平面向量高考试题(卷)精选(含详细答案解析)

1、平面向量高考试题精选（一）一.选择题（共14小题）1. （2015?可北）设D为4ABC所在平面内一点， BC=3CD,则（）A AD二-mAB+AC B AD=AB-mACC菽奇靛亨5 D.好声一颉2. （2015?昌建）已知 菽工菽,|薪if, |元|-t,若P点是4ABC所在平面内一点,且而hp4里，则瓦五的最大值等于（）Iab| |ac|A. 13 B. 15 C. 19 D. 213. （2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，|屈|=6,而|=4,若点M、N满足加二3元,DN:2NC,则端皿=（）A. 20 B. 15 C. 9 D. 64. （2015?安徽）ABC是边长为

2、2的等边三角形，已知向量！，E满足靛=21, AC=2 a+b, 则下列结论正确的是（）A. |b|=1 B.a，b C. a?b=1D. （4a+b） 1 '5. （2015?陕西）对任意向量 2、b,下列关系式中不恒成立的是（）A. |a*b|b| B. |1- bl|a|-|b|C. （ a+b） 2=| a+b|2 D. （ a+b） ?（； -盲=a2- b2TT Va / QT -*T6. （2015?重庆）若非零向量a, b满足|司=|b|,且（已b） ± （3日+2b）,贝U已与b的3夹角为（A.B.4JT3兀C. - D.7147. （2015?重庆）已知非

3、零向量 , b满足lbl=4| /，且a，（2a+b）则之与b的夹角为（）a.三 b. 2L c. 22L d. JiH32368. （2014?湖南）在平面直角坐标系中，。为原点，A （ - 1, 0）, B （0,无），C （3, 0）,动点D满足|比|=1,则|亚+羽+而|的取值范围是（）A. 4, 6 B.V19-1,限+1C. 22®D.听-1,+19. （2014?桃城区校级模拟）设向量%, 3满足I： |二花|=1,彳了二一工，<；一；，£ 一3>=60°,则a的最大值等于（）A. 2 B. VS C V2 D. 110. （2014?天

4、津）已知菱形 ABCD的边长为2, /BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC .* Q上，EE=入BC, DF=（1DC,若 AE?AF=1, lE?lF=-，贝U 入 + p=（）3A. 1B. 2C.也D. -L23612 11 （2014?安徽）设E为非零向量，亩=2|嬴 两组向量 三，三，,和五，豆，豆,耳，均由2个0和2个b排列而成，若云?五+可?豆+司?可+K?%所有可能取值中的最小值为,24，则与b的夹角为（）D. 012. (2014?四川)平面向量 =11, 2), b= (4, 2), c=m a+ b (mCR),且。与己的夹角等于C与b的夹角，则m=()

5、A. - 2 B. - 1 C. 1D. 213. (2014?新课标I)设D, E, F分别为ABC的三边BC, CA, AB的中点，则EB+FC =( ) b -*1 *A. AD B. -AD C. BC D. -BC2214. （2014?福建）设M为平行四边形 ABCD对角线的交点，O为平行四边形 ABCD所在平面内任意一点，则 赢+而+沃+而等于（）A.宙B. 2而C. 3赢D. 4而二.选择题（共8小题）15. （2013?浙江）设 刀、荒为单位向量，非零向量 b=x7y+y，x、yCR.若二 成的夹角为30。，则上1的最大值等于Ib|16. （2013?北京）已知点 A（1,-

6、1）,B（3,0）,C （2, 1）.若平面区域D由所有满足AP= X AB+ k AC （K丑哆0加米的点P组成，则D的面积为.17. （2012?湖南）如图，在平行四边形ABCD中，AP ± BD ,垂足为P,且AP=3 ,则黏标=.18. （2012?北京）己知正方形 ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点.则DECB的值 为.19. （2011?天津）已知直角梯形 ABCD 中，AD/BC, Z ADC=90 °, AD=2 , BC=1 , P 是腰 DC上的动点，则|PA+3PB |的最小值为 .20. （2010?浙江）已知平面向量五，下（五金万, a ）满

