数量积向量积

1、目录 上页 下页 返回 结束 *三、向量的混合积三、向量的混合积 第三节一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积 数量积 向量积 *混合积 第八八章 目录 上页 下页 返回 结束 1M一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,W1. 定义定义设向量的夹角为 ,称 记作数量积 (点积) .引例引例. 设一物体在常力 F 作用下, F位移为 s , 则力F 所做的功为cossFsFW2Mbacosba的与为baba,s目录 上页 下页 返回 结束 记作故abj rPb2. 性质性质为两个非零向量, 则有baj rPcosbbabaaj rPbaaa

2、) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba则2),(ba0,0ba,0 时当a上的投影为在 ab,0,时当同理bbacosba目录 上页 下页 返回 结束 3. 运算律运算律(1) 交换律(2) 结合律),(为实数abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明三角形余弦定理cos2222abbac证证: 如图 . 则cos2222abbac,aBC,bACcBAABCabcbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,设目录 上页 下页 返回 结束 4. 数量积的坐标表示数

3、量积的坐标表示设则, 10zzyyxxbababa当为非零向量时,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba,两向量的夹角公式 , 得目录 上页 下页 返回 结束 )(MB, )(MA BM例例2. 已知三点, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0, 1,0 1则AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故目录 上页 下页 返回 结

4、束 1. 定义定义定义向量方向 :(叉积)记作且符合右手规则模 :向量积 ,，的夹角为设ba,c,acbccsinab称c的与为向量babac思考思考: 右图三角形面积abba21S二、两向量的向量积二、两向量的向量积目录 上页 下页 返回 结束 2. 性质性质为非零向量, 则aa) 1 (0ba,)2(0baba3. 运算律运算律(2) 分配律(3) 结合律abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (sinabba目录 上页 下页 返回 结束 )(kajaiazyx)(kbjbibzyx4. 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设则,kajaiaazyx,kbjbibb

5、zyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk目录 上页 下页 返回 结束 向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 已知三点, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面积 . 解解: 如图所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结设1. 向量运算加减:数乘:点积:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积:kjixayazaxbybzbba目录 上页 下页 返回 结束 混合积:2. 向量关系:xxa