普通物理学05相对论习题答案

1、相对论相对论 基础基础相对论相对论 基础基础爱因斯坦相对论习题 5-1 一个质点，在惯性系一个质点，在惯性系K中作匀速圆中作匀速圆周运动，轨道方程为：周运动，轨道方程为： 试证：在惯性系试证：在惯性系K中的观察者测得该质中的观察者测得该质点作椭圆运动，椭圆的中心以速度点作椭圆运动，椭圆的中心以速度u 移动。移动。a2x=+ y220=z解：设解：设K系相对系相对K系以速度系以速度 v 沿沿x 轴正向运轴正向运 动，由洛仑兹坐标变换动，由洛仑兹坐标变换a2x=+ y220=z代入式代入式t=xxvv21c2=zz=yz2y=+txvv21c22a2在在K系中的观察者测得该质点作椭圆运系中的观察者

2、测得该质点作椭圆运动，椭圆的中心以速度动，椭圆的中心以速度v 移动。移动。2y=+txvv21c22a2a()1 5-2 一观察者测得运动着的米尺长一观察者测得运动着的米尺长0.5m，问此尺以多大的速度接近观察者？问此尺以多大的速度接近观察者？ l0v21c2=l1 0.5c2=c0l21l2=v0.08c=2.6108 m/s解：由长度收缩公式：解：由长度收缩公式： 5-3 一张宣传画一张宣传画5m见方，平行地贴于铁见方，平行地贴于铁路旁边的墙上，一高速列车以路旁边的墙上，一高速列车以 2108m/s速度接近此宣传画，这张画由司机测量将成速度接近此宣传画，这张画由司机测量将成为什么样子？为什

3、么样子？ 2353.7m2()l0v21c2=l=1=hl0=5解：由长度收缩公式：解：由长度收缩公式：画面的尺寸为画面的尺寸为 53.7 m2 5-4 远方的一颗星以远方的一颗星以0.8c的速度离开我的速度离开我们，接受到它辐射出来的闪光按们，接受到它辐射出来的闪光按 5昼夜的周昼夜的周期变化，求固定在此星上的参考系测得的闪期变化，求固定在此星上的参考系测得的闪光周期。光周期。 解：固定在此星上的参照系测得的闪光解：固定在此星上的参照系测得的闪光周期为固有时间周期为固有时间0 0 时间时间t =5既包括地球上测得的闪光周期既包括地球上测得的闪光周期在此星上测得的闪光周期为在此星上测得的闪光周

4、期为5/3昼夜昼夜t =vc+0=v21c2=tvc+1 ()v21c251 0.82=1+0.8=35t=vc+1 () ,还包括光信号传递的时间还包括光信号传递的时间v/c ，即：，即： 5-5 假设宇宙飞船从地球射出，沿直线假设宇宙飞船从地球射出，沿直线到达月球，距离是到达月球，距离是3.84108m，它的速率，它的速率在地球上被量得为在地球上被量得为0.30c。根据地球上的时。根据地球上的时钟，这次旅行花多长时间？根据宇宙飞船所钟，这次旅行花多长时间？根据宇宙飞船所做的测量，地球和月球的距离是多少？怎样做的测量，地球和月球的距离是多少？怎样根据这个算得的距离，求出宇宙飞船上时钟根据这个

5、算得的距离，求出宇宙飞船上时钟所读出的旅行时间？所读出的旅行时间？ 3.84108Htv0=0.33.01084.27s解：设地球至月球的距离为解：设地球至月球的距离为H0,飞船的速度为飞船的速度为v,地地球上的观察者测得飞船从地球到月球的时间为球上的观察者测得飞船从地球到月球的时间为t在飞船上测量，地球到月球的距离在飞船上测量，地球到月球的距离H为为H0=v21c2H3.67108m=3.8410221-0.3在飞船上测量，飞船的旅行时间为：在飞船上测量，飞船的旅行时间为：3.67108Htv=0.33.01084.08s 飞船的飞行时间也可以这样求得：对于飞船飞船的飞行时间也可以这样求得：

