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1、曲线积分与曲面积分的计算080122011014工程管理孟令清一、第一类曲线积分的计算: 设有光滑曲线, . 是定义在上的连续函数 . 则 . ( 证 ) 1P357若曲线方程为: , 则 .的方程为时有类似的公式.例题：计算积分, 其中是球面被平面截得的圆周 . 1P359 E3解 由对称性知 , , =. ( 注意是大圆 )二、第二类曲线积分的计算:曲线的自然方向: 设曲线L由参数式给出. 称参数增大时曲线相应的方向为自然方向.设L为光滑或按段光滑曲线 , L : .A, B; 函数和在L上连续, 则沿L的自然方向( 即从点A到点B的方向)有. （一）Green公式:若函数P和Q在闭区域D

2、R上连续, 且有连续的一阶偏导数, 则有 ,其中L为区域D的正向边界. 应用举例:对环路积分, 可直接应用Green公式. 对非闭路积分, 常采用附加上一条线使变成环路积分的技巧.例题：计算积分 , 其中AB. 曲线AB为圆周在第一象限中的部分. 解法一 ( 直接计算积分 ) 曲线AB的方程为 .方向为自然方向的反向. 因此 .解法二 ( 用Green公式 ) 补上线段BO和OA ( O为坐标原点 ), 成闭路. 设所围区域为D, 注意到D为反向, 以及, 有 .（二）曲线积分与路线无关性:积分与路径无关的等价条件:设DR是单连通闭区域. 若函数和在闭区域D内连续, 且有连续的一阶偏导数 ,

3、则以下四个条件等价 : 沿D内任一按段光滑的闭合曲线L, 有 . 对D内任一按段光滑的曲线L, 曲线积分与路径无关, 只与曲线L的起点和终点有关. 是D内某一函数的全微分, 即在D内有. 在D内每一点处有 .三、第一类曲面积分的计算:设有光滑曲面 .为上的连续函数,则. 四、第二型曲面积分的计算:设是定义在光滑曲面 D上的连续函数, 以的上侧为正侧( 即 ), 则有 .（一）第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系: 设为曲面的指定法向, 则 . （二）Gauss公式:设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面围成 . 若函数在V上连续, 且有连续的一阶偏导数 , 则 ,其中取外侧.例：计算积分， 为球面取外侧. ( 参阅上节例2 )解 . 由Gauss公式 .（三）Stokes公式:空间双侧曲面的正侧与其边界闭合曲线L正向的匹配关系: 右手螺旋法则, 即当人站在曲面的正侧上, 沿边界曲线L行走时, 若曲面在左侧, 则把人的前进方向定为L的正向.Stokes定理:设光滑曲面的边界L是按段光滑的连续曲线 . 若函数、和在( 连

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