专题一 集合、函数与导数测试题(文科)解析

1、专题一集合、函数与导数测试题（文科）解析一、选择题：1设集合U1,2,3,4,5,6，集合M1,3，N2,3,4，则(UM(UN(A3B4,6 C5,6 D3,6解析UM2,4,5,6，UN1,5,6，(UM(UN5,6，选C.2已知全集IR，若函数f(xx23x2，集合Mx|f(x0，Nx|f(x<0，则MIN(A. B. C. D.解析由f(x0解得1x2，故M1,2；f(x<0，即2x3<0，即x<，故N(，IN.故MIN.答案A3设某种蜡烛所剩长度P与点燃时间t的函数关系式是Pktb.若点燃6分钟后，蜡烛的长为17.4 cm；点燃21分钟后，蜡烛的长为8.4 c

2、m，则这支蜡烛燃尽的时间为(A21分钟 B25分钟 C30分钟 D35分钟解析由，解得k0.6，b21，由00.6t21，解得t35.答案D4已知命题p：“x1,2，x2a0”，命题q：“xR，x22ax2a0”若命题是真命题，则实数a的取值范围为(Aa2或a1 Ba2或1a2 Ca1 Da>1解析命题p：“x1,2，x2a0”，ax2在1,2上恒成立，a1，为a>1.命题q：“xR，x22ax2a0”，方程有解，4a24(2a0，a2a20，a1或a2.若命题是真命题，则a>1，故选D.5幂函数f(xxn(n1,2,3，1具有如下性质：f2(1f2(12f(1f(11，则函

3、数f(x(A是奇函数 B是偶函数C既是奇函数，又是偶函数 D既不是奇函数，又不是偶函数解析由f2(1f2(12f(1f(11n2，f(xx2为偶函数，所以选B.6已知函数f(xx32bx2cx1有两个极值点x1、x2，且x12，1，x21,2，则f(1的取值范围是(A. B. C3,12 D.解析f(x3x24bxc，由题意，得f(12bc，当直线z2bc过A时f(1取最小值3，当直线过B时取最大值12，故选C.7设集合I是全集，AI，BI，则“ABI”是“BIA”的(A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析由BIAABI，而ABIBIA，故“ABI”是“BIA

4、”的必要不充分条件答案B8若曲线xya(a0，则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是(A2a2 Ba2 C2|a| D|a|解析设切点坐标为(x0，y0，曲线方程即y，y，故切线斜率为，切线方程为y(xx0令y0，得x2x0，即切线与x轴的交点A的坐标为(2x0,0；令x0，得y，即切线与y轴的交点B的坐标为(0，故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×|2x0|2|a|.答案C9定义在R上的函数f(x满足(x1f(x0，且yf(x1为偶函数，当|x11|<|x21|时，有(Af(2x1>f(2x2 Bf(2x1f(2x2Cf(2x1<f(2x2

5、Df(2x1f(2x2解析由(x1f(x0或得函数f(x在区间(，1上为增函数，在区间1，上为减函数又由yf(x1为偶函数，得函数f(x的图象关于直线x1对称由|x11|<|x21|(x1x2(x1x22<0或若则x2>1.此时，当x1>1，则f(x1>f(x2，即f(2x1>f(2x2；当x1<12x1>1，又x2>2x1f(2x1>f(x2，即f(2x1>f(2x2同理，当时，也有上述结论答案A10如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着ABCM运动时，以点P经过的路程x为自变量，三角形A

6、PM的面积函数的图象的形状大致是( 解析y选A.11已知函数f(x在1，上为减函数，则实数a的取值范围是(A0<a< B0<ae Cae Dae解析f(x，因为f(x在1，上为减函数，故f(x0在1，上恒成立，即lna1lnx在1，上恒成立设(x1lnx，(xmax1，故lna1，ae，选D.12有下列命题：函数ycoscos的图象中，相邻两个对称中心的距离为；函数y的图象关于点(1,1对称；关于x的方程ax22ax10有且仅有一个实数根，则实数a1；已知命题p：对任意的xR，都有sinx1，则綈p：存在xR，使得sinx>1.其中所有真命题的序号是(A B C D解析

7、函数ycos(xcos(xcos2x，相邻两个对称中心的距离为d，故不正确；函数y的图象对称中心应为(1,1，故不正确；正确；正确.答案B二、填空题：13已知函数f(x则ff(2 012_.解析ff(2 012ff(2 010ff(2 008ff(2 006ff(0f(22240.答案014已知函数f(xlnsinx，则关于a的不等式f(a2f(a24<0的解集是_解析已知f(xlnsinx是奇函数，又f(xlnsinxlnsinxln(1sinx，因此f(x在(1,1上单调递增，故f(x是(1,1上的增函数由已知得f(a2<f(a24，即f(a2<f(4a2故<a&l

8、t;2.即不等式的解集是(，2答案(，215已知函数f(xmx2lnx2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为_解析f(xmx20对一切x>0恒成立，m2，令g(x2，则当1时，函数g(x取得最大值1，故m1.16若函数f(xx3a2x满足：对于任意的x1，x20,1都有|f(x1f(x2|1恒成立，则a的取值范围是_解析问题等价于在0,1内f(xmaxf(xmin1恒成立f(xx2a2，函数f(xx3a2x的极小值点是x|a|，若|a|>1，则函数f(x在0,1上单调递减，故只要f(0f(11即可，即a2，即1<|a|；若|a|1，此时f(xminf(|a|a|3a2|

9、a|a2|a|，由于f(00，f(1a2，故当|a|时，f(xmaxf(1，此时只要a2a2|a|1即可，即a2，由于|a|，故|a|1×1<0，故此式成立；当<|a|1时，此时f(xmaxf(0，故只要a2|a|1即可，此式显然成立故a的取值范围是.三、解答题：17(本小题满分10分统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升关于行驶速度x(千米/小时的函数解析式可以表示为：yx3x8(0<x120已知甲、乙两地相距100千米(1当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最

