同济大学自控习题解答

1、4-2设开环系统的零点、极点在s平面上的分布如图4-15所示，试绘制根轨迹草图。0000jjjj0j0j0j0j图4-15 题4-2图解：0000jjjj0j0j0j0j2、3、4曲线部分可以证明为一段圆弧5、6、7不会从开环极点直接垂直向上（下），根据渐近线的交点及出射角必然有图示的起始形状4-3已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试绘制当增益K1变化时系统的根轨迹图。（1）.（2）.解：（1）. 开环极点为无有限开环零点。示如图0j-2-5j3.16-0.88-2.33-j3.16根轨迹图应按正式作图进行，一般根轨迹应表示出和虚轴的交点（如果有的话）应根据根轨迹的八条规则逐条进行计算分析法

2、则2：有三条趋向无穷的根轨迹。法则3：实轴上的根轨迹：0-2，-5-。法则4：渐近线相角：法则5：渐近线交点：，得渐近线如图示。法则6：分离点：得：，其中为实际分离点，分离角为：。如图示。法则8：虚轴交点：令代入特征方程，得： 综上所述，根轨迹如图红线所示。（2）.0j-1+j3-2-1-j3-5.16曲线部分为圆弧，所有的数据应该在图上标出根据规则逐条进行计算分析开环极点为开环零点为。示如图法则2：有1条趋向无穷的根轨迹。法则3：实轴上的根轨迹： -2-。法则6：分离点：得：，其中为实际分离点，分离角为：。如图示。法则7：出射角：得法则1：对称性可得： 综上所述，根轨迹如图红线所示。4-9

3、已知某单位负反馈系统的开环传递函数为【试绘制当增益K1变化时系统的根轨迹图，并求：】（1） 系统无超调的K1值范围。（2） 确定使系统产生持续振荡的K1值，并求此时的振荡频率（3） 【判断s=-1.5+j3.12是否在根轨迹上？若在，求另外两个根及对应的K1值。（4） 闭环极点都在=-1左侧的K1值范围。】红色字体为第二次印刷增加的内容解：开环极点为渐近线相角：渐近线交点：。分离点：得：，其中为实际分离点，此时。分离角为：虚轴交点：令代入特征方程，得： 0j-5-4.67-9-2.06-j6.7j6.7-1根轨迹图应按正式作图进行，一般根轨迹应表示出和虚轴的交点（如果有的话）画系统的根轨迹，如

4、图示。由根轨迹图可得：（1） 系统无超调的K1值范围为保持所有根轨迹在负实轴时（分离点之前的部分），即。（2） 确定使系统产生持续振荡的K1值为与虚轴交点时，即。此时的振荡频率为无阻尼自然频率，即闭环极点的虚部：。（3） 【若s=-1.5+j3.12在根轨迹上，则应满足相角条件如果将其代入增益函数内，则易出现由于计算误差而发生K1有虚部而被判定不在根轨迹上。即G(s)H(s)=180(2q+1).所以满足相角条件，是在根轨迹上。由于复数根应共轭，所以另外一个根为：s2又由于分子的阶次低于分母的阶次超过了二阶，所以闭环特征方程的根的和应等于开环极点的和。即：s+s2+s3=0+(-5)+(-9)

5、=-14得第三个根为： s3=-14-s-s2=-11根据幅值条件可得此时对应的K1值为： （4） 由根轨迹图可知，在-9左边的一条根轨迹的实部在整个K1的取值范围内均满足实部小于-1在实轴0,-5之间存在一个最小的K1，其值为当s=-1时的值。即：另外在复平面上还有一个最大的K1，其闭环极点为s1,2=-1j,此时对应的第三个闭环极点s3=-14-s1-s2=-12也可以将s12直接代入求得根据幅值条件可得此时对应的K1值为：即闭环极点都在=-1左侧的K1值范围为：】还可采用第三章作业中一道类似题目的解法进行求解4-10 设单位负反馈系统的开环传递函数为（1） 试绘制根轨迹的大致图形，并对系统的稳定性进行分析。（2） 若增加一个零点z=-1，试问根轨迹图有何变化，对系统的稳定性有何影响。解：（1） 画系统的根轨迹，如图红线所示。0j-1-0.67应写出根轨迹的作图过程根据分离角可知给轨迹从原点出发离开实轴时的方向垂直实轴。两个开环极点重合时，可用它们之间有一无穷小的距离，按根轨迹的规则进行同样的计算分析如果零点在极点的左边（ -2）时又如何？其中：渐近线相角：渐近线交点：。分离点在原点处，分离角为：。可见系统除在K1=0时处于临界稳定之外，系统均处于不稳定状态。（2） 增加一个零点z=-1后的根轨迹如图蓝线所示。其中：渐近线相角：渐近线交点：。分离点在原点