线线垂直、线面垂直、面面垂直的习题及答案

1、线线垂直、线面垂直、面面垂直部分习及答案1在四面体ABCD中，ABC与DBC都是边长为4的正三角形(第1题)(1)求证：BCAD； 2如图，在三棱锥SABC中，SA平面ABC，平面SAB平面SBC（1）求证：ABBC； 3.如图，四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，PA底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB（1）求证：平面PCE平面PCD；（2）求点A到平面PCE的距离4. 如图2-4-2所示，三棱锥SABC中，SB=AB，SC=AC，作ADBC于D，SHAD于H， 求证：SH平面ABC.5. 如图所示，已知RtABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点.(1)

2、求证：SD平面ABC；(2)若AB=BC，求证：BD平面SAC.6. 证明：在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1C平面BC1D 7. 如图所示，直三棱柱中，ACB=90°，AC=1，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M.求证：CD平面BDM. 8.在三棱锥BCD中，BCAC，ADBD，作BECD，为垂足，作AHBE于求证：AH平面BCD9. 如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且ASB=ASC=60°，BSC=90°，求证：平面ABC平面BSC10.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E为D1C1的中点，连

3、结ED，EC，EB和DB(1)求证：平面EDB平面EBC；(2)求二面角EDBC的正切值.11：已知直线PA垂直于圆O所在的平面，A为垂足，AB为圆O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。求证：平面PAC平面PBC。 12. 如图1-10-3所示，过点S引三条不共面的直线，使BSC=90°，ASB=ASC=60°，若截取SA=SB=SC.求证：平面ABC平面BSC13. 如图1-10-5所示，在四面体ABCD中，BD= a, AB=AD=BC=CD=AC=a.求证：平面ABD平面BCD. 14.如图所示，ABC为正三角形，CE平面ABC，BDCE，且CE=AC=2BD，M是A

4、E的中点，求证：(1)DE=DA；(2)平面BDM平面ECA；(3)平面DEA平面ECA15.如图所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点(1)求证：MN平面PAD；(2)求证：MNCD；(3)若PDA=45°，求证：MN平面PCD 16. 如图1，在正方体中，为 的中点，AC交BD于点O，求证：平面MBD答案与提示：1. 证明：(1)取BC中点O，连结AO，DOABC，BCD都是边长为4的正三角形， AOBC，DOBC，且AODOO，BC平面AOD又AD平面AOD，BCAD 2. 【证明】作AHSB于H，平面SAB平面SBC平面SAB平面SBC=SB，AH平

5、面SBC，又SA平面ABC，SABC，而SA在平面SBC上的射影为SB，BCSB，又SASB=S，BC平面SABBCAB3. 【证明】PA平面ABCD，AD是PD在底面上的射影，又四边形ABCD为矩形，CDAD，CDPD，ADPD=DCD面PAD，PDA为二面角PCDB的平面角，PA=PB=AD，PAADPDA=45°，取RtPAD斜边PD的中点F，则AFPD，AF 面PAD CDAF，又PDCD=DAF平面PCD，取PC的中点G，连GF、AG、EG，则GF CD又AE CD，GF AE四边形AGEF为平行四边形AFEG，EG平面PDC又EG 平面PEC，平面PEC平面PCD（2）【

6、解】由（1）知AF平面PEC，平面PCD平面PEC，过F作FHPC于H，则FH平面PECFH为F到平面PEC的距离，即为A到平面PEC的距离在PFH与 PCD中，P为公共角，而FHP=CDP=90°，PFHPCD，设AD=2，PF=，PC=，FH=A到平面PEC的距离为4. 【证明】取SA的中点E， 连接EC，EB.SB=AB,SC=AC,SABE,SACE.又CEBE=E,SA平面BCE.BC平面BCE5. 证明：(1)因为SA=SC，D为AC的中点， 所以SDAC. 连接BD. 在RtABC中，有AD=DC=DB， 所以SDBSDA， 所以SDB=SDA， 所以SDBD. 又AC

7、BD=D， 所以SD平面ABC.(2)因为AB=BC，D是AC的中点， 所以BDAC. 又由(1)知SDBD， 所以BD垂直于平面SAC内的两条相交直线， 所以BD平面SAC.6.证明：连结AC AC为A1C在平面AC上的射影 7. 证明：如右图，连接、，则. ，为等腰三角形.又知D为其底边的中点， . ， .又， . 为直角三角形，D为的中点， ，.又， .即CDDM. 、为平面BDM内两条相交直线， CD平面BDM. 8.证明：取AB的中点，连结CF，DF ， ， 又，平面CDF 平面CDF， 又， 平面ABE， ， 平面BCD9.证明：如图，已知PA=PB=PC=a，由APB=APC=6

8、0°，PAC，PAB为正三角形，则有：PA=PB=PC=AB=AC=a，取BC中点为E直角BPC中， ，由AB=AC，AEBC，直角ABE中，在PEA中， ，平面ABC平面BPC.10. 证明：(1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E为D1C1的中点DD1E为等腰直角三角形，D1ED45°同理C1EC45°，即DEEC在长方体ABCD中，BC平面，又DE平面，BCDE又，DE平面EBC平面DEB过DE，平面DEB平面EBC (2)解：如图，过E在平面中作EODC于O在长方体ABCD中，面ABCD面，EO面ABCD过O在平面DBC中作OFD

9、B于F，连结EF，EFBDEFO为二面角EDBC的平面角利用平面几何知识可得OF， (第10题)又OE1，所以，tanEFO 11.（1）【证明】C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径BCAC；又PA平面ABC，BC平面ABC，BCPA，从而BC平面PACBC 平面PBC，平面PAC平面PBC . 12. 证明：如图1-10-4所示,取BC的中点D，连接AD，SD.由题意知ASB与ASC是等边三角形，则AB=AC，ADBC,SDBC.令SA=a,在SBC中，SD= a,又AD= = a,AD2+SD2=SA2,即ADSD.又ADBC，AD平面SBC.AD平面ABC，平面ABC平面S

10、BC.13. 证明：取BD的中点E，连接AE，CE.则AEBD,BDCE.在ABD中，AB=a,BE= BD= ,AE= ,同理,CE= .在AEC中，AE=EC= ,AC=a, AC2=AE2+EC2，即AEEC.BDEC=E,AE平面BCD.又AE平面ABD，平面ABD平面BCD14. 证明： (1)取EC的中点F，连接DF CE平面ABC， CEBC易知DFBC，CEDF BDCE， BD平面ABC在RtEFD和RtDBA中， ， RtEFDRtDBA故DE=AD (2)取AC的中点N，连接MN、BN，MNCF BDCF， MNBDN平面BDM EC平面ABC， ECBN又 ACBN， BN平面ECA又 BN平面MNBD， 平面BDM平面ECA (3) DMBN，BN平面ECA， DM平面ECA又 DM平面DEA， 平面DEA平面ECA15. 证明：(1)取PD的中点E，连接AE、EN，则，故AMNE为平行四边形， MNAE AE平面PAD，MN平面PAD， MN平面PAD (2)要证MNCD，可证MNAB由(1)知，需证AEAB PA平面ABCD， PAAB又ADAB， AB平面PAD ABAE