2020届北京海淀区一零一中学上学期高三开学考数学试题(解析版)

1、第1页共 16 页2020 届北京海淀区一零一中学上学期高三开学考数学试题一、单选题1.已知全集U R，集合A x|2x1，B y | y x21,则AI euB（）A . x|xw0B. x|x 0C. x|x1D . x|0 实0,+ Q |Q|）的部分图象如图所示，则6【解析】根据图象直接分析出代B,的值，再根据图象的最高点以及【点睛】第 7 页共 16 页本题考查根据三角函数的图象求解析式中的量，难度一般对于f（x）=Asin（3X+（|） + B的图象，若函数最大值为M，最小值为N，则有AM N f M NA,B.2 211关于x的方程 x33x2a 0 有三个不同的实数解，则 a

2、的取值范围是 _【答案】（一 4, 0）.【解析】试题分析：，因为关于 x 的方程x33x2a 0有三个不同的实数解，所以口有三个不同的实数解，尹住）=_p-3_卩，f （i 三 3 工一 6_址三 2），令F=沁：,则.;令，曲”他，则、;-二-.亠.，所以 一 - ；：-: ：.【考点】 三次函数的零点问题0，则直线 y=x+1 与曲线y f x的交点个数为x 0 x a 0有三个不等实根，则实数 a 的取值范围是e12 .已知函数fxe,x1ln,x若关于 x的方程f x【答一个1,0【解(1)作出f x ,y1的图象，根据图象的交点个数即可得到答案;（2）考虑f x的图象与 y1x a

3、的图象有三个交点时对应的a的取值范围e【详，即为 y x 1,所以交点个数为1个;第12页共 16 页11(2)关于 x 的方程f x x a 0有三个不等实根？ f x的图象与y x a ee11当y x a与y In相切时，设切点为心In冷，ex1将 y -图象下移时只有有一个交点；e1将 y -图象上移时，有三个交点；e1直到当a 1时，y -的图象与f x的图象刚好两个交点,e1当 y -图象上移时只有 2 个交点,e故答案为：一个；1,0【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，着重考查了数形结合思想的运用，难度较难.注意h x f x g x的零点个数方程f x g x的根的数目f x

4、 ,g x图象的交点个数.三、解答题113.已知数列an是单调递减的等比数列，前 n 项和为 Sn, S2=3, a3,则an的公4比 q=_.1【答案】丄3【解析】先根据已知条件计算出等比数列的公比的可取值，再根据数列的单调性确定出公比的值.所以丄X。1 1e，所以xo e，所以ee aIn e，所以a 0，此时共两个交点,故当1 a 0时，f X的图象与ya的图象有三个交点e的图象有三个交点如图所示:第13页共 16 页【详解】因为S2aia2竺3,1a3q q4ii所以23，所以q1或1,4q24q43又因为an是递减数列，所以q13故答案为：1.3【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算

5、，着重考查了等比数列的单调性的分析，难度较易分析等比数列的单调性，可从首项和公比的角度入手x22.2x 5, x 014.已知函数 f(x)=|lgx|,若 f(a)=f(b)(a 和)，则函数g xax22b的最,x 0 x小值为_ .【答案】2 2【解析】 根据条件先得到a,b之间的关系，再分别判断g x在两段区间上的最小值，最后取其中的较小值作为g x的最小值.【详解】因为Iga lgb，所以不妨令a b，则有lg a lg b,所以ab 1,b1 -0a 1,ax.223, x0所以g x2x 0axax当x0时，g xx.223 3，取等号时x2，当x0时，g xax22.ax22$

