实际问题与二次函数精品（课堂PPT）

1、 26.326.3实际问题与二次函数实际问题与二次函数2 1. 1.掌握商品经济等问题中的相等关系的寻找掌握商品经济等问题中的相等关系的寻找方法，并会应用函数关系式求利润的最值；方法，并会应用函数关系式求利润的最值； 2. 2.会应用二次函数的性质解决实际问题会应用二次函数的性质解决实际问题. .2bac bx=-ya4a4-当时， 有最大（小）值2 1.如何求二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a0）的最值？有哪几种方法？写出求二次函数最值的公式.（1 1）配方法求最值）配方法求最值 （2 2）公式法求最值）公式法求最值基础操练基础操练 2.当x= 时，二次函数y=y=x

2、 x2 22x2x2 2有最大值. 1 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。的实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。 如果你去买商品，你会选买哪一家的？如果你是商场如果你去买商品，你会选买哪一家的？如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？26.3 26.3 实际问题与二次函数实际问题与二次函数第一课时第一课时 如何获得最大利润问题如何获得最大利润问题6基础训练基础训练 某种品牌的电脑进价为3000元，售价3580元. 十月份售出20台，则每台电

3、脑的利润为 ，十月份的利润为 .十一月份每台售价降低100元，结果比十月份多售出10台，则销售每台电脑的利润为 ，十一月份的利润为 .580元元11600元元480元元14400元元每件产品的利润每件产品的利润=售价售价-进价进价销售总利润销售总利润=每件产品的利润每件产品的利润销售数量销售数量销售问题常用数量关系：销售问题常用数量关系：一、自主探究一、自主探究 问题问题1.1. 某商品现在的售价是每件某商品现在的售价是每件6060元，每元，每星期可卖出星期可卖出300300件。市场调查反映：如果调整件。市场调查反映：如果调整价格价格 ，每涨价，每涨价1 1元，每星期要少卖出元，每星期要少卖出

4、1010件；已件；已知商品的进价为每件知商品的进价为每件4040元，要想获得元，要想获得60006000元的元的利润，该商品应定价为多少元？利润，该商品应定价为多少元？问题问题1 1 某商品现在的售价是每件某商品现在的售价是每件6060元，每星期可元，每星期可卖出卖出300300件。市场调查反映：如果调整价格件。市场调查反映：如果调整价格 ，每，每涨价涨价1 1元，每星期要少卖出元，每星期要少卖出1010件，已知商品的进价件，已知商品的进价为每件为每件4040元，要想获得元，要想获得60006000元的利润，该商品应元的利润，该商品应定价为多少元？定价为多少元？ 若设销售单价x元，那么每件商品

5、的利润可表示为 元，每周的销售量可表示 为 件，一周的利润可表示 为 元，要想获得6000元利润可列方程 . x-40300-10(x-60)(x-40)300-10(x-60) (x-40)300-10(x-60)=6000问题问题2. 某商品现在的售价是每件某商品现在的售价是每件6060元，元，每星期可卖出每星期可卖出300300件。市场调查反映：如件。市场调查反映：如果调整价格果调整价格 ，每涨价，每涨价1 1元，每星期要少卖元，每星期要少卖出出1010件，已知商品的进价为每件件，已知商品的进价为每件4040元元. .该该商品定价为多少元时，商场能获得商品定价为多少元时，商场能获得最大利

6、最大利润润？ 例例1：某商品现在的售价为每件：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出元，每星期可卖出300件件.市场市场调查反映：每涨价调查反映：每涨价1元，每星期要元，每星期要少卖出少卖出10件；每降价件；每降价1元，每星期元，每星期可多卖出可多卖出20件件.已知商品的进价为已知商品的进价为每件每件40元，如何定价才能使利润元，如何定价才能使利润最大？最大？请大家带着以下几个问题读题请大家带着以下几个问题读题:（1）题目中有几种调整价格的方法？）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？自变量？哪些量随

7、之发生了变化？ 某商品现在的售价为每件某商品现在的售价为每件60元，每星期元，每星期可卖出可卖出300件，市场调查反映：每涨价件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出元，每星期少卖出10件；每降价件；每降价1元，每元，每星期可多卖出星期可多卖出20件，已知商品的进价为件，已知商品的进价为每件每件40元，如何定价才能使利润最大？元，如何定价才能使利润最大？分析分析: : 调整价格包括涨价和降价两种情况调整价格包括涨价和降价两种情况先来看涨价的情况：设每件涨价先来看涨价的情况：设每件涨价x元，则每星期售出商元，则每星期售出商品的利润品的利润y也随之变化，我们先来确定也随之变化，我们先来确定y与与

