第一章数学建模

1、主讲主讲教师教师 袁志国袁志国超重力化工研究中心超重力化工研究中心电话：电话： 3921986mail：陈陈 芳主讲芳主讲精细化工方向精细化工方向课程介绍课程介绍性质性质 化工化工专业专业研究生研究生数学课程，侧重微分方程数学课程，侧重微分方程内容内容 数学建模与分析求解方法数学建模与分析求解方法大纲大纲 1. 化工问题的数学建模与案例分析；化工问题的数学建模与案例分析； 2. 常微分方程解析方法；常微分方程解析方法； 3. 一阶偏微分方程特征线法；一阶偏微分方程特征线法； 4. 二阶偏微分方程与分离变量法；二阶偏微分方程与分离变量法； 5. 近似解析方法。近似解析方

2、法。化工数学方法化工数学方法第一章第一章 化工问题的数学模型化工问题的数学模型1. 模型的意义与作用模型的意义与作用模型有什么用？模型有什么用？2. 建模方法建模方法怎样得到模型？怎样得到模型？3. 典型化工问题数学模型剖析典型化工问题数学模型剖析他山之石他山之石第一章 数学模型第一章 数学模型模型有什么用？1 模型的意义与作用模型的意义与作用1化学工程化学工程什么是化学工程什么是化学工程 ？ Chemical Engineering化工与化学区别在哪里化工与化学区别在哪里 ？化工与物理有什么联系化工与物理有什么联系 ？化工的研究对象是什么化工的研究对象是什么 ？化工解决什么问题化工解决什么问

3、题 ？化工有什么特有的方法化工有什么特有的方法 ？1化学工程化学工程物质与能量转化的过程规律的科学物质与能量转化的过程规律的科学李洪钟李洪钟Chemical engineering is the branch of engineering that deals with the application of physical science (e.g. chemistry and physics), with mathematics, to the process of converting raw materials or chemicals into more useful or valu

4、able forms Chemical engineering are for the most economical process. Wikipedia什么是化学工程？1化学工程化学工程研究工业规模的物质转化规律及技术手段研究工业规模的物质转化规律及技术手段u研究对象研究对象质量传递质量传递 动量传递动量传递 能量传递能量传递化学反应过程化学反应过程u解决的问题解决的问题装置放大装置放大过程设计过程设计什么是化学工程？什么是化学工程？1化学工程化学工程进一步的问题进一步的问题化工与化学区别在哪里化工与化学区别在哪里 ？为什么要研究为什么要研究“三传三传”和和“一反一反” ？放大放大 ( S

5、cale Up ) 是怎么一回事是怎么一回事 ？放大是怎么回事？放大是怎么回事？放大是自然界的普遍现象放大是自然界的普遍现象尺寸效应的理解示例尺寸效应的理解示例 西瓜为什么要挑大的？西瓜为什么要挑大的？ 小锅菜为什么比大锅菜好吃小锅菜为什么比大锅菜好吃？ 冷地方的动物为什么更胖？冷地方的动物为什么更胖？ 伽利略落球实验要是用塑料泡沫球来做，伽利略落球实验要是用塑料泡沫球来做，结果会怎样结果会怎样？什么是化学工程？挑西瓜的原则挑西瓜的原则 西瓜皮西瓜皮 S= 4 R2 西瓜瓤西瓜瓤 V=4/3 R3 比表面比表面 S/V=3/R西瓜越大切开后西瓜越大切开后皮所占比例越皮所占比例越少少，反之越多；

6、，反之越多； 最最简单的放大简单的放大效应。效应。什么是化学工程？什么是化学工程？自然选择：冷地方动物比表面积小，热地方动物比表面积大自然选择：冷地方动物比表面积小，热地方动物比表面积大为什么实验室装置与工业装置的结果会有不同？为什么实验室装置与工业装置的结果会有不同？类型一:换热比表面积随尺度增加线性减小 放大案例放大案例固定床放热反应器管径与换热面积的关系，固定床放热反应器管径与换热面积的关系，热点模拟，列管式反应器热点模拟，列管式反应器 放大案例放大案例化工装置爆炸事故的原因之一，搅拌釜放化工装置爆炸事故的原因之一，搅拌釜放大大 放大案例放大案例缩小，中试与小试装置为什么不能像大装缩小，

