抛物线及其几何性质---2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(解析版)

1、精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 专题专题 8.88.8- -抛物线及其抛物线及其几何性质几何性质-20202020 年年高考数学一轮复习对点高考数学一轮复习对点提分提分( (文理科通用文理科通用)()(解解析版析版) ) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 第八篇第八篇 平面解析几何平面解析几何 专题专题 8.08 抛物线抛物线及其几何性质及其几何性质 【考试要求】 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性

2、质. 【知识梳理】 1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线. (2)其数学表达式：M|MF|d(d 为点 M 到准线 l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准 方程 y22px (p0) y22px (p0) x22py (p0) x22py (p0) p 的几何意义：焦点 F到准线 l 的距离 性 质 顶点 O(0，0) 对称轴 y0 x0 焦点 Fp2，0 Fp2，0 F0，p2 F0，p2 离心率 e1 准线方程 xp2 xp2 yp2 yp2 范围 x0

3、，yR x0，yR y0，xR y0，xR 开口方向 向右 向左 向上 向下 【微点提醒】 1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于 2p，通径是过焦点最短的弦. 2.抛物线 y22px(p0)上一点 P(x0，y0)到焦点 Fp2，0 的距离|PF|x0p2，也称为抛物线的焦半径. 【疑误辨析】 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)平面内与一个定点 F和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( ) (2)方程 yax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0 ，准线方程是 xa4.( ) (

4、3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( ) (4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线 x22ay(a0)的通径长为 2a.( ) 【答案】 (1) (2) (3) (4) 【解析】 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点 F与定直线 l 垂直的一条直线，而非抛物线. (2)方程 yax2(a0)可化为 x21ay，是焦点在 y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是0，14a，准线方程是 y14a. (3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形. 【教材衍化】 2.(选修 21P72A1 改编)顶点在原点，且过点 P(2，3)的抛物线的标准方程是_.

5、 【答案】 y292x或 x243y 【解析】 设抛物线的标准方程是 y2kx或 x2my，代入点 P(2，3)，解得 k92，m43，所以 y292x或 x243y. 3. (选修 21P67A3 改编)抛物线 y28x 上到其焦点 F距离为 5 的点的个数为_. 【答案】 2 【解析】 设 P(x1，y1)，则|PF|x125，得 x13，y1 2 6.故满足条件的点的个数为 2. 【真题体验】 4.(2019 黄冈联考)已知方程 y24x 表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线 xm 的距离为 4，则 m 的值为( ) A.5 B.3 或 5 C.2 或 6 D.6 【答案】 B 【解析】

6、抛物线 y24x 的焦点为 F(1，0)，它与直线 xm 的距离为 d|m1|4，m3 或 5. 5.(2019 北京海淀区检测)设抛物线 y28x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 ( ) A.4 B.6 C.8 D.12 【答案】 B 【解析】 如图所示，抛物线的准线 l 的方程为 x2，F 是抛物线的焦点，过点 P 作 PAy 轴，垂足是A，延长 PA 交直线 l 于点 B，则|AB|2.由于点 P 到 y 轴的距离为 4，则点 P 到准线 l 的距离|PB|426，所以点 P到焦点的距离|PF|PB|6.故

7、选 B. 6.(2019 宁波调研)已知抛物线方程为 y28x，若过点 Q(2，0)的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是_. 【答案】 1，1 【解析】 设直线 l 的方程为 yk(x2)，代入抛物线方程，消去 y 整理得 k2x2(4k28)x4k20，当 k0 时，显然满足题意；当 k0 时，(4k28)24k2 4k264(1k2)0，解得1k0 或 0k1，因此 k 的取值范围是1，1. 【考点聚焦】 考点一 抛物线的定义及应用 【例 1】 (1)(2019 厦门外国语模拟)已知抛物线 x22y 的焦点为 F，其上有两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|

