安全路线分析1

1、安全路线分析问题组号：119摘要 为使汽车在一些较为复杂的公路中以最安全的路线并在最短的时间达到目的地，本文建立了满足该司机的走最安全路径的方法和模型。问题1针对第一个问题，我们有公路一边的位图，可理想化成公路一边的轮廓曲线。为了绘制出道宽为30米的公路。我们首先用MATLAB自带函数采集离散点，再将采集的离散点绘制曲线，并根据曲线特征做分段处理，即对分别属于直线段、圆曲线段和缓和缓和曲线段的点群进行判断，最后对分段的点群,运用三次样条曲线函数拟合各段的曲线参数。再在已经求出的曲线上，选取几个有代表性的点,算出曲线在此处的导数，从而可得到其法线方程，通过解方程组的方法可得到公路一边的点，收集到

2、足够的点后，再由离散点，拟合出公路两边的轮廓。求出根据曲线函数以一个像素代表1米为单位，画出行驶路线问题 2 安全路线，即在规定速度内，默认直道安全，只防止弯道上发生侧翻侧滑，不与边界发生碰撞，并且保持一定的安全距离。把车子理想化成长方体，把车子通过弯道分成三个阶段，入弯之前的匀减速，弯道内匀速，以及出弯后加速，知道达到道路限制的上限。在通过弯道时，考虑过弯的最大速度，最大速度主要由所需向心力和地面提供的摩擦力决定。为预防侧翻和侧滑，我们找出了发生这两种事故的临界条件，进行比较，找出速度较小者进行带入计算。关键词：三次样条差值 曲线拟合 数理方法 优化建模一、问题重述随着社会的进步，汽车的数量

3、也逐渐增加。在汽车行驶的过程中，会涉及到一系列的需要注意的事项。而如何安全通过弯道这一问题尤为重要。 弯道问题涉及一系列物理及数学知识。在本题中，对于问题一，已给定道路中轴曲线，以一个像素代表10米为单位建立数学模型，在平面内画出道路二维图像；对于问题二，在问题一的基础上，综合考虑诸如车体重量、道路可用宽度等一系列因素，建立数学模型，计算车辆在通过该段路段是的最大速度并计算出通过该路段的最短时间。二、模型假设1. 道路水平，无坡度2. 行驶汽车为普通家用车辆3. 车辆在直道行驶时默认安全行驶4. 车辆在行驶过程中的行驶速度不会超过车辆最大允许值5. 车辆行驶过程中忽略风速影响6. 车辆经过加速

4、或减速后匀速通过弯道7. 忽略天气对汽车摩擦力的影响8. 弯道曲率半径即为车辆转弯半径9. 认为直道不必考虑安全路线问题三、符号说明 车辆通过该段道路总用时 车辆长度 车辆宽度 车体总质量 车辆加速度 车辆轮胎与沥青公路的摩擦系数 轮胎与地面的摩擦力 车辆通过第i个弯道时所用时间 车辆通过第i个弯道时速度 通过直道时车辆速度 车辆通过第i个弯道时所需向心力 第i个弯道曲率 第i个弯道汽车转弯半径 在第i个直道匀加速行驶路程 在第i个直道匀减速行驶路程 第i个直道长度 通过第i个直道用时 第i个弯道长度 通过第i个弯道用时 车辆通过该段总用时 路面给车辆提供的支持力四、问题分析4.1 对于问题1

5、的分析针对第一个问题，我们有公路一边的位图，可理想化成公路一边的轮廓曲线。为了绘制出道宽为30米的公路。我们首先用MATLAB自带函数采集离散点，再将采集的离散点绘制曲线，并根据曲线特征做分段处理，即对分别属于直线段、圆曲线段和缓和缓和曲线段的点群进行判断，最后对分段的点群,运用三次样条曲线函数拟合各段的曲线参数。再在已经求出的曲线上，选取几个有代表性的点,算出曲线在此处的导数，从而可得到其法线方程，通过解方程组的方法可得到公路一边的点，收集到足够的点后，再由离散点，拟合出公路两边的轮廓。求出根据曲线函数以一个像素代表1米为单位，画出行驶路线。4.2 对于问题2的分析问题2要求我们找出安全行驶

6、的路线，并求出安全行驶时通过该段路段的最短时间。所谓安全行驶路线，即车辆若按此路线行驶，可以安全快速的通过弯道而不发生意外。由物理知识可知，车辆在通过弯道时需要一定的向心力以保证车辆不会驶出车道。在本题中，由于忽略空气阻力的影响，车辆过弯道时的向心力由轮胎与地面的摩擦力提供。车辆所需向心力公式为：同时，向心力由滑动摩擦力提供：在本题中，选取一般家用轿车的性能参数作为本题的数据来源。车辆行驶时，应保证车速在合适的范围内。即车辆过弯道时所需向心力不应超过车辆可以提供的最大摩擦力。五、模型建立5.1 问题15.1.1求得曲线函数 将图形读入到MATLAB中，建立坐标，采集散点的坐标，根据曲线特征做分