6、对于飞船上的观察者来说，从地球出发及到达月球这两事上的观察者来说，从地球出发及到达月球这两事件都发生在飞船上，他所测得的时间为固有时间件都发生在飞船上，他所测得的时间为固有时间0由时间膨胀公式可得由时间膨胀公式可得:4.08s4.27 1 0.32=t0=v21c2 5-6 在在K系中观察到两个事件同时发生在系中观察到两个事件同时发生在x 轴上，其间距离是轴上，其间距离是1m，在，在K系中观察这系中观察这两个事件之间的空间距离是两个事件之间的空间距离是2m，求在，求在K系系中这两个事件的时间间隔。中这两个事件的时间间隔。 vc23=vxv21c2=xt解：设解：设 K系相对于系相对于K 系以速

7、度系以速度v 沿沿x 轴正轴正向运动向运动,K系中观测到两事件同时发生系中观测到两事件同时发生t =0，空间间隔空间间隔x =1m；K系中观测到这两事系中观测到这两事件发生的时间间隔为件发生的时间间隔为t，空间间隔，空间间隔x=2m。0=t12=xv21c2=x解得：解得：0.57710-8s=t =v21c2tvtc2()=2 0c231c2所以在所以在K系中观测两事件相隔系中观测两事件相隔0.57710-8s发生。若发生。若K系相对于系相对于K系沿系沿 x 轴负向运动，轴负向运动，则则 ,t= 0.57710-8 s=c23v 5-7 在在K系中观察到的两事件发生在空间系中观察到的两事件发

8、生在空间同一地点，第二事件发生在第一事件以后同一地点，第二事件发生在第一事件以后2s。在另一相对在另一相对K系运动的系运动的K系中观察到第二事系中观察到第二事件是在第一事件件是在第一事件3s之后发生的，求在之后发生的，求在K系系中测量两事件之间的位置距离。中测量两事件之间的位置距离。 2s=t0t=3svxv21c2=xt=230c352()=6.71108 m0 x=解：由已知条件解：由已知条件t0=v21c2由时间膨胀公式：由时间膨胀公式：c()=120t=c35v可得：可得：所以在所以在K系测得两事件发生的空间间隔为：系测得两事件发生的空间间隔为：6.71108 m 5-8 +介于是一不

9、稳定粒于，平均寿命介于是一不稳定粒于，平均寿命是是2.6l0-8 s（在它自己参考系中测得）（在它自己参考系中测得） （1）如果此粒于相对于实验室以）如果此粒于相对于实验室以0.8c的速的速度运动，那么实验室坐标系中测量的度运动，那么实验室坐标系中测量的+介子介子寿命为多长？寿命为多长？（2）+介于在衰变前运动了多长距离？介于在衰变前运动了多长距离？ 解：由已知条件可得解：由已知条件可得+介子衰变的固有介子衰变的固有 时间为：时间为：(1)在实验室中观测到在实验室中观测到+介子的寿命为：介子的寿命为： 2.610-8 s=0t0=v21c2=2.610-8 1 0.824.3310-8 s=

10、(2)在实验室坐标系中观测到在实验室坐标系中观测到+介子的飞介子的飞行距离为：行距离为： 10.4m=Ltv=0.83.01084.33108 5-9 地球上一观察者，看见一飞船地球上一观察者，看见一飞船A以速以速度度2.5l03 ms从他身边飞过，另一飞船从他身边飞过，另一飞船B以速度以速度2.0l08ms 跟随跟随A飞行。求：飞行。求： （1）A上的乘客看到上的乘客看到B的相对速度；的相对速度； （2）B上的乘客看到上的乘客看到A的相对速度。的相对速度。 中国航天A中国航天B1u=xvvc2uxux=1.125108 m/s 2.5108=2.01089.010162.51082.0108

11、1=ux2.0108 m/s =v2.5108 m/s 解解：(1)设地球为设地球为K系，飞船系，飞船A为为K系。由系。由已知条件可知已知条件可知K系相对系相对K系是速度为系是速度为飞船飞船B 在在K系中的速度为系中的速度为飞船飞船B 在在K系中的速度为系中的速度为中国航天A中国航天BKKuvx (2) 设地球为设地球为K系，飞船系，飞船B为为K系。由系。由已知条件可知已知条件可知K系相对系相对K系是速度为系是速度为=ux2.5108 m/s =v2.0108 m/s 飞船飞船A 在在K系中的速度为系中的速度为1u=xvvc2uxux=1.125108 m/s 2.0108=2.51089.0