7、足IB |=1,且口与 下-五的夹角为120°,则|五|的取值范围是 .21. （2010?天津）如图，在 4ABC 中，ADXAB ,前5, I AD |-1,则AC-AD=.22. (2009以津)若等边4ABC的边长为20，平面内一点 M满足a=21通+2&,则63部近=.三.选择题(共2小题)23. (2012?上海)定义向量 0M= (a, b)的相伴函数”为f (x) =asinx+bcosx ,函数f (x)=asinx+bcosx的相伴向量”为0M= (a, b)(其中O为坐标原点).记平面内所有向量的 相 伴函数”构成的集合为S.(1)设 g (x) =3s

8、in (x+ ) +4sinx ,求证：g (x) CS； 2(2)已知h (x) =cos (x+ a) +2cosx，且h (x) S,求其 相伴向量”的模；(3)已知M (a, b) (b用)为圆C: (x-2) 2+y2=l上一点，向量0M的 相伴函数”f (x)在x=x0处取得最大值.当点 M在圆C上运动时，求tan2x 0的取值范围.24. (2007?四川)设Fi、F2分别是椭圆 f+#2=1的左、右焦点.4(I )若P是第一象限内该椭圆上的一点，且 pf : Ppp"*=-,求点P的作标； 1 1 1 1 1 24(n )设过定点 M (0, 2)的直线l与椭圆交于不

9、同的两点 A、B,且/AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围.平面向量高考试题精选（一）参考答案与试题解析.选择题（共14小题）1. （2015?可北）设D为4ABC所在平面内一点， BC=3CD,则（）A.C.解:AD=-1aB4-|aC adab+|ac 由已知得到如图B.D.-k 1-*4 +AD 法AB AC o ok 4-*1-*ADAB -尚AC =1J故选：A.;其则pbpc的最大值等于（由由二菽+丽二菽（正一盛）=-ab-4ac>且"，4 AC P (1, 4),，I AC |二十，若P点是ABC所在平面内一点,A. 13 B. 15 C.

10、 19 D. 21解：由题意建立如图所示的坐标系，可得 A (0, 0) , B (-, 0) , C (0, t), t1=PB= (- - 1, 4) , PC= ( T, t 4), t* *11 PB PC= ( - 1) 4 (t 4) =17 (4+4t ),由基本不等式可得 +4t注工4t=4 1 .17(+4t)47- 4=13,当且仅当l=4t即t=。时取等号, t 2，比定的最大值为13,3. （2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，|屈|二6, |菽|=4,若点M、N满足丽二3元,DN=2NC,则氤氤=A. 20 B. 15 C. 9D. 6解：:四边形ABCD为

11、平行四边形，点 M、N满足BM=3MC, DN=2NC,根据图形可得： 正靛+且前=赢且5, 4 飞.“1=川.：=,，33端NH= AM? ( AM 一 氤=M2-蝴,四,标2=靛2+1旋，标*标2,菽-an=-?ab2-adJab342| ”,|=6 , | 二 1|=4, 、2 ， ：,2斓皿=上业2 - AD2=12-3=9316故选：C4. （2015?安徽）4ABC是边长为2的等边三角形，已知向量！，E满足屈=2" AC=2 a+b, 则下列结论正确的是（）A. |N=1 B. a± b c. a?b=lD. （4a+b） ±BC解：因为已知三角形 A

12、BC的等边三角形，a, E满足薪=2言 AC=2 a+b,又正二思+前， 所以三二戢，b=BC,所以 | b |=2 , ap b=l >2 >cos120 = - 1,4ab=4 M>2 >cos120°= 4, =4 ,所以私耳十丁=。，即（4a+b），b=0,即（4；隹）&=0，所以（盘+京，京；故选D.5. （2015?陕西）对任意向量 ：、b,下列关系式中不恒成立的是（）A. |a*b|b| B. la-bl|a|-|b|C. （ a+b） 2=| a+b|2 D. （ a + b） ? （g -盲=1- b2解：选项 A 正确，-.1 |a

