不同材料契合弹性力学问题的虚边界元最小二乘法

1、不同材料契合弹性力学问题的虚边界元最小二乘法张立洲郑文明孙焕纯杨贺先(辽宁工学院建工系,锦州,121001(大连理工大学力学系,大连,116023摘要本文针对不同材料契合弹性力学问题,由虚边界元方法出发,建立了引入拉氏乘子的最小二乘解法,对该类问题避免了采用H etenyis 基本解的麻烦和限制。数值结果表明本文算法的有效性和计算精度高。关键词虚边界元;最小二乘法;弹性力学;边界元分类号O 241121引言不同种材料契合物体在其契合界面附近的应力状态的分析计算具有理论和工程应用的双重意义。对这类问题若采用边界元耦合法求解,由于解的奇异性使得契合界面附近区域内位移和应力求解困难,计算精度很低。对

2、这类问题采用H etenyis 基本解的修正边界元法1进行了研究,其不足之处是H etenyis 基本解的局限性契合界面是平面(二维问题是直线;H etenyis 基本解及其相应的公式非常繁锁;边界附近精度低。本文避免了这些不足,由虚边界元法2出发,建立了引入拉氏乘子的最小二乘解法。该方法因完全避免了奇异积分和引入满足契合协调条件的拉氏乘子法,成功地解决了不同材料契合物体在契合界面附近区域解的精度问题。图1两种材料契合问题的虚、实边界2不同材料契合弹性力学问题虚边界元最小二乘法对不同材料契合物体,需按材料的不同将物体分成不同的区域。以两种材料契合问题为例。如图1所示,81,82分别为两种材料所

3、占的子域;弹性模量和泊松比分别为E 1,E 2和v 1,v 2;#1,#2和#c 分别为81和82的边界和契合边界;#f 1和#f 2分别为两个子域的给定外力的边界;#u 1和#u 2分别为两个子域的给定位移的边界。#1#u 1#f 1#c ,#2#u 2#f 2#c 。第16卷第1期计算力学学报V o l .16N o.11999年2月CH I N ESE JOU RNAL O F COM PU TA T I ONAL M ECHAN I CS February 1999辽宁省自然科学基金资助项目收稿日期:1998203225;修改稿收到日期:1998207220张立洲:男,1952年生,硕

4、士,副教授 按虚边界元法,将该物体嵌入与两种材料各自相同具有同一交界面的无限域中,并从中分别截取两个子域81,82,其边界分别为#1和#2,#1和#2称之为虚边界。81和82中各自含有第一,二种材料,这相当于81和82分别通过交界面向对方域中延拓为无限域的一部分。在#1和#2上分别作用待定的分布体力51(,52(,用逐点满足#1,#2上的全部边界条件及#c 上的契合条件来确定。即应用最小二乘法,列出81和82边界条件的误差平方和函数f :f =2j =1#f1(p (1j -p(1j 2d #+2j =1#u1(u (1j -u (1j 2d #+2j =1#f2(p (2j -p(2j 2d

5、 #+2j =1#u2(u (2j -u (2j 2d #(1式中p (i j u (i j (三维问题j =1,2,3分别表示#1,#2上给定的外应力值和位移值的切向和法向分量;,为量纲调整因子;p (i j u (i j 为i 子域8i 边界#i 上待求的法向、切向应力分量和位移分量。依照文献2得:u (1i =M jg =15(l g j #U (l ij (x (l 0,(l g d #(l i (l gp (1i =M jg =15(l g k #P (l ik (x (l 0,(l gd #(l (l g(2(l =1,2;i =1,2;j =1,2;k =1,2式中5(l g j

6、 表示l 子域q 虚边界单元上j 方向分布体力集度,显然M 1,M 2分别为#1和#2上虚边界节点数。若f =f (5g j ,则j =1,2;q =1,2M 1+M 21我们要求f 取极小值并满足#c 上的契合条件,即p (l i (x c =p (2i (x c u (l i (x c =-u (2i (x c x c #c (I =1,2(3于是我们构造一个拉格朗日函数F (5g j ,F (5gj,-f (5g j+M 3i =11i (p (11(x c -p (21(x c +2i (p (12(x c -p (22(x c +3i (u (11(x c +u (21(x c +4

