教学程序1引导

1、第二十一章 重 积 分1二重积分概念授课章节：ch21-1二重积分概念（P211-218）教学目的：1）掌握二重积分的定义及可积性定理教学重点：二重积分的定义及性质教学难点：定理21.7的证明教学方法：讲练结合教学程序：1引导2定义1、定理21.1-21.73例题及部分习题练习4作业P217习题2、3、4。一、平面图形的面积 df 称一个平面图形是有界的，是指构成这个平面图形的点集是平面上的有界点集，即存在一矩形，使得 为了研究定义在平面图形(即平面点集)上函数的积分，我们首先讨论平面有界图形的面积问题 设是一平面有界图形，用某一平行于坐标轴的一组直线网分割这个图形(图211)这时直线网的网眼

2、小闭矩形可分为三类：(i)上的点都是的内点；(ii)上的点都是的外点，即；(iii)上含有的边界点 我们将所有属于直线网的第(i)类小矩形(图211中阴影部分)的面积加起来，记这个和数为，则有(这里表示包含P的那个矩形R的面积)；将所有第（i）类与第（iii）类小矩形(图211中粗线所围部分)的面积加起来，记这个和数为.结论1：为平面有界图形的平行于坐标轴的一组直线网，则事实上: 为的面积的不足值，而为的面积的过剩值.结论2：对于平面上所有直线网，数集有上确界，数集有下确界，记 。称为的内面积，为的外面积,且有. (1)事实上: 数集上确界、数集下确界的存在性，由确界存在定理可以推得(非空数集

3、有界必有确界)(上册P7Th1.1). df1 若平面图形的内面积等于它的外面积，则称为可求面积，并称其共同值为的面积 定理 平面有界图形P可求面积的充要条件是：对任给的0，总存在直线网，使得 (2) 证明：必要性 设平面有界图形的面积为，由定义1，有=对任给的0，由及的定义知道，分别存在直线网与，使得 ， (3) 记为由与这两个直线网合并所成的直线网，可证得 于是由(3)可得 ， 从而得到对直线网有 充分性 设对任给的0，存在某直线网，使得(2)式成立但 所以由的任意性，因此，因而平面图形可求面积 由不等式(1)及定理21.1立即可得： 推论 平面有界图形的面积为零的充要条件是它的外面积0，

4、即对任给的，存在直线网，使得 ，(因为)或对任给的0，平面图形能被有限个其面积总和小于的小矩形所覆盖 定理 平面有界图形可求面积的充要条件是：的边界的面积为零 证明：由定理，可求面积的充要条件是：对任给的0，存在直线网，使得由于 所以也有由上述推论，的边界的面积为零 定理21.3 若曲线为由定义在上的连续函数的图象，则曲线的面积为零 证明：由于在闭区间 上连续，所以它在上一致连续因而对任给的，总存在，当把区间分成n个小区间并且满足时，可使在每个小区间上的振幅都成立现把曲线K按自变量分成n个小段，这时每一个小段都能被以为宽，为高的小矩形所覆盖由于这个小矩形面积的总和为所以由定理的推论即得曲线的面

5、积为零 结论3：由参量方程所表示的平面光滑曲线(即在上具有连续的导函数)或按段光滑曲线，其面积一定为零 证明：（略）二、二重积分的定义及其存在性 1 实例 先讨论一个几何问题求曲顶柱体的体积设为定义在可求面积的有界闭区域上的非负连续函数求以曲面为顶，为底的柱体(图2l2)的体积 采用类似于求曲边梯形面积的方法先用一组平行于坐标轴的直线网把区域分成个小区域 (称为区域的一个分割)以表示小区域的面积这个直线网也相应地把曲顶柱体分割成个以为底的小曲顶柱体由于在D上连续，故当每个的直径都很小时, 在上各点的函数值都相差无几，因而可在上任取一点，用以为高，为底的小平顶柱体的体积作为的体积的近似值(如图2

6、l3)，即 把这些小平顶柱体的体积加起来,就得到曲顶柱体体积V的近似值 当直线网网眼越来越细密，即分割细度(为的直径)趋于零时,就有2 二重积分的定义 下面叙述定义在平面有界闭区域上函数的二重积分的概念 设为平面上可求面积的有界闭区域，为定义在上的函数用任意的曲线把分成n个可求面积的小区域以表示小区域的面积，这些小区域构成的一个分割，以表示小区域的直径，称为分割的细度在每个上取一点,作和式 称它为函数在上属于分割一个积分和 定义2 设是定义在可求面积的有界闭区域上的函数. 是一个确定的数，若对任给的正数，总存在某个正数，使对于的任何分割，当它的细度时，属于所有积分和都有 (4)则称在上可积，数

7、J称为函数在上的二重积分，记作 (5)其中称为二重积分的被积函数,为积分变量，称为积分区域注：1）与定积分概念一样，二重积分也是通过“分割、近似求和、取极限”这三个步骤得到的，所不同的是现在讨论的对象为定义在平面区域上的二元函数 2）当0时，二重积分在几何上就表示以为曲顶，为底的曲顶柱体的体积3）当时,二重积分的值即为积分区域的面积 4）由二重积分定义知道，若在区域上可积，则与定积分情况一样，对任何分割T，只要当时，(4)式都成立因此为方便计算起见，常选取一些特殊的分割方法，如选用平行于坐标轴的直线网来分割，则每一小网眼区域的面积此时通常把记作(6) 结论4：函数在有界可求面积区域上可积的必要

8、条件是它在上有界. 证明: (同定积分可类似证明,略)结论5： df 设函数在上有界，为的一个分割，它把分成n个可求面积的小区域令作和式 它们分别称为函数关于分割的上和与下和二元函数的上和与下和具有与一元函数的上和与下和同样的性质. 证明: (同定积分那样类似地证明即可,略)3 可积性定理下面列出有关二元函数的可积性定理我们只给出定理的证明，其余请读者自行证明 定理21.4 在上可积的充要条件是： 定理21.5 在上可积的充要条件是：对于任给的正数，存在的某个分割，使得 定理21.6 有界闭区域上的连续函数必可积 定理21.7 设是定义在有界闭区域上的有界函数若的不连续点都落在有限条光滑曲线上

9、，则在上可积 证明:不失一般性，可设的不连续点全部落在某一条光滑曲线上记的长度为于是对任给的，把L等分成段:在每段上取一点,与其一端点的弧长为以为中心作边长为的正方形,则.从而有记则为一多边形设的面积为，那么现在把区域分成两部分第一部分，第二部分.由于在上连续，根据定理216与定理215，存在的分割，使得又记以T表示由与多边形的边界所组成的区域的分割，则有 其中是在上的振幅。由于在上有界，故是有限值.于是由定理就证明了在上可积. 三、二重积分的性质二重积分具有一系列与定积分完全相类似的性质，现列举如下：1若在区域上可积，为常数，则在上也可积，且 2若在上都可积，则在上也可积，且 3若在和上都可积，且与无公共内点，则在上也可积，且 4若与