选修推理与证明

1、数数学学M M 单元单元推理与证明推理与证明M1合情推理与演绎推理16 ，2014福建卷 已知集合a，b，c0，1，2，且下列三个关系：a2；b2；c0 有且只有一个正确，则 100a10bc 等于_16201解析 (i)若正确，则不正确，由不正确得 c0，由正确得 a1，所以 b2，与不正确矛盾，故不正确(ii)若正确，则不正确，由不正确得 a2，与正确矛盾，故不正确(iii)若正确， 则不正确， 由不正确得 a2， 由不正确及正确得 b0， c1，故正确则 100a10bc10021001201.142014全国新课标卷 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时，甲说：我去

2、过的城市比乙多，但没去过 B 城市乙说：我没去过 C 城市丙说：我们三人去过同一城市由此可判断乙去过的城市为_14A解析 由甲没去过 B 城市，乙没去过 C 城市，而三人去过同一城市，可知三人去过城市 A，又由甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只去过 A 城市142014陕西卷 已知 f(x)x1x，x0，若 f1(x)f(x)，fn1(x)f(fn(x)，nN，则f2014(x)的表达式为_14.x12014x解析 由题意，得 f1(x)f(x)x1x，f2(x)x1x1x1xx12x，f3(x)x13x，由此归纳推理可得 f2014(x)x12014x.M2直接证明与间接证明21

3、 、2014湖南卷 已知函数 f(x)xcos xsin x1(x0)(1)求 f(x)的单调区间；(2)记 xi为 f(x)的从小到大的第 i(iN*)个零点， 证明： 对一切 nN*， 有1x211x221x2n23.21解： (1)f(x)cos xxsin xcos xxsin x.令 f(x)0，得 xk(kN*)当 x(2k，(2k1)(kN)时，sin x0，此时 f(x)0;当 x(2k1)，(2k2)(kN)时，sin x0.故 f(x)的单调递减区间为(2k，(2k1)(kN)，单调递增区间为(2k1)，(2k2)(kN)(2)由(1)知，f(x)在区间(0，)上单调递减又

4、 f2 0，故 x12.当 nN*时，因为f(n)f（n1）(1)nn1(1)n1(n1)10，且函数 f(x)的图像是连续不断的， 所以 f(x)在区间(n， (n1)内至少存在一个零点 又f(x)在区间(n，(n1)上是单调的，故nxn1(n1).因此，当 n1 时，1x214223；当 n2 时，1x211x2212(41)23；当 n3 时，1x211x221x2n0)，设 fn(x)为 fn1(x)的导数，nN*.(1)求 2f12 2f22 的值；(2)证明：对任意的 nN*，等式|nfn14 4fn4|22都成立23解： (1)由已知，得 f1(x)f0(x)sin xxcos

5、xxsin xx2，于是 f2(x)f1(x)cos xxsin xx2sin xx2cos xx22sin xx3，所以 f12 42，f22 2163.故 2f12 2f22 1.(2)证明：由已知得，xf0(x)sin x，等式两边分别对 x 求导，得 f0(x)xf0(x)cos x，即 f0(x)xf1(x)cos xsinx2 .类似可得2f1(x)xf2(x)sin xsin(x)，3f2(x)xf3(x)cos xsinx32，4f3(x)xf4(x)sin xsin(x2)下面用数学归纳法证明等式 nfn1(x)xfn(x)sinxn2对所有的 nN*都成立(i)当 n1 时

6、，由上可知等式成立(ii)假设当 nk 时等式成立，即 kfk1(x)xfk(x)sinxk2.因为kfk1(x)xfk(x)kfk1(x)fk(x)xfk(x)(k1)fk(x)xfk1(x)，sinxk2cosxk2xk2sinx（k1）2，所以(k1)fk(x)xfk1(x)sinx（k1）2，因此当 nk1 时，等式也成立综合(i)(ii)可知，等式 nfn1(x)xfn(x)sinxn2对所有的 nN*都成立令 x4，可得 nfn14 4fn4 sin4n2(nN*)，所以|nfn14 4fn4|(nN*)M4单元综合52014湖南长郡中学月考 记 Sk1k2k3knk，当 k1，2

7、，3，时，观察下列等式：S112n212n，S213n312n216n，S314n412n314n2，S415n512n413n3130n，S516n612n5512n4An2，由此可以推测 A_5 112解析 根据所给等式可知， 各等式右边的各项系数之和为 1， 所以1612512A1，解得 A112.6 2014日照一中月考 二维空间中圆的一维测度(周长)l2r， 二维测度(面积)Sr2，观察发现 Sl；三维空间中球的二维测度(表面积)S4r2，三维测度(体积)V43r3，观察发现 VS.已知四维空间中“超球”的三维测度 V8r3，猜想其四维测度 W_.62r4解析 因为 W8r3，所以

8、W2r4.72014甘肃天水一中期末 观察下列等式：(11)21；(21)(22)2213；(31)(32)(33)23135.照此规律，第n个等式为_7(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)解析 观察等式规律可知第 n 个等式为(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)82014南昌调研 已知整数对的序列为(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，则第 57 个数对是_8(2，10)解析 由题意，发现所给序数列有如下规律：(1，1)的和为 2，共 1 个；(1，2)，

9、(2，1)的和为 3，共 2 个；(1，3)，(2，2)，(3，1)的和为 4，共 3 个；(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)的和为 5，共 4 个；(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)的和为 6，共 5 个由此可知，当数对中两个数字之和为 n 时，有 n1 个数对易知第 57 个数对中两数之和为 12，且是两数之和为 12 的数对中的第 2 个数对，故为(2，10)92014福州模拟 已知点 A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数 yax(a1)的图像上任意不同的两点，依据图像可知，线段 AB 总是位于 A，B 两点之间函数图像的上方，因此有结论ax1ax22ax1x22成立运用类比的思想方法可知，若点 A(x1，sin x1)，B(x2