7、i (u (12(x c +u (22(x c (4式中M 3为契合边界上的节点个数。令5F g j =0,5Fjk=0(5(q =1,2M 1+M 2;j =1,2;k =1,2M 3;i =1,2,3,4由式(5得到2(M 1+M 2和4M 3个方程,恰好可解4M 3+2(M 1+M 2个未知数5g j 和ik 。这些方程的矩阵形式如下 :C(12M 12M 15(12 M 11+B(12M 14M 34M 31=D(12 M 11C(22M 22M 2 5(22M 21+B(22M 24M 3 4M 31=D(22M 21B(1T4M 32M 15(12M 11+B(2T4M 32M 2

8、5(22M 21=04M 31(6421计算力学学报16卷将(6式写成统一的矩阵形式:C (1B (1C(2B (2B (1TB (2T5(15(2=D(1D(20(7式(7便为具有符合契合条件的两种材料的虚边界元最小二乘法的基本方程。其系数矩阵具有对称性质,这一点与边界元法是不相同的。为简便起见,以上从两种材料契合情况为例推导,但不失一般性,算法加以扩展,即适于多种不同材料契合问题的计算。3算例由两种材料组成的受均匀内压Q =1M Pa 作用的复合圆盘,v 1=0.1,v 2=0.29, E 1=30000M Pa ,E 2=300M Pa ,a =0.1m ,b =0.2m ,c =0.4

9、m ,r =0.03m ,试分析各域内及契合边界处的应力情况。计算模型见图2。利用对称性取1 4部分计算。M 1=48,M 2=48,M 3=24。图2计算结果见表2。从表中可见,本文方法与解析解吻合良好,位移有限元法则相差较大,其中径向应力在两种材料交界面上是不连续的,这与实际情况不符。表2两种材料契合圆盘计算结果(单位:kN m 2半径r (m E 1域r解析解本文解有限元解3解析解本文解有限元解3E 2域r解析解本文解有限元解3解析解本文解有限元解30.15-262.03-261.82-920.12921.36-0.20-3.37-3.44-21.70661.0662.98669.8-3

10、.37-3.42-3.435.605.676.140.25-1.74-1.77-4.094.04-0.30-0.85-0.88-3.213.15-0.35-0.33-0.35-2.682.62-5211期张立洲等:不同材料契合弹性力学问题的虚边界元最小二乘法621计算力学学报16卷4结论针对不同材料契合弹性力学问题,本文采用虚边界元法,建立了引入拉氏乘子法的最小二乘法解法,突破H etenyis基本解的契合界面是平面(二维问题是直线的局限性,对契合界面的形状不受条件限制。本文方法实际可归为虚边界元自耦合解法。由于虚边界元法具有避免了奇异积分,且无论在边界附近区域(包括边界上,还是在域内任意点处

11、的计算精度都相当高特点,所以该解法非常有效。算例数值结果与解析解吻合,计算精度高。参考文献1楼志文等1E lasto2p lastic boundary elem ent analysis of tw o2di m ensi onal bi m ateral.见:第四届中日边界元会议录1北京:19911152孙焕纯,李性厚,张立洲1弹性力学问题的虚边界元配点法1计算结构力学及其应用,1991,8(1:1523 3雷晓燕1不同材料交界面接触应力分析1应用力学学报,1995,12(3V irtua l boundary elem en t lea st squares m ethodfor sol

12、v i ng ela stic coupl i ng problem of d ifferen t ma ter i a lsZhang L izhouZheng W enm ing(L iaoning Institute of T echno logy,J inzhou,121001,P.R.Ch inaSun H uancunYang H ex ian(D alian U niversity of T echno logy,D alian,116023,P.R.Ch inaAbstractO n the basis of the virtual boundary elem en t m ethod,the au tho rs develop ed a least square m ethod w ith L agrange m u lti p liers fo r so lving the elasticity coup ling p rob lem s of dif2 feren t m aterials.T h is m ethod avo ids the defects and li m its of H etenyis fundam en tal so lu