例说向量在三角函数当中的应用

1、例说向量在三角函数当中的应用1摘要摘要: : 本文用向量法证明了三角函数当中的几个重要定理, 通过这些证明介绍向量在三角函数当中的应用. 关键词关键词: : 向量 三角函数向量作为一种重要的数学工具, 用来解决一些数学问题有其独到的妙处, 新的教学大纲将向量的基本内容渗透到中学数学教材, 为许多初等数学问题的解决拓宽了道路, 这一变化对中学数学教学产生了深远的影响, 各种探讨用向量解决中学数学问题的文章散见于各类报刊杂志, 本文试图就用向量解决三角函数问题作一简单探讨. 正弦定理, 余弦定理, 三角公式和三角形面积的海伦(heron)公式, 作为三角函数部分的几个非常重要的定理, 用初等的方法

2、固然可以证明, 但是需要有高超的技术, 而且非常繁琐, 本文将用向量的方法对这几个定理作一证明, 读者可以从中体会到用向量解决数学问题的简捷性. 1 1 用向量法证明正弦定理用向量法证明正弦定理三角形的正弦定理: 在三角形中, 分别为的三条对边, 则有: ABCcba,CBA, RCcBbAa2sinsinsin其中为三角形的外接圆半径. RABC证明： 如图 1 所示, 在三角形中, 设, , ABCaBCbCAcAB, , , , 是三角形的外接圆圆心. aa bb cc OABC证法: 根据向量外积的几何意义, 三角形的面积ABC,AbcAcbACABSABCsin21)sin(2121

3、同时又有,BacBacBCABSABCsin21)sin(2121所以有, 即; 同理可得另外两个等式. BacAbcsin21sin21BbAasinsin在三角形中, , 即, 两边作内积, AOC0CAOCAOCAAOOC1 本文已发表在数学教学研究ISSN 1671-0452 2005 年第 2 期专辑 10-12.CBAO图 1, CAAOCAAOOC2222即: , )cos(2222CAObRbRR化简, 有, (记BRAOCRAOCRCAORbsin22sin22cos2)cos(2), BABC 综上可得: . 证毕. RCcBbAa2sinsinsin证法: 因为, 所以有

4、, 即: 0cba0)(cbaa, acba又因为, 所以: 0)(cbab,cbba即:,accbba因此有,accbba所以,BacAbcCabsinsinsin于是.CcBbAasinsinsin后面的证法同证法. 2 2 用向量法证明余弦定理用向量法证明余弦定理三角形的余弦定理: 在三角形中, 分别为的三条对边, 则有: ABCcba,CBA, CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222证明: 在三角形中, 设, , cAB, , , , 那ABCaBCbCAaa bb cc 么, 即: 0cba, )(cba两边作内积, 得到: , cbcba22

5、22所以: .AbccbAbccbacos2)cos(222222同理可得另外两个等式. 3 3 用向量法证明三角公式用向量法证明三角公式三角形的三角公式: .sinsincoscos)cos(证明: 如图 2 所示, 在平面内, 设角的终边是xoy单位向量, 角的终边是单位向量, 且OAOB. ),(OBOA从图中容易观察到, 如果把角的终边沿逆时针方向旋转角,便得到一个终边和角的终边相同的角, 因此, 为整数）kk (2即:, 为整数）kk(2所以我们得到:, cos)cos(另一方面, 设, 由三角函数的定义可知: ),(yxOA yx图 2, , xOAxcosyOAysin从而有:,

6、 )sin,(cosOA同理可得: , )sin,(cosOB所以: , sinsincoscoscosObOAOBOA此即: . sinsincoscoscos)cos(证毕. 4 4 用向量法证明三角形面积的海伦用向量法证明三角形面积的海伦(heron)(heron)公式公式三角形面积的海伦(heron)公式: , 式中为三角形)()(2cpbpappScba,三条边的边长, , 为三角形的面积. ABC)(21cbapS证明: 如图 1 所示, 三角形的面积为: ABC, baS21所以: , (1)(41)(41)(4122222222bababababaS因为: ,0cba所以: , cba两边作内积: ,22)(cba所以: , (2)(21222bacba将(2)式代入(1)式, 并化简得: ).22()22()22(2161)()()(161)()(161)(2)(2161)(414122222222222222222apbpcppbacbaccbacbabaccbabacabbacabbacbaS化简即得: . )()(2cpbpappS证毕. 从以上的实例当中, 我们不难体会到, 向量作为一种数学工具, 用来解决一些数学问题, 的确有