6、,取等号时x辽axaxa综上可知：g xi242.min故答案为：22.【点睛】第14页共 16 页本题考查函数与方程以及分段函数的最值，对于转化与计算的能力要求较高，难度一般.第15页共 16 页注意将含绝对值的对数值转化为自变量之间的关系到bn 1,bn的关系，即可证明bn为等比数列并求解通项公式；(2)先根据条件求解出Sn,Tn的表达式，再根据已知条件即可计算出k的值.【详解】(1)证明：根据题目条件，可知an+1=2an+k,整理可得 an+1+ k=2 ( an+k)；bn=an+1 an=an+ k；有 bn+1=2bn,即数列bn是首项为 a 什 k,公比为 2 的等比数列.-

7、k = 8.【点睛】本题考查等比数列的证明以及数列求和的应用，难度一般据定义完成；形如an 1panq p 0, p 1,q 0的递推公式，可变形为形如an 1p an 的递推公式.p 1p 116 .已知函数f x、3sinx 2sin2-.15 以数列an的任意相邻两项为坐标的点象上，数列bn满足bnan 1，且bi(1) 求证数列bn为等比数列，并求出数列(2) 设数列an，bn的前 n 项和分别为【答案】(1)证明见解析，2 ；(2)8.【解析】(1)将点代入直线方程即可得到anPnan,an 1，均在一次函数 y=2x+k 的图0.bn的公比；Sn, Tn，若 S6=T4, S5=

8、- 9，求 k 的值.的递推公式，再根据bnan 1an即可得(2)解：数列bn的前 n 项和Tna1k 1 2n1 2n丄21 a1-数列an的前 n 项和SnTnnkTSs=T4,S5=9；621 ai k 6k可列方程组521 a1k 5k2n1 a1knk；421 a1ka17，解得1；9k 8.等差、等比数列的证明可根第16页共 16 页2(1)求函数f x的最小正周期和单调递增区间；第17页共 16 页(2)求函数f x在0,2内的所有零点【答案】(1)2,2k ,2k- ,k Z; (2) 0 , ,2333【解析】(1)利用降幕公式以及辅助角公式将f x变形为As in x，再

9、根据最小正周期和单调增区间的求解公式完成求解;(2)令f x 0,求解出0,2内满足条件的x即可.法求解出x中的x范围即为f x Asin x的单调区间.217 .在 ABC 中，a, b, c 分别是内角 A, B , C 的对边，1 cos A B 2cos C.(1) 若2a、.3c，求sin A的值；(1)f x、3sin x 2sin2-.3si nx 1cosx 2sin x 262T21由2k_x2k,k Z.26 2解得：2k2x 2k -,k Z.33函数f x单调递增区间为：2k ,2k-,k Z.332) 令2sin x10,即sin x 1662- x2k,k Z或x2

10、k ,k Z.666 6可得：函数fx在0,2内的所有零点为：0223【点睛】本题考查三角函数的性质与三角恒等变换的综合应用， 难度较易求解函数【详解】的单调区间，可根据ysinx的单调区间，采用整体替换的方f x Asin x第18页共 16 页(2) 求sin2A sin2B的取值范围33 3i 答案】( (1) )3；(2)-,3第19页共 16 页【解析】(1)先根据条件计算出C的值，然后利用正弦定理即可求解出sin A的值;利用降幕公式以及辅助角公式化简sin2A sin2B，将其化简为Acos x b的形式，然后根据角度计算出取值范围即可【详解】2(1) T1 cos A B 2c

11、os C,211 cosC 2cos2C，解得cosC 1或2- C 0,1-cosC，可得C ,23t 2a . 3c ,【点睛】正弦定理的运用，一定要注意是在满足齐次的条件之下；(2)解三角形时注意对于隐含条件的使用：ABC.18.已知函数f x ax lnx其中 a 为常数，设 e 为自然对数的底数(1)当a 1时，求f x过切点为1, f x的切线方程;(2) C -,ABC,3.22 .1 cos2A 1cos2B1-sinA sin B1cos2A cos2B2221 1cos2A2 cos2 A1 11.3cos2Asin2A2322 2cos 2A -23由正弦定理可得2sin