8、AF|BF|2，则 y1x21y2x22( ) A.4 B.6 C.8 D.10 (2)若抛物线 y24x的准线为 l，P是抛物线上任意一点，则 P到准线 l 的距离与 P 到直线 3x4y70 的距离之和的最小值是( ) A.2 B.135 C.145 D.3 【答案】 (1)B (2)A 【解析】 (1)由抛物线定义知|AF|y112，|BF|y212，|AF|BF|y1y22，又知 x212y1，x222y2，x21x222(y1y2)4，y1x21y2x22(y1y2)(x21x22)246. (2)由抛物线定义可知点 P到准线 l 的距离等于点 P到焦点 F的距离，由抛物线 y24x

9、 及直线方程 3x4y70 可得直线与抛物线相离，点 P到准线 l 的距离与点 P到直线 3x4y70 的距离之和的最小值为点精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 F(1，0)到直线 3x4y70 的距离，即|37|32422. 【规律方法】 应用抛物线定义的两个关键点 (1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化. (2)注意灵活运用抛物线上一点 P(x0，y0)到焦点 F的距离|PF|x0|p2或|PF|y0|p2. 【训练 1】 (1)动圆过点(1，0)，且与直线 x1 相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_. (2)(2017 全国卷)已知 F是抛物线 C：y28x

10、的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y轴于点 N.若 M 为FN 的中点，则|FN|_. 【答案】 (1)y24x (2)6 【解析】 (1)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线 x1 的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y24x. (2)如图，不妨设点 M 位于第一象限内，抛物线 C 的准线交 x 轴于点 A，过点 M 作准线的垂线，垂足为点B，交 y 轴于点 P，PMOF. 由题意知，F(2，0)，|FO|AO|2. 点 M 为 FN 的中点，PMOF， |MP|12|FO|1. 又|BP|AO|2， |MB|MP|BP|3. 由抛

11、物线的定义知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6. 考点二 抛物线的标准方程及其性质 【例 2】 (1)(2018 晋城模拟)抛物线 C：y24x 的焦点为 F，其准线 l 与 x 轴交于点 A，点 M 在抛物线 C上，当|MA|MF| 2时，AMF的面积为( ) A.1 B. 2 C.2 D.2 2 (2)已知圆 C1：x2(y2)24，抛物线 C2：y22px(p0)，C1与 C2相交于 A，B 两点，且|AB|8 55，则抛精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 物线 C2的方程为( ) A.y285x B.y2165x C.y2325x D.y2645x 【答案】 (1)C

12、(2)C 【解析】 (1)过 M 作 MP垂直于准线，垂足为 P， 则|MA|MF| 2|MA|MP|1cos AMP， 则 cos AMP22，又 0 MAP0)， 圆心 C1(0，2)到直线 AB 的距离 d|2|k21224 5522 55，解得 k2， 由y2x，x2（y2）24得x0，y0或x85，y165， 把85，165代入抛物线方程， 得16522p85，解得 p165， 所以抛物线 C2的方程为 y2325x. 【规律方法】 1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p，只需一个条件就可

13、以确定抛物线的标准方程. 2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此. 【训练 2】 (1)如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A，B，交其准线 l 于点 C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为_. 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 (2)(2019 济宁调研)已知点 A(3，0)，过抛物线 y24x 上一点 P 的直线与直线 x1 垂直相交于点 B，若|PB|PA|，则 P的横坐标为( ) A.1 B.32 C.2 D.52 【答案】 (1)y23x

14、(2)C 【解析】 (1)设 A，B 在准线上的射影分别为 A1，B1， 由于|BC|2|BF|2|BB1|，则直线的斜率为 3， 故|AC|2|AA1|6，从而|BF|1，|AB|4， 故p|AA1|CF|AC|12，即 p32，从而抛物线的方程为 y23x. (2)由抛物线定义知：|PB|PF|，又|PB|PA|，所以|PA|PF|，所以 xPxAxF22(PFA 为等腰三角形). 考点三 直线与抛物线的综合问题 【例 3】 (2019 武汉调研)已知抛物线 C：x22py(p0)和定点 M(0，1)，设过点 M 的动直线交抛物线 C 于A，B 两点，抛物线 C 在 A，B 处的切线交点为