7、段处理，即对分别属于直线段、圆曲线段和曲线段的点群进行判断，最后对所选点运用三次样条曲线函数拟合各段的曲线函数。为了达到更高的精度选取三次样条曲线函数，使其满足 （1） （2）式中：为样条函数；为离散点坐标；为函数一阶导数。例子： 在这两段曲线中，可直观感受到满足样条曲线所需的要求（在每个小区间内是三次多项式在整个区间为二阶连续可导函数），故对其进行分段进行拟合。选取点时注意到了道路平面线形由三部分组成。拟合时找出曲线主带你是正确划分线元单位的关键，也是该段元拟合结果精度的保证。有两相邻特征点间为一拟合曲线段。第一段MATLAB运行程序： A=imread('D:My Document

8、s2012建模新建文件夹a.bmp'); image(A) axis image hold on x1,y1=ginput(20) sp1=csapi(x1,y1),fnplt(sp1,'r');hold on sp1.coefs; 拟合运行结果如下：x1 = 58.7297 332.6011 104.8015 136.7958 219.9811 278.8507 313.4045 259.6541y1 = 289.0832 568.0737 364.5898 395.3043 438.8166 477.2098 529.6805 463.1323sp1 = form:

9、 'pp' breaks: 58.7297 104.8015 136.7958 219.9811 259.6541 278.8507 313.4045 332.6011 coefs: 7x4 double pieces: 7 order: 4 dim: 1>> sp1.coefsans = 0.0000 -0.0121 2.1374 289.0832 0.0000 -0.0083 1.1981 364.5898 0.0000 -0.0057 0.7497 395.3043 -0.0000 0.0032 0.5441 438.8166 0.0004 -0.0013 0

10、.6223 463.1323 -0.0001 0.0199 0.9795 477.2098 -0.0001 0.0071 1.9100 529.6805在中间路段，由于部分路段在坐标中，会与平行于Y轴的直线有两个交点，顾一定要在曲率为正无穷处分为两段，但是这样的拟合效果并不理想。考虑将图像翻转，X,Y坐标对调，这样得到了良好的拟合效果。5.1.2 求切线与法线实例程序：syms x y tx0=input('x=');xy0=input('y=');0.0001*(x-68.9622)3+-0.0061*(x-68.9622)2+391.4650+0.6175*

11、(x-68.9622)t=input('t0=')0yd=diff(y0,x)y1=eval(y0)+eval(yd)*(x-eval(x0)y2=eval(y0)-1/eval(yd)*(x-eval(x0)结果yd = y1 = y2 = 得到法线方程后 与联立可解得所求点坐标。x,y=solve('y=-k(i)*(x-xi(i)+yj(i)','(x-xi(i)2+(y-yj(i)2=255','x','y')5.2 问题25.2.1车辆在直道行驶在第i段直道上车辆行驶时包括三个阶段，即最初匀加速行驶，加速

12、至最高速时匀速行驶，在距离下一个弯道米处，车辆开始以加速度进行匀减速。在到达弯道处时恰好减至安全速度。车辆匀速行驶路程为直道长度减去车辆匀加速以及匀减速行驶的路程，再用匀速行驶的路程除以匀速行驶的速度即为车辆在第i个直道匀速行驶的时间。 图1当车辆要进入弯道时开始减速。车辆从匀速行驶的速度以加速匀加速行驶至在在直道的行驶的速度，故车辆匀减速行驶至弯道入口用时车辆匀速驶出弯道后开始加速。车辆从匀速行驶的的速度以加速匀减速行驶至在该弯道的安全速度，车辆驶出弯道在直道匀加速行驶用时则车辆在第i个直道用时时间为：故车辆在直道行驶总用时为在每一段直道的用时之和即5.2.2车辆在弯道行驶 5.2.2.1考虑车辆侧滑 首先考虑车辆在第i个弯道行驶时恰好发生侧滑的情况。此时，对车辆受力分析如图2若此时恰好发生侧翻由牛顿力学公式可得：（3）（4）（5） 图2（6）（7） 联立（1）（5）式可得：（8）当车辆速度满足（6）式时汽车处于侧滑的临界状态。此时车辆速度若大于，则会发生侧滑，导致不安全。那么 （9）即通过第i个弯道用时 5.2.2.1考虑车辆侧翻若车辆在第i个弯道