反例法和集合观点的妙用

1、2010.04(下 C h i n a C o l l e c t i v e E c o n o m y集体经济·摘要:巧妙应用反例强化法和集合观点来理解高等数学中的有界、收敛、连续、可导和偏导存在等概念间的相互关系,通常能在教学中达到无声胜有声之功效。关键词:有界;收敛;连续;可导;偏导存在有界、收敛、连续、可导和偏导存在等概念是高等数学中的重要基本概念。要掌握这些基本概念,不但要理解这些概念本身,还要了解它们之间的相互关系。巧妙应用反例强化法和集合观点,通常能在这部分内容的教学中达到无声胜有声之功效。一、数列的收敛与有界间的关系由收敛数列的有界性可知:若数列收敛,则必有界。但反

2、之未必成立。反例1:数列(-1n 有界,但不收敛(发散。这是因为|(-1n |1,(n=1,2,故数列(-1n 有界;但lim (-12k =1,且lim (-12k -1=-1,故lim (-1n 不存在,即数列(-1n 不收敛。从集合观点看,x n :x n 收敛是x n :x n 有界的子集。二、无界数列与无穷大量间的关系由无穷大量的定义可知,若数列为无穷大量,则必无界。但反之未必成立。反例2:数列1+(-1n n 无界,但不是无穷大量。这是因为偶数项1+(-12k 2k =22k +(k ,故数列1+(-1n n 无界;但k 时,偶数项1+(-122k 2k =22k +,且奇数项1+

3、(-12k-12k-1=00,故1+(-1n n 不可能是无穷大量。从集合观点看,x n :x n 为无穷大量是x n :x n 无界的子集。三、一元函数在一点处的可导、连续与有极限间的关系由可导与连续的定义易证,若函数f (x在a 点可导,则必在a 点连续;若f (x 在a 点连续,则f(x必在a 点有极限。但反之都未必成立。反例3:函数f 1(x=|x |在x=0连续,但在x=0不可导。这是因为limf 1(x=lim |x |=0=f 1(0,故函数f 1(x=|x |在x=0连续;但极限lim f 1(x-f 1(0x-0=lim |x |x 不存在(由于左极限与右极限都存在但不相等,

4、故f 1(x=|x |在x=0不可导。反例4:函数f 2(x=x-4x 姨-2在x=4有极限,但在x=4不连续。这是因为limf 2(x=limx-4x 姨-2=lim (x 姨+2=4,即函数f 2(x =x-4x 姨-2在x=4有极限4;但f 2(x=x-4x 姨-2在x=4无定义,即limf 2(x=f 2(4不可能成立,故函数f 2(x=x-4x 姨-2在x=4不连续。从集合观点看,f(x:f(x在a 点可导是f(x:f(x在a 点连续的子集;f (x:f(x在a 点连续;f (x :f (x 在a 点连续又是f(x:f(x在a 点有极限的子集。四、二元函数的偏导数都存在与连续间的关系

5、在偏导数这部分内容的教学中,会涉及到讨论二元函数在一点处的偏导数都存在与连续间的关系。事实上,二元函数z=f (x ,y 在点(x 0,y 0的偏导数都存在,但在点(x 0,y 0未必连续。反之,函数z=f (x ,y 在点(x 0,y 0连续,但在点(x 0,y 0的偏导数未必都存在。反例5:函数f (x ,y =xy x +y ,x 2+y 200,x 2+y2=在点(0,0的偏导数都存在,但在点(0,0不连续。这是因为f x(0,0=lim f (0+x ,0-f (0,0x=lim 0-0x =0,f y (0,0=lim f (0,0+y -f (0,0=lim0-0y=0,即函数f

6、 (x ,y 在点(0,0对x 与y 对的偏导数都存在,且都为0;但极限lim f (x ,y =lim xy 却不存在(由于按不同方式使(x ,y (0,0时,极限值不同,即lim f (x ,y =f (0,0不可能成立,故函数f (x ,y 在点(0,0不连续。反例6:函数f (x ,y =|x |y x 2+y2在点(0,1连续,但在点(0,1对x 的偏导数不存在。这是因为lim f (x ,y =lim |x |y x 2+y 2=0=f (0,1故函数f (x ,y =|x |y x 2+y 2在点(0,1连续;但极限lim f (0+x ,1-f (0,1=lim|x |(x 3+x不存在(由于左极限与右极限都存在但不相等。从集合观点看,对于集合f (x ,y :f (x ,y 在f (x ,y 点偏导数都存在与集合f (x ,y :f (x ,y 在(x ,y 点连续而言,前者不可能是后者的子集;后者也不可能是前者的子集。综上所述,巧妙应用反例强化法和集合观点后,高等数学中的“有界、收敛、连续、可导和偏导存在”等概念不再是一个个孤立的个体,而成为一个相互间关系非常清晰的有机整体,这对教师的教学和学生的理解是非常有意义的。参考文献:同济大学数学系.高等数学M.高等教育出版社,2007.(作者单位:武汉科技大学城市学院公共课部反例法和集合观点