15、 N. (1)若 N 在以 AB 为直径的圆上，求 p 的值； (2)若ABN 面积的最小值为 4，求抛物线 C 的方程. 【答案】见解析 【解析】(1)可设 AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将 AB 的方程代入抛物线 C，得 x22pkx2p0，显然方程有两不等实根， 则 x1x22pk，x1x22p. 又 x22py得 yxp， 则 A，B 处的切线斜率乘积为x1x2p22p1， 则有 p2. (2)设切线 AN 为 yx1pxb， 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 又切点 A 在抛物线 yx22p上， y1x212p，bx212px21px212p， 切

16、线 AN 的方程为 yANx1pxx212p， 同理切线 BN 的方程为 yBNx2pxx222p. 又N 在 yAN和 yBN上， yx1pxx212p，yx2pxx222p，解得 Nx1x22，x1x22p. N(pk，1). |AB|1k2|x2x1|1k24p2k28p， 点 N 到直线 AB 的距离 d|kxN1yN|1k2|pk22|1k2， SABN12 |AB| dp（pk22）32 2p， 2 2p4，p2， 故抛物线 C 的方程为 x24y. 【规律方法】 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不

17、过焦点，则必须用一般弦长公式. 2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法. 【提醒】：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解. 【训练 3】 (2017 全国卷)已知 F为抛物线 C：y24x的焦点，过 F作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1与 C 交于 A，B 两点，直线 l2与 C 交于 D，E 两点，则|AB|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10 【答案】 A 【解析】 抛物线 C：y24x 的焦点为 F(1，0)，由题意可知 l1，l2的斜率存在且不为 0.不妨设直线 l1的斜率为 k，

18、则 l2直线的斜率为1k，故 l1：yk(x1)，l2：y1k(x1). 由y24x，yk（x1），消去 y 得 k2x2(2k24)xk20. 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x22k24k224k2， 由抛物线定义可知，|AB|x1x2244k2. 同理得|DE|44k2， |AB|DE|84k24k282 1616. 当且仅当1k2k2，即 k 1 时取等号. 故|AB|DE|的最小值为 16. 【反思与感悟】 1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点 M，一个定点 F(抛物线的焦点)，一条定直线 l(抛物线的准线)，一

19、个定值 1(抛物线的离心率). 2.抛物线的焦点弦：设过抛物线 y22px (p0)的焦点的直线与抛物线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： (1)y1y2p2，x1x2p24； (2)若直线 AB 的倾斜角为 ，则|AB|2psin2；|AB|x1x2p； (3)若 F为抛物线焦点，则有1|AF|1|BF|2p. 【易错防范】 1.认真区分四种形式的标准方程 (1)区分 yax2(a0)与 y22px(p0)，前者不是抛物线的标准方程. (2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为 y2mx 或 x2my(m0). 2.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证

20、判别式. 【核心素养提升】 【数学抽象】活用抛物线焦点弦的四个结论 1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一. 2.设 AB 是过抛物线 y22px(p0)焦点 F的弦， 若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1 x2p24. (2)y1 y2p2. 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 (3)|AB|x1x2p2psin2( 是直线 AB 的倾斜角). (4)1|AF|1|BF|2p为定值(F是抛物线的焦点). 【例 1】 过抛物线 y24x 的焦

21、点 F的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，若|AF|2|BF|，则|AB|等于( ) A.4 B.92 C.5 D.6 【一般解法】 【答案】 B 【解析】易知直线 l 的斜率存在，设为 k，则其方程为 yk(x1). 由yk（x1），y24x得 k2x2(2k24)xk20， 得 xA xB1， 因为|AF|2|BF|，由抛物线的定义得 xA12(xB1)， 即 xA2xB1， 由解得 xA2，xB12， 所以|AB|AF|BF|xAxBp92. 【应用结论】 法一 由对称性不妨设点 A 在 x 轴的上方，如图设 A，B 在准线上的射影分别为 D，C，作 BEAD 于 E， 设|BF|m

