（>0）或（<0）。师：按照这个思路，继续下去会怎样？生：按题意讨论两方程的判别式，再求的取值范围。生：两方程的判

21、别式相等，问题很难解决。师：我们能不能利用函数法来解决，同学们思考一下如何找到函数？如果将转化为，你们会有什么发现？ 生：原方程转化为：。师、生（共同探索）：我们利用函数法设。而 ，再利用数形结合法。在同一坐标系内画出的图象，要使方程有两个根，只需两个图象有且只有两个交点。 师生共同画出图象。 o 师：分析图象，的位置变换，得出什么？生：当时，两个图象有两个交点。原方程有两个不同的实根的值范围是或。师：同学们反思一下自己的解题过程，用两句话概括出解决本题的关键是什么？生：利用函数法解题，关键是找到函数。生：利用数形结合法，找到图像的交点。师：很好。本题运用函数法的前提是把方程转化为两个函数，求

22、方程的根也就是求两图象的交点。据此，我们采用了函数法和数形结合法。同学们再仔细考虑一下，本题还有没有更为简便的方法？生：可以把原方程移项转化为，利用函数法设函数，。师：非常好，同学们按照这种思路动手做一下。教师找两名学生在黑板上做。其他人在课堂练习本上做。学生们首先画出了分段函数 和直线的图象。 y -2 o 2 x -1师生共同观察学生在黑板上的图象，很明显地能看出k的取值范围是k=-1或k>0。这与第一种解法的结果相同。师：希望在以后的解题中，同学们能敞开思路，注重数学思想方法在解题中的运用。四、渗透数学思想方法教学的问卷调查4.1 取样调查对象是天津七中高一年级的两个自然教学班。调

23、查方法采用问卷法。最小样本为学生个体（人）。总人数为90，发放问卷90份，回收有效问卷90份。4.2 问卷的特点调查问卷应能反映实验前后学生解题的情况，反映教学效果的变化。调查问卷应能反映出高中解题教学中存在的问题，反映学生对数学思想方法教学的认识和态度。4.3 问卷的内容测试由学生问卷构成，分别对实验班和控制班进行前测和后测。问卷的主要内容有：实验前后教师运用思想方法进行解题教学的变化，数学思想方法教学对学生兴趣的影响，能力的变化和学习效果的对比；学生对教师在解题教学中渗透数学思想方法的评价。（详细内容见附录一）4.4 问卷结果的分析4.4.1 数学学习兴趣的变化问卷调查的结果表明，实验后学

24、生对数学学科的兴趣较实验前有明显地提高，很感兴趣的学生上升了2.9%，感兴趣的上升了18.8%。（详见下图表1）。学生对数学课的兴趣也有所提高，很感兴趣的上升了5.6%，感兴趣的上升了12.3%，而不感兴趣的由9.1%下降到0。（详见下图表2）。因此，在解题教学中，渗透数学思想方法的教学能提高学生对数学的学习兴趣。4.4.2对解题中渗透数学思想方法的认识问卷调查表明实验前后均有近百分之九十的学生对数学思想方法教学的重要性有高度的认识（详见下图表3）。因此，在解题教学中，教师分析数学思想方法，引导学生自己发现解题方法是非常必要的。另外，与传统教法相比，实验班所采用的数学思想方法教学更令学生满意，

25、认为很满意的上升了18.4%，认为满意的上升了6.2%。而对传统教法的态度则集中在“一般”选项上，占总人数的50%（详见下图表4）。4.4.3学生解题能力的变化问卷结果首先表明，实验后学生对解题的认识有所提高。例如，学生对解题的态度，选择“喜欢”的上升了18.3%；对开放性的习题很喜欢的上升了12.2%，喜欢的上升了12.9%。其次，实验后学生的独立解题能力得到加强。例如，在解题过程中，喜欢模仿教师解题方法的下降了13.8%，而自己探索解法的上升了14.8%；在遇到难题时，求助别人来解决的下降了19.8%，自己想尽办法来解决的上升了22.4%。再次，实验后学生的反思能力得到了加强。例如，做完一

26、道题后，选择回顾解题过程，反思解题思路的上升了25.1%。最后，实验后教学效果有明显改善。例如，认为教师的教法使自己提高很快的上升了7.3%，认为有一些提高的上升了13.7%，认为没有提高的下降了9.1%（详见下图表5）；又如，新教法使学生对数学的理解加深了，认为更深刻的上升了19.2%，认为深刻的上升了26.2%（详见下图表6）。学生形成和掌握数学思想方法需要经历孕育期、萌芽期、形成期、发展期和应用期等几个阶段。因此，数学思想方法的教学是一个长期的过程。数学思想方法的内化只有通过点点滴滴的渗透才能得以实现。只靠几节专题讲座，突击强化是灌不进去的。教师要克服急躁情绪，有计划，有目的地实施数学思