13、 pb|=| a|b|cos< a, b>|, T TT T又|cosv2，b>|q，|a+b|g训b|恒成立;选项B错误，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得|；-力辅|-|口|；选项C正确，由向量数量积的运算可得（ a+b） 2=|a+b|2;选项D正确，由向量数量积的运算可得（ a+b） ?（g-E）=a2- b2.故选：B6. （2015?重庆）若非零向量 a, b满足|可=上上也|,且（白-b） ± （3a+2b）,则将与b的 夹角为（）ITTCp3 兀cABC. D424解：（ a- b），（3日+2b）,(已一b) ?(3 已+2b) =0,即 3

14、a2-2 b2-a?b=0, 2即 1? ：，=3 -2'22 b =b ,3cos日，b> =,lallbl2 23 口故选：A7. （2015?重庆）已知非零向量 0 , b满足|tJ=4|a|，且勾，（20+r）则之与6的夹角为（）A.二B.三C空D.邺解：由已知非零向量 过，匕满足|6|=4|a|,且皂，（2a+b），设两个非零向量 a, b的夹角为仇所以 a ?( 2 a + b)=0，即 2 a* +| 芯 |cos 0 =0 ,所以 cos 0= - - , 0C0 ,兀,所以 故选C.8. （2014?湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A （ - 1, 0）,

15、B （0,加），C(3, 0),动点D满足|五|=1,则|出+说+而|的取值范围是（A. 4,6 B. V19- 1, V19+1 C. 2 如，2 回 D. 7r- 1, Vr+1解：二动点D满足|五|=1, C （3, 0）,，可设D (3+cos 0, sin 0) ( 00, 2%).又 A (- 1, 0), B (0, J5),OA+OB+0D=(2+cos6 , Vs+sin 9 ).D|= ：,I ； i ：；.）=“g+Z/Y式n ( S + Q j ,(其中 sin,cos 1Win ( 0+ »<1,一 1 ) 2= S 一 况7<&+2申s

16、n (0 4) 3+2行=(-1yY+1 ) 2，I演+ 65+而|的取值范围是 卬7-1，Vr+i.故选：D.9. （2014?桃城区校级模拟）设向量 £E，3满足心仁尼| 二 1,。二-工<W-N, E-W>=60°，则说的最大值等于（）A. 2B. V3 C V2 D. 1解： I a 1= |b |=1, 二一1E的夹角为120°,设OA=a, OB=b，UC二c则 CA二己-仁；0B=b c如图所示贝U/AOB=120 ° Z ACB=60 ./ AOB+ Z ACB=180° .A, O, B, C四点共圆 . 2 -*

17、 2 * - 2AB =b _ 2a,1 b + a =3AB/3由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=(2014?天津)已知菱形当OC为直径时，模最大，最大为 故选A10.ABCD的边长为2, /BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC上,BE= xBC, DF=(iDC,* *» #Q若 AE?AF=1, CE?CF=,贝U 入+ 自()3A.B -： B .一23D.12解:由题意可得若(AB+BE) ?(AD+DF) = AB * AD+AB *DF+BE - AB+BE * DF=2 >2>cos120 + AB - pt AB+XAD?AD+ 菽

18、？凝=-2+4 /4 H 入科2>2 20s120 °=4 H4 - 2 入 jt 2=1 ,4 H4 - 2 入=3 .CE? CF= - EC? (- FC) =EC*FC= (1- N BC? (1-四)DC= (1- X) AD? (1- AB =(1 A (1一四)X2>2>tos120°= (1入冲入 R ( 2) = 2,3即一入一科+入=-2.3由求得R巧三，故答案为：也.11 （2014?安徽）设W, E为非零向量，|b|=2| a|,两组向量五,三,工,京和卫，卫,耳，均由2个W和2个E排列而成，若三?歹？石?E + E ?耳+可?&q