22、，直线 l 的倾斜角为 ， 则|AB|3m， 由抛物线的定义知 |AD|AF|2m，|BC|BF|m， 所以 cos |AE|AB|13，所以 tan 2 2.则 sin28cos2，sin289.又 y24x，知 2p4，故利用弦长公式精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 |AB|2psin292. 法二 因为|AF|2|BF|，1|AF|1|BF|12|BF|1|BF|32|BF|2p1， 解得|BF|32，|AF|3， 故|AB|AF|BF|92. 【例 2】 设 F为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F且倾斜角为 30 的直线交 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，则OAB

23、的面积为( ) A.3 34 B.9 38 C.6332 D.94 【一般解法】 【答案】 D 【解析】由已知得焦点坐标为 F34，0 ，因此直线 AB 的方程为 y33x34，即 4x4 3y30. 与抛物线方程联立，化简得 4y212 3y90， 故|yAyB|（yAyB）24yAyB6. 因此 SOAB12|OF|yAyB|1234694. 应用结论由 2p3，及|AB|2psin2 得|AB|2psin23sin23012. 原点到直线 AB 的距离 d|OF| sin 30 38， 故 SAOB12|AB| d12123894. 【例 3】 (2019 益阳、湘潭调研)如图，过抛物线

24、 y22px(p0)的焦点 F的直线交抛物线于点 A，B，交其准线 l 于点 C，若 F是 AC 的中点，且|AF|4，则线段 AB 的长为( ) A.5 B.6 C.163 D.203 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 【一般解法】 【答案】 C 【解析】如图，设 l 与 x轴交于点 M，过点 A 作 ADl交 l 于点 D，由抛物线的定义知，|AD|AF|4，由F是 AC 的中点，知|AD|2|MF|2p，所以 2p4，解得 p2，所以抛物线的方程为 y24x. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|x1p2x114，所以 x13，可得 y12 3，所以 A(3，2

25、 3)，又 F(1，0)，所以直线 AF的斜率 k2 331 3，所以直线 AF的方程为 y 3(x1)，代入抛物线方程 y24x得 3x210 x30，所以 x1x2103，|AB|x1x2p163.故选 C. 【应用结论】法一 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|x1p2x114，所以 x13，又 x1x2p241，所以x213，所以|AB|x1x2p3132163. 法二 因为1|AF|1|BF|2p，|AF|4，所以|BF|43，所以|AB|AF|BF|443163. 【分层训练】 【基础巩固题组】(建议用时：40 分钟) 一、选择题 1.抛物线 y4x2的焦点到准线的距

26、离为( ) A.2 B.1 C.14 D.18 【答案】 D 【解析】 由 y4x2得 x214y，所以 2p14，p18，则抛物线的焦点到准线的距离为18. 2.(2019 抚顺模拟)已知点 F 是抛物线 y22x 的焦点，M，N 是该抛物线上的两点，若|MF|NF|4，则线段 MN 的中点的横坐标为( ) A.32 B.2 C.52 D.3 【答案】 A 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 【解析】 点 F是抛物线 y22x 的焦点，F12，0 ，准线方程为 x12， 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，|MF|NF|x112x2124， x1x23，线段 MN 中点的横坐标

27、为32. 3.设抛物线 C：y23x 的焦点为 F，点 A 为 C 上一点，若|FA|3，则直线 FA 的倾斜角为( ) A.3 B.4 C.3或23 D.4或34 【答案】 C 【解析】 如图，作 AHl 于 H，则|AH|FA|3，作 FEAH 于 E，则|AE|33232，在 RtAEF中，cosEAF|AE|AF|12，又 0EAF，EAF3，即直线 FA 的倾斜角为3，同理点 A 在 x 轴下方时，直线 FA 的倾斜角为23. 4.(2019 德州调研)已知抛物线 C 的顶点是原点 O，焦点 F 在 x 轴的正半轴上，经过点 F 的直线与抛物线 C交于 A，B 两点，若OA OB12