7、中试与小试装置为什么不能像大装置一样通过溶剂蒸发来换热？置一样通过溶剂蒸发来换热？什么是化学工程？为什么实验室装置与工业装置的结果会有不同？为什么实验室装置与工业装置的结果会有不同？类型二：线速度随尺度增加而增大 放大案例放大案例发酵中的搅拌问题，桨端剪切，导流筒发酵中的搅拌问题，桨端剪切，导流筒 放大案例放大案例多相反应器操作气速随塔径增大而增大多相反应器操作气速随塔径增大而增大Prexair纯氧氧化反应器为什么不能放大？纯氧氧化反应器为什么不能放大？导流筒鼓泡塔为什么不能用于导流筒鼓泡塔为什么不能用于PX氧化过程？氧化过程？ 多多层流化床反应器层流化床反应器为什么也很难放大？为什么也很难放

8、大？什么是化学工程？什么是化学工程？实验室小型发酵罐（带搅拌）实验室小型发酵罐（带搅拌） 大型啤酒发酵罐（无搅拌）大型啤酒发酵罐（无搅拌）什么是化学工程？Praxair PX纯氧氧化反应器纯氧氧化反应器 多层多层流化床流化床MTP反应器反应器为什么实验室装置与工业装置的结果会有不同？为什么实验室装置与工业装置的结果会有不同？类型三：装置的时间尺度随空间尺度增大而增大类型三：装置的时间尺度随空间尺度增大而增大大东西变化慢，小东西变化快大东西变化慢，小东西变化快 功率与转速、尺寸关系功率与转速、尺寸关系 P = NP = Nt tn n3 3 D D5 5单位体积功耗单位体积功耗 p p n3 D

9、2 尺度放大转速必然减慢尺度放大转速必然减慢大釜混合慢、小釜混合快，放大后的浓度不均匀现象大釜混合慢、小釜混合快，放大后的浓度不均匀现象 进一步推广进一步推广天、人、原子、宇宙的时间尺度与空间天、人、原子、宇宙的时间尺度与空间尺度都紧密相关尺度都紧密相关什么是化学工程？为什么实验室装置与工业装置的结果会有不同？为什么实验室装置与工业装置的结果会有不同？类型四：类型四： Reynolds 数变化导致流型改变数变化导致流型改变典型案例：搅拌釜典型案例：搅拌釜放大涉及放大涉及传热面积的变化：比表面积减小传热面积的变化：比表面积减小线速度的变化：桨端剪切速度增大线速度的变化：桨端剪切速度增大时间尺度的

10、变化：混合变差，浓度非均匀时间尺度的变化：混合变差，浓度非均匀流型的变化：流型的变化： 由层流到湍流由层流到湍流什么是化学工程？放大到底是咋回事？放大到底是咋回事？放大是一种随尺度变化而产生的物理效应，与化学放大是一种随尺度变化而产生的物理效应，与化学反应无关。这种效应将显著影响工业装置中的化学反应反应无关。这种效应将显著影响工业装置中的化学反应或其它形式的物质转化。或其它形式的物质转化。其它学科类似的问题其它学科类似的问题大飞机的制造大飞机的制造三峡防护大坝的合龙三峡防护大坝的合龙热工问题的相似放大方法热工问题的相似放大方法什么是化学工程？u化学工程的方法论化学工程的方法论解耦解耦热模研究：

11、考察化学反应规律热模研究：考察化学反应规律冷模研究：考察流动与传递规律冷模研究：考察流动与传递规律数学模型：反应器行为模拟数学模型：反应器行为模拟中间实验：三种模型的结合中间实验：三种模型的结合工业设计工业设计进行放大的先进方法进行放大的先进方法数学模拟放大数学模拟放大什么是化学工程？1我们所学的专业课程我们所学的专业课程化工原理：传递现象，单元操作，分离过程化工原理：传递现象，单元操作，分离过程反应工程：化工动力学，反应器流动与传递，反应工程：化工动力学，反应器流动与传递， 数学建模数学建模化工热力学：平衡关系，数据库估算化工热力学：平衡关系，数据库估算化工设计：工艺、设备、计算化工设计：工

12、艺、设备、计算与物理化学的内容有区别吗与物理化学的内容有区别吗？什么是化学工程？第一章数学模型模型有什么用？u化学工程发展史上的几个重要阶段化学工程发展史上的几个重要阶段19011920s：工业化学：工业化学化学工程化学工程19231930s：单元操作，化工数学：单元操作，化工数学19401950s：传递现象，数学模拟：传递现象，数学模拟19571960s：化学反应工程：化学反应工程1970s ：过程系统工程：过程系统工程趋势趋势模型化，数学化，学科成熟的标志模型化，数学化，学科成熟的标志u数学模型的作用数学模型的作用正问题：模拟、优化、控制、放大正问题：模拟、优化、控制、放大反问题：机理辨识