10、少为多少升？解(1当x40时，汽车从甲地到乙地行驶了2.5小时，要耗油×2.517.5(升答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5升(2当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x升，依题意得h(x·x2(0<x120，h(x(0<x120令h(x0，得x80.当x(0,80时，h(x<0，h(x是减函数；当x(80,120时，h(x>0，h(x是增函数当x80时，h(x取得极小值h(8011.25.h(x在(0,120上只有一个极值，它是最小值答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到

11、乙地耗油最少为11.25升18(本小题满分12分设函数f(xaexb(a>0(1求f(x在0，内的最小值；(2设曲线yf(x在点(2，f(2处的切线方程为yx，求a，b的值解(1f(xaex.当f(x>0，即x>lna时，f(x在(lna，上递增；当f(x<0，即x<lna时，f(x在(，lna上递减当0<a<1时，lna>0，f(x在(0，lna上递减，在(lna，上递增，从而f(x在0，上的最小值为f(lna2b；当a1时，lna0，f(x在0，上递增，从而f(x在0，上的最小值为f(0ab.(2依题意f(2ae2，解得ae22或ae2(舍去

12、所以a，代入原函数可得2b3，即b.故a，b.19(本小题满分12分设f(x是定义在1,1上的奇函数，且当1x<0时，f(x2x35ax24a2xb.(1求函数f(x的解析式；(2当1<a3时，求函数f(x在(0,1上的最大值g(a解(1当0<x1时，1x<0，则f(xf(x2x35ax24a2xb.当x0时，f(0f(0，f(00.f(x(2当0<x1时， f(x6x210ax4a22(3x2a(xa6(x(xa当<<1，即1<a<时，当x时，f(x>0，当x时，f(x<0，f(x在上单调递增，在上单调递减，g(afa3b.当

13、12，即a3时，f(x0，f(x在(0,1上单调递增g(af(14a25a2b，g(a.20(本小题满分12分 已知函数（为自然对数的底数）（1）求的最小值;(2设不等式的解集为P，且,求实数的取值范围.【答案】解:（1）令，解得；令，解得从而在内单调递减，内单调递增.所以，当时取得最小值1. 因为不等式的解集为P，且，所以，对任意的，不等式恒成立，由得.当时， 上述不等式显然成立，故只需考虑的情况. 将变形得 ，令，令，解得；令，解得 从而在（0,1）内单调递减，在（1，2）内单调递增.所以，当时， 取得最小值，从而所求实数的取值范围是.21(本小题满分12分设f(xln(x1axb(a，b

14、R，a，b为常数，曲线yf(x与直线yx在(0,0点相切(1求a，b的值；(2证明：当0<x<2时，f(x<.解(1由yf(x过(0,0点，得b1.由yf(x在(0,0点的切线斜率为，又yx0x0a，得a0.(2证法一：由均值不等式，当x>0时，2<x11x2，故<1.记h(xf(x，则h(x<令g(x(x63216(x1，则当0<x<2时，g(x3(x62216<0，因此g(x在(0,2内是递减函数，又由g(00，得g(x<0，所以h(x<0.因此h(x在(0,2内是递减函数，又h(00，得h(x<0.于是当0&l

15、t;x<2时，f(x<.证法二：由(1知f(xln(x11.由均值不等式，当x>0时，2<x11x2，故<1.令k(xln(x1x，则k(00，k(x1<0，故k(x<0，即ln(x1<x.由得，当x>0时，f(x<x.记h(x(x6f(x9x，则当0<x<2时，h(xf(x(x6f(x9<x(x693x(x1(x6(218(x1<3x(x1(x618(x1(7x18<0.因此h(x在(0,2内单调递减，又h(00，所以h(x<0，即f(x<.22(本小题满分12分已知函数f(xexax2ex

16、，aR.(1若曲线yf(x在点(1，f(1处的切线平行于x轴，求函数f(x的单调区间；(2试确定a的取值范围，使得曲线yf(x上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P?解(1由于f(xex2axe，曲线yf(x在点(1，f(1处切线斜率k2a0，所以a0，即f(xexex.此时f(xexe，由f(x0得x1.当x(，1时，有f(x<0；当x(1，时，有f(x>0.所以f(x的单调递减区间为(，1，单调递增区间为(1，(2设点P(x0，f(x0，曲线yf(x在点P处的切线方程为yf(x0(xx0f(x0，令g(xf(xf(x0(xx0f(x0，故曲线yf(x在点P处

17、的切线与曲线只有一个公共点P等价于函数g(x有唯一零点因此g(x00，且g(xf(xf(x0exex02a(xx0(1若a0，当x>x0时，g(x>0，则x>x0时，g(x>g(x00；当x<x0时，g(x<0，则x<x0时，g(x<g(x00.故g(x只有唯一零点xx0.由P的任意性，a0不合题意(2若a<0，令h(xexex02a(xx0，则h(x00，h(xex2a.令h(x0，得xln(2a，记x*ln(2a，则当x(，x*时，h(x<0，从而h(x在(，x*内单调递减；当x(x*，时，h(x>0，从而h(x在(x*，内单调递增若x0x*，由x(，x*时，g(xh(x>h(x*0；x(x*，时，g(xh(x>h(x*0.知g(x在R上单调递增所以函数g(x在R上有且只有一个零点xx*.若x0>x*，由于h(x在(x*，内单调递增，且h(x00，则当x(x*，x0时有g(xh(x<h(x00，g(x>g(x00；任取x1(x*，x0有g(x1>0.又当x(，x1时，易知g(xex