27、想方法的教学。本研究只是对数学思想方法与解题教学整合，提高学生解题能力的初步探讨，如何更有效地开展数学思想方法的教学；在解题教学中如何更好地渗透数学思想方法仍需进一步的研究和探索。附录一 问卷调查此项问卷的目的在于进一步了解高中数学教育的现状，希望你能认真、如实填写答案。这将为我们了解、研究高中数学教学提供第一手素材。请你选择最接近自己情况的一项，并把代表该项的字母填写在括号内，谢谢你的合作！1. 你对数学这门学科（ ）。A.很感兴趣 B.感兴趣 C.一般 D.不感兴趣2. 你认为学好数学（ ）。A.太难了 B.困难 C.一般 D.容易 E.很容易3. 你认为数学在日常生活中（ ）。A.很有用

28、 B. 有用 C.一般 D. 没有用4.你对目前的数学课（ ）。A.很感兴趣 B.感兴趣 C.一般 D.不感兴趣5.你对解题的态度是（ ）。A.很喜欢 B.喜欢 C.一般 D.不喜欢6.对数学中“多做习题”的看法是（ ）。（a）.同意 （b）.不同意如果你选（a），那么原因为（ ）。A.数学问题千变万化，见多才能识广B.功到自然成，题做多了解题能力自然就会形成和发展C.多做习题，才知晓各种类型的题型，再遇到陌生的题的机会就低如果你选（b），那么原因为（ ）。A.多做习题，不如有选择地做各种类型的习题B.多做习题，太浪费时间C.多做习题，不如精选习题，并体味每道题的思路，总结规律7.你认为在解题

29、教学中，教师分析数学思想方法，引导学生自己发现解题方法（ ）。A.很重要 B. 重要 C.一般 D.没有必要，太浪费时间了8.在你学习数学的过程中，肯定遇到过一些不会解决的难题，你通常的做法是（ ）。A.马上把它放到一边，不再去想B.求助别人来解决C.自己查阅资料，得到启发再来解决D.自己想尽办法来解决，一天不行，两天，实在不行把它记下来，留待以后解决。9.在你学习数学的过程中，肯定遇到过一些不会解决的难题，你不能解决这些难题的原因通常是（ ）。A.对此类题教师讲的少，自己练的也少B.对此类题不感兴趣C.不能确定应用哪部分知识解决D.不能发现其中的数学关系10.你认为如下（ ）种情况学习效果好

30、。A.认真、细致地听老师讲解内容B.看一些课外书，自己自学C.自己自学，学不懂的地方问老师D.教师引导，通过自己实践、探索、尝试获得数学知识E.说不清11.做完一道题后，你通常会（ ）。A.检查解题过程中有无错误B.回顾解题的过程，反思解题思路C.对此题的解法归类D.认为大功告成，放在一边，不再管它了12.在解题过程中，当你发现该题的答案不唯一时，你会（ ）。A.不知所措B.认为自己解法有误，换一种解法重做C.有信心给出全部答案D.不相信自己有能力能够完全做对此题13.你在解题过程中，通常（ ）。A.喜欢模仿课本例题的解法B.喜欢模仿老师的解题方法C.自己探索一些解法D.不相信自己能够解决14

31、.你对开放性的习题（ ）。A.很喜欢 B.喜欢 C.一般 D.不喜欢15.你认为“一题多解”的题目（ ）。A.掌握一种解法即可，没必要探讨其它解法B.解法想的越多越好C.在众多的解法中，掌握一种最简单的做法16.你对参加数学竞赛活动（ ）。A.很喜欢 B.喜欢 C.一般 D.不喜欢17.你对教师的教法（ ）。A.很满意 B. 满意 C.一般 D.不满意18.你认为教师的教法使你（ ）。A.提高很快 B. 有一些提高 C.一般 D.没有提高19. 你认为教师的教法使你对数学的理解（ ）。A.更深刻 B.深刻 C.一般 D.不深刻20.你对数学课有什么意见和建议？附录二 调查结果统计表（百分比（%）选择题题号ABCDE前测后测前测后测前测后测前测后测前测后测120.523.440.959.734.115.04.52.1/22.32.145.525.536.433.213.632.02.37.1318.221.334.151.143.225.56.82.1/411.417.040.953.238.629.89.10518.212.827.351.147.734.06.82.16(a)13.612.831.829.813.625.5006(b)15.910.62.32.134.117.02.30750.053.238.6