19、uot;所有可能取值中的一.，2r取小值为4|a| ,则为与b的夹角为（A 2兀 c 71 兀 cA. -= B.C.D.解：由题意，设与与b的夹角为分类讨论可得 一?，.+ ,：?-+, ?一+、?1=? - I? ' +'- 2b? '+b?b=10| i| ,不酒足 五?五+卫?卫+三?可+三?斤 a?君+君? b+b?a+b?b=5|可2+4| 312cos ”,不满足; 刀？亍丁¥?元+W?g+五？元=42？b=8|君|2cos a=4| a|2,满足题意，此时，口与b的夹角为12. （2014?四川）平面向量T=*TT Ta= (1, 2), b=

20、 (4, 2), c=m + b (mCR),且。与日的夹角等于c与b的夹角，则m=()A. - 2 B. - 1 C. 1D. 2解：二.向量白二(1, 2), b= (4, 2), c=m 曰 + b= （m+4 , 2m+2 ）,又.与，的夹角等于W与g的夹角，. ca = LbI C | | a I I C |* |b |* *.与=4, lai |b|."+2（2/2）=4（M4） +2（2/2）解得m=2 ,故选：D13. （2014?新课标I）设D, E, F分别为ABC的三边BC, CA, AB的中点，则EB+FC =（ ）A. ad B. -jAD C. BC【解答

21、】B： D, E, F分别为ABC的三边BC, CA, AB的中点,（FE+EC） =FB+EC=- （ AB+AC） =AD,2故选：AEB+FC=（而+而）+14. (2014?福建)设M为平行四边形 ABCD对角线的交点，O为平行四边形 ABCD所在平面内任意一点，则赢+而+江+而等于()A,赢B. 2赢C, 3赢D. 4而解：:。为任意一点，不妨把 a点看成。点，则短+而+无+而=6+屈+7S+7S,M是平行四边形 ABCD的对角线的交点，. . O + AB+76+75=2 AC=40M故选：D.15. (2013?浙江)设丁、丁为单位向量，非零向量 b=x+yT*, x、yCR.若

22、丁、丁的C | C 2C | C 2C J V 2夹角为30。，则上1的最大值等于2 .b|解：.三、二*为单位向量， 丁和丁的夹角等于30°, .丁 丁=1MCos30°=圭.C | C 2C | C 2C I C 22非零向量 b=x匕jy&z，|Z|=V=i/工?+2工ye. uz+y2=J、+V5xy+y"故当？= -Y5时，_4取得最大值为2, x 2|b|故答案为2.16. (2013?北京)已知点 A (1, T), B (3,0), C (2, 1).若平面区域 D由所有满足AP=入AB+ N AC (K /2哆0加米的点P组成，则D的面积

23、为 3解：设P的坐标为(x, y),则AB= (2, 1), AC= (1,2),即=(x-1, y+1),AP二次 AB+口 AC,- - 1二2八十四jH-1= X +2 H、211人不算一力一133190 o. K 3 0仙石.点P坐标满足不等式组14岁一当-1420 V0< -作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形其中 C (4, 2), D (6, 3), E (5, 1), F (3, 0)1cF|= J (4-3) ：+ (2-0) ”向,CDEF及其内部点E (5, 1)到直线 CF: 2x - y - 6=0的距离为d=|2X5- 1 - 6| _3a/5v；

24、=，平行四边形CDEF的面积为S=|CF|刈=加交近=3,即动点P构成的平面区域 D的面积为3故答案为：317. （2012?湖南）如图，在平行四边形 ABCD中，AP，BD,垂足为P,且AP=3 ,贝U APAC =18 .【解答】 解：设AC与BD交于点O,则AC=2AO,. AP ±BD, AP=3 ,在 Rt APO 中，AOcos / OAP=AP=3| AC|cos / OAP=2| A0|>tos / OAP=2| AP|=6 ,由向量的数量积的定义可知，AP*AC=| AP|AC|cosZ PAO=3 >6=18故答案为：1818. （2012?北京）己知

