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文档简介

1、精选优质文档-倾情为你奉上 可对角化矩阵的应用矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类，特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。下面列举几个常见的可对角化矩阵的应用的例子。1.求方阵的高次幂 例设V是数域P上的一个二维线性空间，是一组基，线性变换在下的矩阵A=，试计算。 解：首先计算在V的另一组基下的矩阵，这里，且在下的矩阵为显然，再利用上面得到的关系我们可以得到2.利用特征值求行列式的值。例：设n阶实对称矩阵=A满足，且A的秩为r，试求行列式的值。 解：设AX=X，X0，是对应特征值的特征向量，因为，则，从而有，因为X0，所以，即=1或0，又因为A是实对称矩阵

2、，所以A相似于对角矩阵，A的秩为r，故存在可逆矩阵P，使=B，其中是r阶单位矩阵，从而3由特征值与特征向量反求矩阵。 若矩阵A可对角化，即存在可逆矩阵P使，其中B为对角矩阵，则 例 设3阶实对称矩阵A的特征值为，对应的特征向量为，求矩阵A。 解：因为A是实对称矩阵，所以A可以对角化，即A由三个线性无关的特征向量，设对应于的特征向量为，它应与特征向量正交，即，该齐次方程组的基础解系为，它们即是对应于的特征向量。取，则，于是4判断矩阵是否相似 例 下述矩阵是否相似 解：矩阵的特征值都是 (二重)，其中已是对角阵，所以只需判断是否可对角化，先考查，对于特征值解齐次线性方程组得其基础解系为，由于是的二

3、重特征值，却只对应于一个特征向量，故不可对角化或者说与不相似。 再考查，对于特征值，解齐次线性方程组得基础解系，对于特征值解齐次线性方程组，得基础解系，对于特征值解齐次线性方程组，得基础解系，由于有三个线性无关的特征向量，所以可对角化，即与相似。 5求特殊矩阵的特征值 例 设A为n阶实对称矩阵，且，又， 求（1）A的全部特征值，（2）行列式的值 解：（1）设为A的任一特征值，为A的对应特征值的特征向量，所以，有，又因为，所以，所以，由此可得或0，因为A是实对称矩阵，所以A必能对角化即，且，故2的个数为A的秩数，即A的特征值为r个2及(n-r)个0 （2）因为由（1）可得AB，即存在可逆矩阵C，使得，故有,=6在向量空间中的应用 例 设是n使维列向量空间，A是n阶复矩阵，是任一复数，令，则若A相似于对角阵，有证明：对任意，有和所以 又因为A相似于对角阵，有与的解空间相同，所以和，所以。7在现行变换中的应用 例 设为数域P上次数小于n多项式及零多项式的全体，则微分变换在的任何一组基下的矩阵不是对角形。 证明：取的一组基，则在这组基下的矩阵为，所以，若在某一组基下的矩阵B为对角矩阵，由知A可对角化，存在可逆矩阵T使

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