8、x的函数关系式。的函数关系式。涨价涨价x元元,则每星期少卖则每星期少卖 件，实际卖出件，实际卖出 件件,销销售额为售额为 元，买进商品需付元，买进商品需付 元元,因此所得利润为因此所得利润为元元10 x(300-10 x)(60+x)(300-10 x)40(300-10 x)y=(60+x)(300-10 x)-40(300-10 x)即即6000100102xxy(0X30)怎样确定怎样确定x的的取值范围？取值范围？解：设每件涨价为解：设每件涨价为x元时获得的总利润为元时获得的总利润为y元元.y =(60-40+x)(300-10 x) =(20+x)(300-10 x) =-10 x2+

9、100 x+6000 =-10(x2-10 x-600) =-10(x-5)2-25-600 =-10(x-5)2+6250当当x=5时，时，y的最大值是的最大值是6250.定价定价:60+5=65（元）（元）(0 x30)怎样确定怎样确定x的的取值范围？取值范围？还可以用顶点坐标公式解还可以用顶点坐标公式解: :6000100102xxy(0X30)625044522abacyabx最大值时，元x元y625060005300(5,6250)(5,6250)结合图结合图像理解像理解在降价的情况下，最大利润是多少？在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考请你参考（1）的过程得出答案。的过程得出答

10、案。解：设降价解：设降价x元时利润为元时利润为y元，则每星期可多卖元，则每星期可多卖20 x件，实际卖件，实际卖出（出（300+20 x)件，销售额为件，销售额为(60-x)(300+20 x)元，买进商品需付元，买进商品需付40(300+20 x)元，因此，得利润元，因此，得利润612560002510025022522最大时，当yabx做一做做一做由由(1)(2)的讨论及现在的销售的讨论及现在的销售情况情况,你知道应该如何定价能你知道应该如何定价能使利润最大了吗使利润最大了吗?600010020203004020300602xxxxxy(0 x20)所以定价为所以定价为60-2.5=57.

11、5时利润最大时利润最大,最大值为最大值为6125元元.答答:综合以上两种情况，定价为综合以上两种情况，定价为65元时可元时可 获得最获得最大利润为大利润为6250元元.（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。过配方求出二次函数的最大值或最小值。16四、自主拓展 在上题中在上题中, ,若商场规定试销期间获利不得低若商场规定试销期间获利不得低于于40%40%又不得高于又不得高于60

12、%60%，则销售单价定为多少时，则销售单价定为多少时，商场可获得最大利润？最大利润是多少？商场可获得最大利润？最大利润是多少？ 某商品现在的售价为每件某商品现在的售价为每件60元，每星期可元，每星期可卖出卖出300件，市场调查反映：每涨价件，市场调查反映：每涨价1元，每元，每星期少卖出星期少卖出10件；每降价件；每降价1元，每星期可多卖元，每星期可多卖出出20件，已知商品的进价为每件件，已知商品的进价为每件40元，如何元，如何定价才能使利润最大？定价才能使利润最大？17解：设商品售价为解：设商品售价为x x元，则元，则x x的取值范围为的取值范围为 40(140%)x40(160%) 即即56

13、x64 若涨价促销若涨价促销,则利润则利润 y=(x-40)300-10(x-60) =(x-40)(900-10 x) =-10 x2+1300 x-36000 =-10(x-65)2-4225-36000 =-10(x-65)2+6250 60 x64 由函数图像或增减性知当x=64时y最大,最大值为6240元 若降价促销若降价促销,则利润则利润 y=(x-40)300+20(60-x) =(x-40)(1500-20 x) =-20 x +2300 x-60000 =-20(x2-115x+3000) =-20(x-57.5)2+6125 56x60 当x=57.5时y最大,最大 值为6