12、10162.01082.51081飞船飞船A在在K系中的速度为系中的速度为中国航天A中国航天BKuxKvux 5-10 二只宇宙飞船相对某遥远的恒星以二只宇宙飞船相对某遥远的恒星以0.8c 的速率向相反方向移开。试用速度变换的速率向相反方向移开。试用速度变换法则证明，二飞船的相对速度是法则证明，二飞船的相对速度是1.6c/1.64，并与们利略变换所得的结果进行比较。并与们利略变换所得的结果进行比较。 1u=xvvc2uxux(2) 设恒星为设恒星为K系，飞船系，飞船A为为K系。由已知系。由已知条件可知条件可知K系相对系相对K系是速度为：系是速度为：飞船飞船B 在在K系中的速度为：系中的速度为：

13、飞船飞船B在在K系中的速度为：系中的速度为：=v0.8c=ux0.8c=+0.8c0.8c0.8c()2c21=0.98c而根据咖利略速度变换而根据咖利略速度变换u=xvuxc=0.8c0.8c1.6c 5-11 一原子核以一原子核以0.5c 的速度离开一观察的速度离开一观察者而运动。原子核在它运动方向上向前发射者而运动。原子核在它运动方向上向前发射一电子，该电子相对于核有一电子，该电子相对于核有0.8c 的速度；此的速度；此原子核又向后发射了一光子指向观察者。对原子核又向后发射了一光子指向观察者。对静止观察者来讲，静止观察者来讲， （1）电子具有多大的速度；）电子具有多大的速度； （2）光子

14、具有多大的速度。）光子具有多大的速度。解：设观测者为解：设观测者为K系，原子核为系，原子核为K系。系。电子在电子在K系中的速度为：系中的速度为：K系相对系相对K系是速度为：系是速度为：0.8c=ux=v0.5c+=+0.8c0.5c0.81=0.50.93c+1u=xvvc2uxux电子在电子在K 系中的速度为：系中的速度为：根据光速不便原理，光子的速度为根据光速不便原理，光子的速度为 c 。 5-12 一光源在一光源在K坐标系的原点坐标系的原点0 发出一光线。光线在发出一光线。光线在 xy平面内与平面内与x轴的交角为轴的交角为。设。设 K相对相对K以速度以速度 u 沿沿 x 轴运动。试求在轴

15、运动。试求在 K 坐标中看到这坐标中看到这光线的传播方向。光线的传播方向。+1u=xvvc2uxuxqccos =ux 0=uzsinqc=uy+1vvc2uxqccos =()+1u=yvc2uxuygsinqcv21c2+1vc2ux=解：设该一光线在解：设该一光线在K系系 x 轴的交角为轴的交角为。 光子在光子在K系中的速度为：中的速度为：在在K 系中观察系中观察=tgquyuxsinqcv21c2+vqccos = 5-13 如一观察者测出电子质量为如一观察者测出电子质量为2m。，问电子速度为多少？（问电子速度为多少？（m。为电子的静止质为电子的静止质量）量） 21=v21c20.86

16、6vc=23c2m0=v21c2m0解：解： 5-14 某人测得一静止棒长为人质量为某人测得一静止棒长为人质量为m，于是求得此棒线密度为于是求得此棒线密度为=m/l 。假定此棒。假定此棒以速度以速度 v 在棒长方向上运动，此人再测棒的在棒长方向上运动，此人再测棒的线密度应为多少，若棒在垂直长度方向上运线密度应为多少，若棒在垂直长度方向上运动，它的线密度又为多少？动，它的线密度又为多少？ =v21c2m=v21c2ml=v21c2l解：解：(1)=lmm=lv21c2()解得：解得：m=v21c2m=v21c2l=l(2)=lmm=lv21c2解得：解得： 5-15 设有一静止质量为设有一静止质

17、量为 m0 、带电荷量、带电荷量为为 q 的粒子，其初速为零，在均匀电场的粒子，其初速为零，在均匀电场E 中中加速，在时刻加速，在时刻 t 时它所获得的速度是多少？时它所获得的速度是多少？如果不考虑相对论效应，它的速度又是多少？如果不考虑相对论效应，它的速度又是多少？这两个速度间有什么关系？讨论之。这两个速度间有什么关系？讨论之。 m v0=v21c22Etq22m v0=v21c222=+2Etq22c22Etq22m c022v2=+Etq c2Etq22m c022vE tq =m v0若不考虑相对论效应若不考虑相对论效应E tq=mv0E tq =mv解：解： 5-16 设电子的速度为