28、，则抛物线 C 的方程为( ) A.x28y B.x24y C.y28x D.y24x 【答案】 C 【解析】 由题意，设抛物线方程为 y22px(p0)，直线方程为 xmyp2，联立y22px，xmyp2， 消去 x得 y22pmyp20，显然方程有两个不等实根. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y22pm，y1y2p2， 得OA OBx1x2y1y2my1p2my2p2y1y2m2y1y2pm2(y1y2)p24y1y234p212，得 p4(舍负)，即抛物线 C 的方程为 y28x. 5.(2019 河南中原联考)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，准线为 l

29、，且 l 过点(2，3)，M 在抛物线精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 C 上，若点 N(1，2)，则|MN|MF|的最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】 B 【解析】 由题意知p22，即 p4.过点 N 作准线 l 的垂线，垂足为 N，交抛物线于点 M，则|MN|MF|， 则有|MN|MF|MN|MT|MN|MN|NN|1(2)3. 二、填空题 6.如图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米.水位下降 1 米后，水面宽_米. 【答案】 2 6 【解析】 建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为 x22py(p0). 由题意将点 A(

30、2，2)代入 x22py，得 p1，故 x22y. 设 B(x，3)，代入 x22y中，得 x 6，故水面宽为 2 6米. 7.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y26x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PAl，A 为垂足.若直线 AF的斜率 k 3，则线段 PF的长为_. 【答案】 6 【解析】 由抛物线方程为 y26x，所以焦点坐标 F32，0 ，准线方程为 x32，因为直线 AF 的斜率为 3，所以直线 AF的方程为 y 3x32， 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 当 x32时，y3 3，所以 A32，3 3 ， 因为 PAl，A 为垂足，所以点 P的纵坐

31、标为 3 3， 可得点 P的坐标为92，3 3 ， 根据抛物线的定义可知|PF|PA|92326. 8.已知双曲线 C1：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2.若抛物线 C2：x22py(p0)的焦点到双曲线 C1的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2的方程为_. 【答案】 x216y 【解析】 因为双曲线 C1：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，所以 2ca1b2a2，所以ba 3，所以渐近线方程为 3x y0，因为抛物线 C2：x22py(p0)的焦点为 F0，p2，所以 F 到双曲线 C1的渐近线的距离为p2312，所以 p8，所以抛物线 C2的方程为 x216y.

32、 三、解答题 9.(2019 天津耀华中学模拟)已知过抛物线 y22px(p0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，即 m1 时，x1，22 2m1. 从而|AB| 2|x1x2|42（m1）. 由题设知|AB|2|MN|，即 42（m1）2(m1)， 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 解得 m7. 所以直线 AB 的方程为 xy70. 【能力提升题组】(建议用时：20 分钟) 11.抛物线 y28x 的焦点为 F，设 A，B 是抛物线上的两个动点，|AF|BF|2 33|AB|，则AFB 的最大值为( ) A.3 B.34 C.56

33、 D.23 【答案】 D 【解析】 设|AF|m，|BF|n， |AF|BF|2 33|AB|， 2 33|AB|2 mn，mn13|AB|2， 在AFB 中，由余弦定理得 cos AFBm2n2|AB|22mn（mn）22mn|AB|22mn13|AB|22mn2mn12， AFB 的最大值为23. 12.(2019 武汉模拟)过点 P(2，1)作抛物线 x24y 的两条切线，切点分别为 A，B，PA，PB 分别交 x 轴于E，F两点，O 为坐标原点，则PEF与OAB 的面积之比为( ) A.32 B.33 C.12 D.34 【答案】 C 【解析】 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点 A，B 处的切线方程为 x1x2(yy1)，x2x2(yy2)，所以 E2y1x1，0 ，F2y2x2，0 ，即 Ex12，0 ，Fx22，0 ，因为这两条切线都过点 P