12、 A ,3 sinC.3解得si nA A 0,，可得2A 33,cos 2A 32 2- sin A sin B11 cos 2A 233 342本题考查解三角形与三角恒等变换的综合运用,着重考查转化与计算能力， 难度一般.(1)第20页共 16 页(2)若f x在区间1,e上的最大值为3，求 a 的值；(3)若不等式f xx恒成立，求 a 的取值范围.2第21页共 16 页1【答案】（1）y 1； （2）e2； （3）a 1 -.e【解析】 利用导数的几何意义求解出切线斜率即可求解出对应切线方程;根据a的范围分析函数的单调性，确定出最值即可求解出a的值；（3）采用分离参数的方法，构造新函数

13、，根据新函数的最值即可求解出a的取值范围（1）当a1时,f xx In x，1则f X1-X所以k切f 10，切点1,f 1，即1, 1，所以切线方程为y1 0 x 1，即y1.（2）f x a1 ax 1xx当a 0时，f x0，fx在1,e上单调递增，f值当 a 0 时，在0,丄上fax 0，f x单调递增，在上fax 0，f x单调递增，若函数在1,e上取得最大值13，则1-ae，且f则ae2.（3）不等式f xx恒成立，则ax Inxx恒成立，“ In xa 1一xIn x令g x 1 -x，（x 0）,1 Inxg x2x在0,e上，g x0，gx单调递减，在e,上，gx 0，g x

14、单调递增，【详解】丄3,aae 1，无最大第22页共 16 页1所以g xig e 1-mine1所以a 1丄.e【点睛】本题考查导数与函数的综合应用，难度一般.(1)含参函数在区间上的最值分析，注意根据参数的范围进行分类讨论；(2)已知不等式恒成立， 求解参数范围的两种方法：分类讨论法、参变分离法19已知函数f(x)皎7,x 0,12 x(1)求 f(x)的单调区间和值域;2 2设a 1，函数g(x) x 3a x 2a,x 0,1，若对于任意Xo0,1，使得g(Xo) f(xj成立，求a的取值.111答案1增区间为封，减区间为陀，值域为4, 3；【解析】【详解】17令 f )=0 解得X1

15、2或X22，当 x 变化时，f致)、f(x)的变化情况如下表:1所以，当x (02)时，f(x)是减函数；当当x 0,1时，f(x)的值域为【-4,-3】解(1)式得 解式得ax10,1，总存在(1)对函数 f(x)求导，得f (x)4X 16X7(2X1)(2X7)(2 x)2(2 x)2(表略)1x (,1)时，f(x)是增函数;2(2)对函数 g(x)求导，得g(x)3(x2a2)因此a 1，当x 0,1时，g(x)3(fa2) 0因此当x 0,1时，g(x)为减函数，从而当X 0,1时有g(x) g(1),g(0)又g(1) 1 2a 3a2,g(0) 2a，即当0,1时有g(x) 1

16、 2a 3a2, 2a任给x 0,1,f (Xj 4, 3，存在x0,1使得f (xj g(x)，则4, 31 2a3a2, 2a，即1 2a2a3a2432第23页共 16 页3又a 1，故：a 的取值范围为一a 1220 设S为有限集合，A ,A，Ai9为S的子集，X表示集合X中元素的个数,1已知对于每个正整数i 1 i 2019，都有 A|_|s.5（1）记Sm为元素个数为 m 的集合，当m 3时，求集合Sm的所有子集的个数；（2）若一定有集合S中的某个元素在至少k个集合A中出现，则k最大值是多少？并加以证明【答案】（1）8 ；（ 2）404，证明见解析【解析】（1）根据集合中的元素个数即可计算出集合的子集个数;（2）先假设元素在集合中的出现的次数之间的不等关系，然后根据A素出现次数满足的不等式，即可求解出k的最大值.【详解】C1）S33有3个元素，所以有238个子集;不妨设S 1,2,