18、设电子的速度为 (1)1.0106 m/s;(2) 2.0108m/s,试计算电子的动能各是多试计算电子的动能各是多少？如用经典力学公式计算电子动能又各为少？如用经典力学公式计算电子动能又各为多少？多少？ Em ck112=m c02=v21c2m c02m c021()=v21c2m c021= 4.5510-19 J=0.5111061.60210-19()11213001解：解： (1)按按相对论相对论计算计算当电子的速度为当电子的速度为v1=1.0106 m/s时的动能时的动能Em ck222=m c02=v21c2m c02m c021()=v21c2m c021= 2.7910-1

19、4 J=0.5111061.60210-19()11213.02.0当电子的速度为当电子的速度为v2=1.0108 m/s时的动能时的动能(2)按按经典力学经典力学计算计算m v12021Ek1=21 9.110-31 (1.0106 )2=1.8210-14 J=4.5510-19 J= 9.110-31 (1.0108 )221m v22021Ek2= 5-17 两个氖核组成质量数为两个氖核组成质量数为4、原子量原子量为为4.0015u 的氦核。试计算氦核放出的结合的氦核。试计算氦核放出的结合能。能。 m0= 2.0136u1u=1.65810-27 kg2=E mc=1.60210-19

20、1.65810-27 9.0101622.01364.0015()=23.9106 eV =23.9 MeVEHe2+H2H4解：解：氘核静止质量氘核静止质量其中其中u为原子质量单位为原子质量单位 5-18 太阳由于向四面空间辐射能量，太阳由于向四面空间辐射能量，每秒损失了质量每秒损失了质量 4109kg。求太阳的辐。求太阳的辐射功率。射功率。 = 3.61026 J/s=3.61026 W4109(3108)=21P=2 mct2 mc解：解： 5-19 在什么速度下粒子的动量比非相在什么速度下粒子的动量比非相对论动量大两倍？在什么速度下的动能等于对论动量大两倍？在什么速度下的动能等于它的静

21、止能量？它的静止能量？ =m0v21c2c2m0c2Ek=E0当当时时()=v21c2m0c211m0c2Emck2=m c02(2)2m v0=v21c2m v0(1)由题意由题意解：解：0.08c=v2.6108 m/s解得解得=E0m0c2解得解得0.866vc=23c 5-20 一个电子从静止开始加速到一个电子从静止开始加速到0.1c 的的速度，需要对它作多少功？速度从速度，需要对它作多少功？速度从0.9 c 加速加速到到0.99 c 又要作多少功？又要作多少功？ =v21c2m c02m c02()=v21c2m0c211()=1110.120.511106=2.57103eV=ke

22、V2.57=mc2m c02A解：解：(1)=2.45103eV=keV2.45(2)=m c2m c12A2()=v21c2m0c212v21c211()=110.9920.511106110.92 5-21 设有一设有一+介子，在静止下来后，介子，在静止下来后，衰变为衰变为+子和中微子子和中微子，三者的静止质量分，三者的静止质量分别为别为m，m和和 0。求求+子和中微子的动子和中微子的动能。能。 nEkn中微子中微子的动能为的动能为解：解：m c2介子的静能为介子的静能为设设+m cm2Ekmm+介子的静能为介子的静能为动能为动能为Pmm+介子的动量为介子的动量为Pn中微子的动量为中微子的

23、动量为由能量守恒和动量守恒可得由能量守恒和动量守恒可得2()+Em ckm2=+mPmc22m cm42Em ckm2=+m c2mEkn0P=mPn=Ek2Pc22nn2()+Em ckm2=+mPmc22m cm42Em ckm2=+m c2mEkn0P=mPn=Ek2Pc22nn(1)(4)(3)(2)22=Pmm cm2Ek+mEkmc由式由式(3)可得：可得：n=PnEkc由式由式(4)可得：可得：=Ekn22m cm2Ek+mEkm代入式代入式(4)可得：可得：将上式代入式将上式代入式(1)可得：可得：22m cm2Ek+mEkmEm ckm2=+m c2m=mcm2m()2m2E

