层次分析法例题

1、精选优质文档-倾情为你奉上数学建模作业 班级：高分子材料与工程 姓名：林志许 、 朱金波 、 任宇龙 学号：、层次分析法 某物流企业需要采购一台设备，在采购设备时需要从功能、价格与可维护性三个角度进行评价，考虑应用层次分析法对3个不同品牌的设备进行综合分析评价和排序，从中选出能实现物流规划总目标的最优设备，其层次结构如下图所示。以A表示系统的总目标，判断层中表示功能，表示价格，表示可维护性。，表示备选的3种品牌的设备。购买设备A功能B1价格B2维护性B3产品C1产品C2产品C3目标层判断层方案层图 设备采购层次结构图解题步骤：1、标度及描述人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，即同样重要

2、、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。为了便于将比较判断定量化，引入19比率标度方法，规定用1、3、5、7、9分别表示根据经验判断，要素i与要素j相比：同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，而2、4、6、8表示上述两判断级之间的折衷值。 标度定义（比较因素i与j）1因素i与j同样重要3因素i与j稍微重要5因素i与j较强重要7因素i与j强烈重要9因素i与j绝对重要2、4、6、8两个相邻判断因素的中间值倒数因素i与j比较得判断矩阵a ij，则因素j与i相比的判断为aji=1/aij注：aij表示要素i与要

3、素j相对重要度之比，且有下述关系： aij=1/aji ；aii=1； i，j=1，2，n 显然，比值越大，则要素i的重要度就越高。 2、构建判断矩阵A判断矩阵是层次分析法的基本信息，也是进行权重计算的重要依据。 根据结构模型，将图中各因素两两进行判断与比较，构造判断矩阵：判断矩阵(即相对于物流系统总目标，判断层各因素相对重要性比较)如表1所示；判断矩阵(相对功能，各方案的相对重要性比较)如表2所示；判断矩阵(相对价格，各方案的相对重要性比较)如表3所示；判断矩阵(相对可维护性，各方案的相对重要性比较)如表4所示。表1判断矩阵11/323151/21/51表2 判断矩阵1l/31/5311/3

4、531表3 判断矩阵B2-C1271/2151/71/51表4判断矩阵13l/7l/311/97913、计算各判断矩阵的特征值、特征向量及一致性检验指标一般来讲，在AHP法中计算判断矩阵的最大特征值与特征向量，必不需要较高的精度，用求和法或求根法可以计算特征值的近似值。 求和法 1）将判断矩阵A按列归一化（即列元素之和为1）：bij= aij /aij；2）将归一化的矩阵按行求和：ci=bij （i=1，2，3.n）；3）将ci归一化：得到特征向量W=（w1，w2，wn ）T，wi=ci /ci ，W即为A的特征向量的近似值；4）求特征向量W对应的最大特征值：求根法 1）计算判断矩阵A每行元素

5、乘积的n次方根； （i =1, 2, , n）2）将归一化，得到；W=（w1，w2，wn ）T即为A的特征向量的近似值；3）求特征向量W对应的最大特征值：(1)判断矩阵的特征根、特征向量与一致性检验计算矩阵的特征向量。计算判断矩阵各行元素的乘积，并求其次方根，如，类似地有，。对向量规范化，有类似地有，。所求得的特征向量即为：计算矩阵的特征根类似地可以得到，。按照公式计算判断矩阵最大特征根：一致性检验。实际评价中评价者只能对A进行粗略判断，这样有时会犯不一致的错误。如，已判断C1比C2重要，C2比C3较重要，那么，C1应该比C3更重要。如果又判断C1比C3较重要或同等重要，这就犯了逻辑错误。这就

6、需要进行一致性检验。 根据层次法原理，利用A的理论最大特征值max与n之差检验一致性。 一致性指标：计算<0.1，查同阶平均随机一致性指标（表5所示）知，（一般认为CI<0.1、 CR<0.1时，判断矩阵的一致性可以接受，否则重新两两进行比较）。表5 平均随机一致性指标阶数34567891011121314RI0.580.891.121.261.361.411.461.491.521.541.561.58(2)判断矩阵的特征根、特征向量与一致性检验类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵的特征根、特征向量与一致性检验如下：，(3)判断矩阵的特征根、特征向量与一致性检验类似于第

7、(1)步的计算过程，可以得到矩阵刀：C的特征根、特征向量与一致性检验如下：，(4)判断矩阵的特征根、特征向量与一致性检验类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵的特征根、特征向量与一致性检验如下：，4、层次总排序获得同一层次各要素之间的相对重要度后，就可以自上而下地计算各级要素对总体的综合重要度。设二级共有m个要素c1, c2,cm，它们对总值的重要度为w1, w2, wm；她的下一层次三级有p1, p2,pn共n个要素，令要素pi对cj的重要度（权重）为vij，则三级要素pi的综合重要度为： 方案C1的重要度（权重）=0.230×0.105+0.648×0.529+0.122×0.149=0.426方案C2的重要度（权重）=0.230×0.258+0.648×0.333+0.122×0.066=0.283方案C3的重要度（权重）=0.230×0.637+0.648×0. 075+0.122×0.785=0.291依据各方案综合重要度的大小，可对方案进行排序、决策。 层次总排序如表6所示。表6 层次总排序层次层次层次C总排序权重0.230