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文档简介
1、讲 授 内 容备 注第二十二讲例15设试证：与同时收敛，同时发散证 ，故或若，而由判别法知，收敛从而由知与同时收敛若则，当时，有而发散由比较判别法知发散于是发散同理而发散 所以发散于是发散综合，知，两个积分同时收敛，同时发散例16 讨论如下积分的敛散性： 1） 2） 3） 解 1）为非负函数的积分，用比较判别法由不等式知时，积分收敛从而收敛若时，积分发散，由例16知发散，从而发散2） 利用1）的结果及等式可知，积分当且仅当时收敛 3）时，不是瑕点，敛散性与2）相同例17 证明如下积分收敛：证 设，积分其中 ，由准则知，积分收敛三、无穷限的广义积分的收敛性与无穷远处的极限本段讨论收敛与的关系1）
2、收敛，一般不意味着如： 收敛 但 2）收敛，且，仍不能断言如：3）收敛，且，连续，还可能如：收敛4）上述条件，将改为，仍然不能肯定如：其中按3）中的同样的方式定义5）若单调，收敛，则6）若在上一致连续（或更强些，有有界的导数），则收敛，推出例18 试证：若在上一致连续，且广义积分收敛，则证 （反证法）若，则，时，有又在上一致连续，当时，有故当时，并且与同号（因为不然的话，与（）式矛盾）若，则，从而由（2）式知，故 同理，若，亦有即 对，使得由准则知，发散矛盾，证毕例19 证明：若在上连续可微，和都收敛，则证 要证明时，由有极限，根据定理，只要证明 ：，恒有收敛已知积分收敛，据准则，恒有如此：，对上述，当时，有从而即收敛故由定理，存在极限下证若，则由极限的保号性，当时，从而时，与收敛矛盾同理可证：也不可能故例20 设在上单调减，且收敛试证明：证由题设若不然，存在某，使，则当时，恒有由在上单调减，必有从而发散，与已知结论5）矛盾其次，由收敛，据准则知，当时，恒有故，有即例21 设收敛，在上单调下降，证明：证 收敛由准则知，当时，恒有故时， 即 注：由在上单调减，可推出在上单调减事实上，由在上单调减， 而即在上单调减由在上单调减，收敛，可推出练习题1 计算；2计算；3设在上可微，且当时，单调增趋于，则和都收敛4证明：其中左，右积分存在，且5设是上的非负连续函数，并满足（1）在上
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