矩阵理论作业41线性变换圆椭圆

1、单位圆在线性变换下得到的图形及论证摘 要在平面上线性变换，（，）且，即可逆。给定一个单位圆，求其在此线性变换下的图形并论证其结果，并用matlab编程实现其图形的转换。结果表明变换后的图形为椭圆，且推出了变换后的椭圆长半轴、短半轴和长轴与水平坐标轴的夹角与矩阵的关系。关键字：单位圆 线性变换 椭圆引言矩阵的线性变换可以进行图形的改变，那么不同的矩阵会造成什么样改变，变换后的图形各参量与变换矩阵有怎样的关系呢 ？本文结合线性代数中有关矩阵的运算等知识，在推导和论证结果的基础上，应用matlab工具进行编程实现，并给出几个具体的算例验证结论，做出变换前后的图形并求出相关参数值。问题概述在平面上线性

2、变换，（即可逆）。给定一个单位圆，求其在线性变换下的图形，并论证其结果，以及用matlab编程实现其图形的转换。如下图1，是在matlab中编写将单位圆线性变换的程序，再给出一个二阶随机矩阵得到的线性变换结果。图1显而易见，变换后的图形是一个椭圆，而且椭圆中心与单位圆的圆心重合。那么变换后的椭圆长半轴、短半轴和长轴与水平坐标轴的夹角与矩阵的关系是什么呢，下面将进行论证。变换结果的论证单位圆为，即变换前的坐标为，线性变换矩阵，则 (1)即变换后的坐标为，。联立方程组，将和用和表示出来，得 (2)然后将以上表达式带入单位圆的方程，得 (3)关于展开整理，得 (4)由此可以看出，满足椭圆的一般方程

3、(5) 其中相当于，相当于，系数分别为 (6)所以，经过以上推导可以证明单位圆在线性变换作用下得到的图形为椭圆。下面来求变换后得到椭圆的长短半轴以及长轴与水平轴夹角（图2）。图2由斜椭圆的相关公式可知，椭圆几何中心 (7)因为，所以，中心坐标确实如图所示在原点处。长短半轴分别为 (8) (9)长轴与水平轴夹角 (10)分别将已知的值带入公式（8）、（9）和（10），即可得到变换后的椭圆长半轴、短半轴和长轴与水平轴夹角（弧度值）。算例分析在matlab里给出几组转换矩阵，画出转换后的椭圆并求出长半轴、短半轴和长轴与水平轴夹角。例如，得到如图3所示的绿色椭圆。计算其相关参数为由弧度变为角度为。图3

4、将对角线改为负数，如=-2 2;1 -3，得到如图4所示椭圆。计算其相关参数为由弧度变为角度为。图4将矩阵元素改成小于1的数，次对角线变成负数，如，得到如图5所示椭圆。计算其相关参数为由弧度变为角度为，说明此时长轴是顺时针旋转的。图5结论综合以上实验结果，得出如下结论：在线性变换下（变换矩阵可逆），二维空间上的圆经过拉伸、剪切变换会变形为椭圆。但图形的中心没有移动，也就是说线性变换保留中心位置，而其它的几何性质如长度、角度和面积等可能会被改变。椭圆的各个参数都可以由矩阵的元素表示出来。长短轴与矩阵元素的数值大小有关，夹角与矩阵元素的符号有关。推广到更一般的结论，椭圆在线性变换下也会变为椭圆，只

5、是原椭圆的参数方程系数有所改变，原理完全一样，所以也适用以上公式。参考文献1常法智, 阮明焱. 椭圆面积公式的线性变换证法J. 高等函授学报: 自然科学版, 2006, 19(6): 37-38. 2同济大学应用数学系.线性代数第四版M.北京:高等教育出版社，2003.7. 3百度文库W. 附录给出一个二阶的随机矩阵A=rand(2)A = 0.8147 0.12700.9058 0.9134调用单位圆的线性变换函数程序：function y=geomtrans(A) if det(A)=0 disp(输入的矩阵奇异，请重新输入一个非奇异矩阵); elset=0:0.01:2*pi;x1=co

6、s(t);x2=sin(t);plot(x1,x2,r-,linewidth,2) axis equal hold on x=x1;x2; y=A*x; plot(y(1,:),y(2,:),g-,linewidth,2) title(平面线性变换的几何图形转换) legend(红色图形为原始图形,绿色图形为变换后的图形) grid onhold off endend计算得到的椭圆表达式的各项系数，再根据斜椭圆的相关公式，求出椭圆几何中心、长短半轴和长轴与水平轴夹角%为了区别矩阵A和系数A，将系数改写为AA AA=-(A(2,1)2+A(2,2)2)/(A(1,2)*A(2,1)-A(1,1)*A(2,2)2;B=2*(A(2,1)*A(1,1)+A(1,2)*A(2,2)/(A(1,2)*A(2,1)-A(1,1)*A(2,2)2;C=-(A(1,2)2+A(1,1)2)/(A(1,2)*A(2,1)-A(1,1)*A(2,2)2;D=0;E=0;Xc=(B*E-2*C*D)/(4*AA*D-B2);Yc=(B*D-2*AA*E)/(4*AA*D-B2);a=sqrt(2*(AA*Xc2+C*Yc2+B*Xc*Yc-1)/(