24、km=Eknmcm2m()2m2222m cm2Ek+mEkmEm ckm2=+m c2m经整理后可得：经整理后可得：代入式代入式(1)可得：可得： 5-22 一中性一中性介子相对于观察者以速介子相对于观察者以速度度 v= kc 运动，后衰变为两个光子。两光子运动，后衰变为两个光子。两光子的运动轨迹与的运动轨迹与介子原来方向成相等的角度介子原来方向成相等的角度（见题图）证明：（见题图）证明： （1）两光子有相等的能量；）两光子有相等的能量； （2） cos = k 。nqhm v10cos=+k21cnh2cqcossin=qnh1+cnh2csinq0qqyxvgg21解：解：由动量守恒和能

25、量守恒得：由动量守恒和能量守恒得：+nh1nh2m c0=k212nqhm0cos=k21ckc2nqhm v10cos=+k21cnh2cqcossin=qnh1+cnh2csinq0+nh1nh2m c0=k212(1)(2)(3)n1n2=n=由式由式(2)可得：可得：所以两光子能量相等所以两光子能量相等v =kc把把及及代入式代入式(1)、(3)可得：可得：n1n2=n=nhm c0=k2122=kqcos 5-23 质量为质量为m0 的一个受激原子，静止的一个受激原子，静止在参考系在参考系 K 中，因发射一个光子而反冲，中，因发射一个光子而反冲，原子的内能减少了原子的内能减少了E，而

26、光子的能量为，而光子的能量为h。试证：。试证： m0c2=nh()EE21E=m0c2m0c2令令vc=m0解：设反冲原子的静质量为解：设反冲原子的静质量为速率为速率为 v由动量守恒、能量守恒及已知条件可得：由动量守恒、能量守恒及已知条件可得：+nh=m0c2m0v21c2c2(1)c=nhm0v21c2v(2)E=m0c2m0c2(3)由式由式(3)可得：可得：()=+()nhEm0c2c2m0c2Em0c2()+nh2Em0c222c2m0c2=nh()EE21=nh()+nh2Em0c222m0c2()+nh212E=m0c2Em0c222m0将将代入式代入式(2)可得：可得：m0将将及

27、上式代入式及上式代入式(2)可得：可得：经整理后得：经整理后得：12 3 45 6 789 0.aqaABCDE FGKM NPHLOI Jgzxnsfhmrt u vyelpcbdkjiom 1203di j kzxyoacbdsin cos v221v22Tm1MAmA2( )12v21c2xdtdxdtd t=xxvv21c2x=ttvv21c2c21u=xvvc2uxux=( )( )( )( )( )( )=+gv21c22.6108 m/s1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112141516171819202122231324 5-24 假定观察者假定观察者o测得两个事件相

28、距测得两个事件相距3.6108米、相隔米、相隔2秒发生。发生这两个事件秒发生。发生这两个事件之间的固有时间是多少？之间的固有时间是多少？12 3 45 6 789 0.aqaABCDE FGKM NPHLOI Jgzxnsfhmrt u vyelpcbdkjiom 1203di j kzxyoacbdsin cos v221v22Tm1MAmA2( )t=xxvv21c2x=ttvv21c2c2=( )( )( )( )( )( )=+g2.6108 m/s22 5-25 宇宙飞船宇宙飞船A和和B的静止长度分别是的静止长度分别是90米和米和200米，如两者相向飞行，宇宙飞船米，如两者相向飞行，宇宙飞船A中的宇航员测定出宇宙飞船中的宇航员测定出宇宙飞船B的头部越过的头部越过A的的长度须长度须 510-7秒。这两艘宇宙飞船的相对速秒。这两艘宇宙飞船的相对速度是多少？若按照度是多少？若按照B头部的一个宇航员的测头部的一个宇航员的测定，通过定，通过A的头尾之间的时间间隔是多少？的头尾之间的时间间隔是多少？12 3 45 6 789 0.aqaABCDE FGKM NPHLOI Jgzxnsfhmrt u vyelpcbdkjiom 1203di j kzxyoacbdsin cos v221v22Tm1MAmA2( )12v21c2xdtdxdtd