14、125元. 综上：综上：x=64时利润最大时利润最大,最大值为最大值为6240元元.18三、自主展示: 某超市经销一种成本为每件某超市经销一种成本为每件4040元的商品据市元的商品据市场调查，如果按每件场调查，如果按每件5050元销售，一周能售出元销售，一周能售出500500件；件；若销售单价每涨若销售单价每涨1 1元，每周销量就减少元，每周销量就减少1010件设销件设销售单价为售单价为x x元元(x50)(x50)，一周的销售量为，一周的销售量为y y件件. .(1)(1)写出写出y y与与x x的函数关系式的函数关系式( (标明标明x x的取值范围的取值范围) )(2)(2)设一周的销售利

15、润为设一周的销售利润为S S，写出，写出S S与与x x的函数关系的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？着单价的增大而增大？(3)(3)在超市对该种商品投入不超过在超市对该种商品投入不超过1000010000元的情况元的情况下，使得一周销售利润达到下，使得一周销售利润达到80008000元，销售单价应元，销售单价应定为多少？定为多少？ （2 2）S=(xS=(x40)(1000-10 x) 40)(1000-10 x) = =10 x10 x2 21400 x-400001400 x-40000 = =10(x10(x

16、70)70)2 2+9000+9000当当50 x7050 x70时，利润随着单价的增大而增大时，利润随着单价的增大而增大. . 解：（解：（1 1）y=500y=50010(x10(x50)50) =1000-10 x(50 x100) =1000-10 x(50 x100)(3)(3)在超市对该种商品投入不超过在超市对该种商品投入不超过1000010000元的情况元的情况下，使得一周销售利润达到下，使得一周销售利润达到80008000元，销售单价应元，销售单价应定为多少？定为多少？解：（解：（3 3）10 x10 x2 21400 x-40000=80001400 x-40000=8000

17、 解得：解得：x x1 1=60,x=60,x2 2=80=80当当x=60 x=60时，成本时，成本=40=405005001010（60605050） =16000 =160001000010000不符要求不符要求, ,舍去舍去. .当当x=80 x=80时，成本时，成本=40=405005001010（80805050） =8000 =80001000010000符合要求符合要求所以销售单价应定为所以销售单价应定为8080元，才能使一周销售利润元，才能使一周销售利润达到达到80008000元的同时，投入不超过元的同时，投入不超过10000 10000 元元1.谈谈这节课你的收获谈谈这节课

18、你的收获.2.总结解这类最大利润问题的一般步骤总结解这类最大利润问题的一般步骤: （1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；实际意义，确定自变量的取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值过配方求出二次函数的最大值或最小值. 利达销售店为某工厂代销一种建筑材料（这里利达销售店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）。当每吨

19、售价为未售出的由厂家负责处理）。当每吨售价为260260元时，月销元时，月销售量售量4545吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降1010元时，月元时，月销售量就会增加销售量就会增加7.57.5吨，综合考虑各种因素，每售出一吨建吨，综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其他费用筑材料共需支付厂家及其他费用100100元，设每吨材料售价为元，设每吨材料售价为x x元，该经销店的月利润为元，该经销店的月利润为y y元。元。（1 1）当每吨售价是）当每

20、吨售价是240240元时，计算此时的月销售量；元时，计算此时的月销售量；（2 2）求出）求出y y与与x x的函数关系式（不要求写出的函数关系式（不要求写出x x的取值范围）；的取值范围）；（3 3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元；）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元；（4 4）小明）小明说：说：“当月利润最大时，月销售额也最大当月利润最大时，月销售额也最大”，你认为，你认为对吗？请说明理由。对吗？请说明理由。练习巩固练习巩固 1 1（20102010包头中考）将一条长为包头中考）将一条长为20cm20cm的铁丝剪成两的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成

21、一个正方形，则段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是这两个正方形面积之和的最小值是 cmcm2 25 .12225或2.2.某商店购进一种单价为某商店购进一种单价为4040元的篮球，如果以单价元的篮球，如果以单价5050元售元售出，那么每月可售出出，那么每月可售出500500个，据销售经验，售价每提高个，据销售经验，售价每提高1 1元，元，销售量相应减少销售量相应减少1010个个. . (1)(1)假设销售单价提高假设销售单价提高x x元，那么销售每个篮球所获得的利元，那么销售每个篮球所获得的利润是润是_元，这种篮球每月的销售量是元，这种篮球每月的销售

