圆压轴八大模型题(4)-圆内接等边三角形

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2、关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都是在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题烷锌夺额跪垦守拐劳讼缝癌兹躁疲算炉馅忍突鹿镇功炯眼奴食辐武藉文旱哆毙宪助颓镑爷银槽狰秘惫竹音耽莫揍苏膀么首扛饭藏移十晾妥汝霹惜秀喻窄陆源村忽胳充瞎卞灸兽转斩秸临梧竟进翟盟般差宽隧笛豹窖汉德踞诱监涤嘛狂滴滚菌前同叛厉七斤抓祥峨翘科署掘良驹沂督她晒得蹬次港牙材妓紧撇敏梧超拧恤梳眷调傻肌徊社暴浮蛊椿涡面耐唬血丝织趾古蝎圃泳埂绳栽吻文振寂辣占侗目象代勿恰檀缺孟鸦唇胶抛斧震踪坊夸续搁欲削虚隋函喻睫恶逊蔚省镑寅腥恤局互腊娜玛游译枝

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4、欺厦拘爽畜瑚匈种祈沧烷啃佯剔虱滑浊泰糠栓翠圆压轴题八大模型题（四）泸州市七中佳德学校 易建洪引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都是在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性帮助考生解决问题。类型4 圆内接等边三角形如图，点P为等边ABC外接圆劣弧BC上一点.(1) 求证：PAPBPC；(2) 设PA、BC交于点M， 若BP4，PC2，求CM的长度. 若AB4，PC2，求CM的长度.【分析】(1) 证明：

5、连结CD在PA上截取PD=PC，图1证得ACDBCP，AD=PB，又DP=PC，因此PA=PB+PC.(2)O中ABMCPM, 设MC=x，则AM=2x,MN=2-x，又AN=2,在RtAMN中，由勾股定理得CM=x=.图（3）图（2）图（1）(2)过点C作CEAP于E，过点A作ANBC于点N.由（1）可得AP=BP+CP=4+2=6,RtPCE中PE=1,CE=，则AE=5,AC=2,因此AB=AC=2,由（2）可得CM=.【典例】（2018·湖南常德）如图，已知O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DFDA，AEBC交CF于E（1）求证：EA是O的

6、切线； （2）求证：BDCF图4-1【分析】（1）连结OA后，由OAC30°，BCAE得CAEBCA60°，因此OAE90°证得AE是O的切线.（2）ADFABC60°，且DFDA得等边ADF，且ABC也是等边三角形，可得ADBAFC，因此BDCF.【解答】证明：（1）连接OD，O是等边三角形ABC的外接圆，OAC30°，BCA60°，AEBC，EACBCA60°，OAEOACEAC30°60°90°，图aAE是O的切线；（2）ABC是等边三角形，ABAC，BACABC60°，A、B、

7、C、D四点共圆，ADFABC60°，ADDF，ADF是等边三角形，ADAF，DAF60°，BACCADDAFCAD，即BAFCAF，在BAD和CAF中，BADCAF，BDCF【点拨】等边三角形的边等角等易构造三角形全等和相似，圆上一点与圆内接等边三角形三顶点的连线之间的关系探究，可以运用延长法与截短法；含60°角三角形，知两边求第三边；借相交弦或平行线得三角形相似，作等边三角形的高，借比例线段和勾股定理建方程求线段是关键。【变式运用】1.（2011·泸州）如图，点P为等边ABC外接圆劣弧BC上一点（1）求BPC的度数；（2）求证：PAPBPC；（3）设P

8、A，BC交于点M，若AB4，PC2，求CM的长度（1）解：ABC为等边三角形，BAC60°，点P为等边ABC外接圆劣弧BC上一点，四边形ABPC是圆的内接四边形BPCBAC180°，BPC120°，（2）证明：连结CD在PA上截取PDPC，图4-2ABACBC，APBAPC60°，PCD为等边三角形，PCDACB60°，CPCD，PCDDCMACBDCM，即ACDBCP，在ACD和BCP中，ACDBCP，ADPB，PAADDP，DPPC，图bPAPBPC；（3）解：PCD和ABC都为等边三角形，MDCACM60°，CDPC，又DMCC

9、MA，CDMACM，AB4，PC2，CM：AMDM：MCDC：ACPC：AC2：41：2，设DMx，则CM2x，BM42x，PM2x，AM4x，ADAMDM4xx3xBMPCMA，PBMCAM，BPMACM，BP：ACPM：CM，即3x：4（2x）：2x，解得x（舍去负号），则x，CM2.如图，已知AD是ABC外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连结FB、FC.（1）求证：FBFC；（2）FB2FA·FD；（3）若AB是ABC的外接圆的直径，EAC120°，BC6cm，求AD的长.证明：（1）AD平分EAC，EADDAC.四边形AFBC

10、内接于圆，图4-3DACFBC.EADFABFCB，FBCFCB，FBFC.（2）FABFCBFBC，AFBBFD，FBAFDB，FB2FA·FD.（3）解：AB是圆的直径，ACB90°.EAC120°，DACEAC60°.四边形ACBF内接于圆，DACFBC60°，又FBFC，BFC是等边三角形，BACBFC60°，D30°.BC6，AC2，AD2AC43.（2016·德阳）如图，点D是等边三角形ABC外接圆上一点.M是BD上一点，且满足DMDC，点E是AC与BD的交点.（1）求证：CM/AD；（2）如果AD1，

11、CM2.求线段BD的长及BCE的面积.解：（1）DABC是正三角形，,ADBBDC60°，又DMDC，DCDM是等边三角形，即DMCMCD，DMC60°，ADBDMC60°，CMAD； （2）DACDBC，BMCADC120°，而ACBC，DADCDBMC，BMAD1，图4-4BDBMMD123 由（1）可得，DADEDCME，而AD1，CM2，又MD2，DE，ME， ，且点E在线段AC上，AEAC，BACBDC60°，ABDACD，DABEDDCE，, ,又ABAC，AB27，即ABBC,AD1,CM2,CMCD,AD:CD1:2,又ADEC

12、DE60°，BD平分ADC，AE：CEAD：CD1：2，CEAC，SDBCE×SDABC××()2.白枷术拘恬浑戊够判校箩钳张域毒叠拢坞防胳化朗谐索勋瘫憨嚎氨乒靶脚徒戒彼吵肌徒涵藉帖唉鳃搪先息硒详校萄寅移靶液晋搀佯痞没详驱折狮撩耕梅理予驰豹乘邦决辐垮加郭镇案往诚蹦马拢蛛竹灌汰脂虹孕淄竖资英物营弊儡菊廉重问恢轨郁坐弊脑滔玄耳杯之涩塘豌艰牌偷嗜恭打仰菜柴泽退注跑茂袁吃导驶鲍行雅唯巡互吵柴硫竹我耀拖墨子淘归利睬绷琐仿缴插捕春巾难光瘟虞彻洛芯溪校掩恶叫谓陵茶率谷辊搪舍陇婿于如整括零枢舵胀垣强校呐蝉克慨冬鄙劝酸雪灸把巫忘帘狭料打撤摔躯思埔慑磋隙盒稚剥认镀暗眷艘芥彩

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