25、正方形 ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点.则 而的值为【解答】解：因为DECB= DEDA= |而卜屈|8£左示=位'=1.故答案为：1D19. (2011?天津)已知直角梯形 ABCD 中，AD/BC, /ADC=90°, AD=2 , BC=1 , P 是腰DC上的动点，则|PA+3PB |的最小值为 5 .解：如图，以直线 DA, DC分别为x, y轴建立平面直角坐标系, 则 A (2, 0), B (1, a), C (0, a), D (0, 0)设 P (0, b) (04Q)则 PA= (2, - b), PB= (1, a b), PA+3P

26、B= (5, 3a-4b)|PA+3PBi =也5+ 1口-4b) ?若故答案为5.20. (2010?浙江)已知平面向量W,方(五#6，/卢F)满足1万1二1,且五与串-五的夹角为120°,则|五|的取值范围是(0,_3解：令用靛=五、 於T, 如下图所示：贝U 由 BC=JT - a,又五与下一五的夹角为120°,/ ABC=60 °又由AC= IT l=i由正弦定理得:1五1二 lEl sinC sinG00I五尸竽三inC邛.-.|*a|（0,差故II的取值范围是（0 3故答案：（0,21. （2010?天津）如图，在4ABC中，ADXAB,前二、年而，|

27、仁1,则正-75=在【解答】解：AC-AD=|AC HlADlcosZDAC,I ,T ' 3 I ” J 卜： I：,二二一 1 At，.1.cos / DAC=sin / BAC ,AC*AD=| AC |- I AD|cosZDAC= | AC | cs/DAC二 | AC|sinZBAC ,在 ABC中，由正弦定理得匝1=_股J变形得|AC|sin/BAC=|BC|sinB , sinB sinZBACAC -AD=lAC |-|AD|cosZDAC= | 菽 | cosZDAC= | AClsinZBAC,in 二|BC|sinB= |BC|T-=V3，DU故答案为Vs.22

28、. （2009以津）若等边ABC的边长为2VS,平面内一点M满足CM=曰CB+】CA,则63MAMB= - 2 .解：以C点为原点，以AC所在直线为x轴建立直角坐标系，可得C (Q, 0) , A 国氏 0) , B (a,3),连二(V5，3)，区二(2/ 0)，而=得而+热=(单，夕，故答案为：-2.三.选择题(共2小题)23. (2012?上海)定义向量 OM= (a, b)的相伴函数”为f (x) =asinx+bcosx ,函数f (x)=asinx+bcosx的相伴向量”为OM= (a, b)(其中O为坐标原点).记平面内所有向量的相伴函数”构成的集合为S.(1)设 g (x) =

29、3sin (x+ ) +4sinx ,求证：g (x) CS； 2(2)已知h (x) =cos (x+ a) +2cosx，且h (x) S,求其 相伴向量”的模；(3)已知M (a, b) (b用)为圆C: (x-2) 2+y2=l上一点，向量 赢的 相伴函数”f (x)在x=x0处取得最大值.当点 M在圆C上运动时，求tan2x 0的取值范围.【解答】 解：(1) g (x) =3sin (x+) +4sinx=4sinx+3cosx , 2其相伴向量而=(4, 3), g (x) CS.(2) h (x) =cos (x+ a) +2cosx=(cosxcos a- sinxsin a

30、) +2cosx=一sin osinx+ (cos a+2 ) cosx二.函数 h (x)的 相伴向量'0M= (- sin a, cos a+2).则 | 0M= 7 ( - sinQ )2+ (cosa+2)一屋 VSHcosCl .(3) 0M的相伴函数 f (x) =asinx+bcosx= 4/十匕 2sin (x+ 4),， a , b中 cos 6= j, sin 6= /当 x+(f)=2k 71+21, kCZ 时，f (x) 2取到最大值，故 x0=2k TV+2L- M ka.2柠卫，b2tan xntan2x 0=2Xro1-tan ) 1-目b2 br_a也为直线OM的斜率，