平面向量的概念与几何运算答案

1、第13讲：平面向量的概念与向量的几何运算一、基础概念：1、向量的的概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫向量。要注意标量与向量的区别：标量只有大小，是个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向和大小的双重性，两个向量不能比较大小：但大小和方向是向量的两个要素，向量的大小称为向量的模。（2）零向量：模为零的向量叫做零向量（始、终点重合），记作。注意：的方向是任意的；与的区别。（3）单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量。（4）相等的向量：长度相等且方向相同的两个量叫做相等的向量。若向量相等，记作：任意两相等的向量都可以用一有向线段表示，与起点无关。（5）负向量：大小相同且方向相反的两个向量

2、称它们互为负向量。2、平行向量两个方向相同或相反的向量，记作：。任意一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。规定：与任意向量平行。3向量的表示方法（1）始终点法（几何表示法）：如图向量； （2）单个字母表示法（代数表示法）：小写字母加上箭头，如从向量的表示我们可以看到，可以由几何与代数两方面来刻划画向量，使数与形统一于向量之中，体现了数形结合的思想。二、向量的加、减法运算1、向量的加法求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。注意：两个向量的和仍是向量（简称和向量）。（1） 向量加法的平行四边形法则；（2） 向量加法的三角形法则：将第二个向量的始点与第一个向量的终点相重合，则

3、第一个向量的始点为始点，第二个向量的终点为终点所组成的向量，即为两向量的和 （3） 对于共线的向量，分别为同向或反向的两种情况。2、向量加法的性质（1）向量加法的交换律：；（2）向量加法的结合律：；（3）。3、向量的减法向量的减法是向量加法的逆运算（用加法的逆运算定义向量的减法）。若则叫做的差，记作。4、求作差向量已知向量，求作向量。作法：在平面内取一点，作可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量。三、实数与向量的乘积1、实数与向量的积定义：实数与非零向量的积是一个向量，记作。它的模与方向规定如下：（1）实数与向量积的运算（1） 结合律：；（2） 分配律：2、单位向量定义：长度（模）为1个单

4、位长度的向量叫做单位向量。设是非零向量同方向的单位向量，则3、向量平行的充要条件与非向量平行（共线）的充要条件是有且只有一个实数使得推论：的充要条件是存在实数四、应用举例：例1、如图，正六边形的中心为O，则与相等的向量相等的向量是 ，的负向量是 是 。的平行向量是 。答：与相等的向量是的负向量是 。与平行的向量是等共有9个。反思：掌握概念是关键例2、化简。解： 反思：三角形法则，“首尾相接”。例3、已知为非零向量，试判断下列各命题的真假？（1）是的充要条件；（2）与的方向相反，且的模是的模的倍。（3）与互为负向量；（4）因为的方向与相同，且大小为的2倍，所以；答：（1）假命题；（2）真命题；（

5、3）假命题；（4）假命题。反思：平时对问题的表述要准确ABCD例4、（1）如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（ ） （A） （B）（C） （D）解：依照图形分析得答案为（C）。（2）如图所示，D是ABC的边AB上的中点，则向量（ ） A.B. C. D. 解：，选取（A）（3）是两个非零向量，分别是的单位向量，则下列命题正确的是（ ）。解：（C）反思：方法的选择要优化，如第（2）小题例5、（1）已知解：应用余弦定理（2）在中，M为BC 的组中点，则_。（用表示）反思：数形结合是重要的解题方法例6如图，分别是的中线，G为重心，且。反思：培养目的性思维是必要的例7、 已知，设为实数，如果，那

6、么为何值时，三点在同一条直线上。反思：灵活处理共线与平行的关系例8、（1） 已知不平行，三点共线。反思：如果反过来研究，是否成立？（2） 在中（如图），若求证：证明 因为反思：此题结论与上题是一致的例9、（2003年江苏高考题）是平面上一点， 是平面上不共线的三点，动点满足则的轨迹一定通过的（ ）（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心解：，应选（B）。反思：向量与平面几何中的结论是相互结合的 例10、如图,OMAB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是 ;当时,的取值范围是 . AOMPB反思：转化思想在该题中得到了体现。例11：

7、证明不等式：，并应用此结论求函数的最大值。解：构造一平行四边形，它的两邻边的向量是，则两对角线向量为：和，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：成立。等号当同向共线或反向共线时取等号。上式可以理解为：点与点的距离的差，其中是轴上的点，点与点分布在轴同侧。由，可知。例12 某人骑摩托车以20km/h的速度向东行驶，感到风从正南方向吹来，而当速度为40km/h时，感到风从东南方向吹来，求实际风向和风速的大小。解：设表示车向西行驶20km/h的速度，在无风时，此人感受到的风速为；设实际风速为，那么此人感受到的风速为。如图，令，实际风速为，这就是当车的速度为20km/h时，该人感受到的正南方向吹来的风速。，这就是当车