初三一元二次方程的解法

1、一元二次方程的解法一、结构特殊的直接开平方法利用平方根的定义，直接开平方求一元二次方程的根的方法叫做直接开平方法直接开平方法的理论依据是平方根的定义形如或的方程可以直接运用“直接开平方法”求解例1解方程解：，例2解方程解：，有的方程可以通过整理，变形化为形如或的形式后，再采用直接开平方法来解例3解方程解：，例4解方程解：，通过以上例子，我们可以归纳出运用“直接开平方法”解一元二次方程的一般步骤：1将方程化为或的形式；2两边开平方，得或这里要特别注意的条件若，则方程无实数根，只有当时，方程才有实数根，而运用“直接开平方法”解应用题的关键是将方程化为或的形式 练习：用直接开平方法一元二次方程：19

2、x2-250；2(3x+2)2-40； 4(2x+3)23(4x+3) 二、法力无边的配方法把一个式子或一个式子的某一部分化成完全平方式或几个完全平方式的和、差形式，这种方法叫“配方法”“直接开平方法”告我们根据完全平方公式可以将一元二次方程化为形如的形式后求解，这就自然而然地导出了另一种解一元二次方程的解法 “配方法”它的理论依据是完全平方公式例5解方程解：方程两边都除以2，得，移项，得，配方，得，即开方，得通过本例可以归纳出用“配方法”解一元二次方程的一般步骤：1方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；2移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；3配方，方程两边都加上一次项系数一

3、半的平方，把原方程化为的形式；4若，用“直接开平方法”解出；若，则原方程无实数根即原方程无解“配方法”是一种重要的数学方法，它不仅可应用于解一元二次方程，而且在数学的其它领域中也有着广泛的应用 练习：用配方法解一元二次方程：1 x2-4x-30； 26x2+x35；34x2+4x+17； 42x2-3x-30三、神通广大的公式法公式法是解一元二次方程的一般方法，它是直接利用了“配方法”的结果，求根公式为例6解方程解：把该方程化为一般形式： ，通过本例可以看出，用公式法解一元二次方程的一般步骤是：1将方程化为一般形式：；2正确确定的值；3代入公式求解，若则方程有实数根，若则方程无实数解即无解练习

4、：用公式法解一元二次方程：22x2+7x-40； 3 .2y 2 -y=5 43x2+5(2x+1)=0四、简便易行的因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，它是解一元二次方程的基本方法，它的理论依据是两个因式的积等于零的充分必要条件是这两个因式至少要有一个等于零，即，则，这种方法简便易行是最常用的一种方法例7解方程解：方程左边因式分解，得，用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：1将方程的右边化为零；2将方程的左边分解为两个一次因式的积；3令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；4解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解用因式分解法解一元二次方程的关键是：1要将

5、方程右边化为零；2要熟练掌握因式分解的方法练习：用因式分解法解一元二次方程：1. 2.3 4这四种方法既有区别又有联系公式法比配方法简单，它直接由配方法导出的求根公式求解，但不如直接开平方法和因式分解法快捷，具体解方程时，要根据题目的特点，选择适当的方法求解一般顺序为：先特殊后一般直接开平方法因式分解法公式法没有特别说明，一般不用配方法遇到特殊结构或次数较高的方程，就需用到下面要讲的“换元法”五、出奇制胜的换元法把一个数学式子或者其中的一部分看作一个整体，用一个中间变量去代替，从而达到繁为简，化难为易的目的，这种方法叫“换元法”，有些一元二次方程数式结构复杂，或次数较高，或字母个数过多，用常规

6、的四种一元二次方程的解法计算既繁琐也困难，甚至根本无法求解，这时用“换元法”就会出奇制胜例8解方程解：设，则原方程可化为，即例9 解方程解：设，则原方程变为，解之，得，练习：用适当的方法解关于x的方程1、 2、 3、4、 5、 6、；7、 8、（3 x-1）2-9x+3=4 9、（x-）2+x2=5 10、 11、 12、13、 14、六、一元二次方程根的两个特性例1、先阅读，再填空解题：(1)方程：x2-4x-12=0 的根是：x1=6, x2=-2，则x1+x2=4，x1·x2=-12；(2)方程2x2-7x+3=0的根是：x1=, x2=3，则x1+x2=，x1·x2

7、=；(3)方程3x2+6x-2=0的根是：x1= , x2= .则x1+x2= ，x1·x2= ；根据以上（1）(2)(3)你能否猜出：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0且a、b、c为常数）的两根为x1、x2，那么x1+x2、x1x2与系数a、b、c有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由。能猜出：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0且a、b、c为常数）的两根为x1、x2，那么x1+x2、x1x2。理由如下：根据求根公式可知，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0且a、b、c为常数）的两根为：，所以x1+x2=+x1x2=·也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，这个方程的两个根与系数的关系是：两根之和，等于方程的一次项系数除以二次项