22、量是 个个( (用用x x的代数式表示的代数式表示) ) (2)8000(2)8000元是否为每月销售篮球的最大利润元是否为每月销售篮球的最大利润? ?如果是，说明理由，如果不是，请求出最大月利润如果是，说明理由，如果不是，请求出最大月利润, ,此时篮球的售价应定为多少元此时篮球的售价应定为多少元? ?x x+10+10500500 10 x10 x 8000 8000元不是每月最大利润，最大月利润为元不是每月最大利润，最大月利润为90009000元，元，此时篮球的售价为此时篮球的售价为7070元元. . 3. 3.某商店经营一种小商品，进价为某商店经营一种小商品，进价为2.52.5元，据市场

23、调查，元，据市场调查，销售单价是销售单价是13.513.5元时平均每天销售量是元时平均每天销售量是500500件，而销售单件，而销售单价每降低价每降低1 1元，平均每天就可以多售出元，平均每天就可以多售出100100件件. .（1 1）假设每件商品降低）假设每件商品降低x x元，商店每天销售这种小商品的元，商店每天销售这种小商品的利润是利润是y y元，请你写出元，请你写出y y与与x x之间的函数关系式，并注明之间的函数关系式，并注明x x的的取值范围；取值范围；（2 2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少

24、？（注：销售利润小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润= =销售收入购进成本）销售收入购进成本）解：解：（1 1）降低）降低x x元后，所销售的件数是（元后，所销售的件数是（500+100 x500+100 x）, ,y=y=100 x100 x2 2+600 x+5500 +600 x+5500 （0 0 x11 x11 ）（2 2）y=y=100 x100 x2 2+600 x+5500 +600 x+5500 （0 0 x11 x11 ）配方得配方得y=y=100100（x x3 3）2 2+6400 +6400 当当x=3x=3时，时，y y的最大值是的最大值是6400640

25、0元元. .即降价为即降价为3 3元时，利润最大元时，利润最大. .所以销售单价为所以销售单价为10.510.5元时，最大利润为元时，最大利润为64006400元元. .答：答：销售单价为销售单价为10.510.5元时，最大利润为元时，最大利润为64006400元元. . 4. 4. 我市一家电子计算器专卖店每只进价我市一家电子计算器专卖店每只进价1313元，售价元，售价2020元，元，多买优惠多买优惠 ；凡是一次买；凡是一次买1010只以上的，每多买只以上的，每多买1 1只，所买的全只，所买的全部计算器每只就降低部计算器每只就降低0.100.10元，例如，某人买元，例如，某人买2020只计算

26、器，于只计算器，于是每只降价是每只降价0.100.10(20-10)=1(20-10)=1(元元),),因此，所买的全部因此，所买的全部2020只计只计算器都按照每只算器都按照每只1919元计算，但是最低价为每只元计算，但是最低价为每只1616元元. . (1). (1).求一次至少买多少只，才能以最低价购买？求一次至少买多少只，才能以最低价购买？ (2). (2).写出该专卖店当一次销售写出该专卖店当一次销售x x( (只只) )时，所获利润时，所获利润y y( (元元) )与与x x之间的函数关系式，并写出自变量之间的函数关系式，并写出自变量x x的取值范围；的取值范围；（3 3）若店主一

27、次卖的只数在）若店主一次卖的只数在1010至至5050只之间，问一次卖多少只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？只获得的利润最大？其最大利润为多少？ 【解析解析】(1)(1)设一次购买设一次购买x x只，才能以最低价购买，则有只，才能以最低价购买，则有: :0.1(x-10)=20-16,0.1(x-10)=20-16,解这个方程得解这个方程得x=50. x=50. 答：一次至少买答：一次至少买5050只，才能以最低价购买只，才能以最低价购买 (2) (2) （说明：因三段图象首尾相连，所以端点（说明：因三段图象首尾相连，所以端点1010、5050包括在哪个区间均可）包括在哪

28、个区间均可）(3)(3)将将 配方得配方得 ，所以店主一次卖，所以店主一次卖4040只时可获得最高利润，最高利润为只时可获得最高利润，最高利润为160160元元. .（也可用公式（也可用公式法求得）法求得） 21yx8x10 21y(x40)16010 10220137 (0501(2013)0.1(10)8 (1050)101613 =3 (50)xxxxyxxxxxxx x ） 105.5.（20102010安徽中考）春节期间某水库养殖场为适应市场需安徽中考）春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用求，连续用2020天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售九（的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售九（1 1）班数）班数学建模兴趣小