13、、参数求取反问题：机理辨识、参数求取u典型案例典型案例南亚上空的蘑菇云南亚上空的蘑菇云（1998）印巴核实验印巴核实验数学模拟技术的需求数学模拟技术的需求伊朗伊朗2003年计算机模拟核弹头年计算机模拟核弹头 （2011.11.9 IAEA Report）u典型案例典型案例COCO2 2排放与气候变暖模型排放与气候变暖模型第一章数学模型模型有什么用？3 建模建模一般步骤一般步骤认识论的规律认识论的规律第一章数学模型建模方法 真实对象 物 理 模型 数 学 模 型 认认 识识核验核验表表述述u模型标准模型标准内容真实内容真实 平面镜平面镜CT透镜透镜形式简单形式简单 图象清晰，特征突出图象清晰，特

14、征突出 u建模关键建模关键区分主次、合理简化区分主次、合理简化抓住主要因素，突出主要特征抓住主要因素，突出主要特征追求简单，追求深刻追求简单，追求深刻的哲学是近代科学的思想根源的哲学是近代科学的思想根源1历史经典历史经典- -第谷关于行星运行的实验观察资料第谷关于行星运行的实验观察资料- -开普勒三定律开普勒三定律- -牛顿万有引力和第二定律牛顿万有引力和第二定律第一章数学模型建模方法第一章数学模型建模方法Isaac Newton 1642-1727英国英国Johanns Ke-pler15711630德国德国 Tycho Brahe1546-1601丹麦丹麦历史经典历史经典改变文明发展轨迹的

15、思维方式1文化反思文化反思西方宗教的一神论，本原的简单性，易产生近代科学西方宗教的一神论，本原的简单性，易产生近代科学中国宗教的多神论，天人合一的认识与对自然的解释，导中国宗教的多神论，天人合一的认识与对自然的解释，导致神秘论与玄学，妨碍了对科学本原的探索致神秘论与玄学，妨碍了对科学本原的探索u怎么区分主次怎么区分主次根据建模目的根据建模目的突出问题特征突出问题特征第一章数学模型建模方法1实例实例气液传质的双膜模型气液传质的双膜模型传质阻力集中于界面附近的抽象传质阻力集中于界面附近的抽象 边界层边界层 渗透层渗透层管式反应器模型管式反应器模型停留时间影响的最简单模型停留时间影响的最简单模型均相

16、混合的搅拌釜模型均相混合的搅拌釜模型模型的特征与复杂度模型的特征与复杂度混合时间混合时间/ /反应时间反应时间第一章数学模型建模方法双双 膜膜 模模 型型渗透模型与表面更新模型渗透模型与表面更新模型Whiteman（1923） Higbie (1935), Dankwerts(1951)第一章数学模型建模方法第一章数学模型建模方法气泡流动的两种典型物理模型气泡流动的两种典型物理模型1. 绕球边界层（流动显示图片）绕球边界层（流动显示图片）第一章数学模型建模方法 绕球边界层的脱离（数值模拟）绕球边界层的脱离（数值模拟）第一章数学模型建模方法气泡流动的两种典型物理模型气泡流动的两种典型物理模型2.

17、 表面滑移流动表面滑移流动纯净液体纯净液体大气泡大气泡两类气泡模型比较两类气泡模型比较化学工程化学工程 流体力学流体力学双膜模型双膜模型-边界层绕流模型边界层绕流模型 J D J D1/2 为经验参数 无经验参数渗透模型渗透模型-气泡滑移模型气泡滑移模型 J D1/2 J D1/2 为经验参数 无经验参数第一章数学模型建模方法两类模型比较两类模型比较 双膜模型双膜模型-流体力学模型流体力学模型建模目的： 液膜化学吸收由第一原理确定流场主要特征： 传质-反应关系界面附近的流动 双膜模型的合理性：双膜模型的合理性：简化流动与传质，突出传质与反应的关系由于传质集中在界面附近，可以用膜厚等效等效表示阻

18、力，实验测定传质系数kLa第一章数学模型建模方法管道流动模型管道流动模型 化学工程模型化学工程模型 流体力学模型流体力学模型Dankwerts 1953 Hagen & Poiseuille 层流1840平推流+扩散 Plandtl 湍流混合长1920s RTD 理论 Taylor 扩散1938第一章数学模型建模方法管道流动模型管道流动模型第一章数学模型建模方法化学工程化学工程流体力学流体力学模型内容模型内容平推流平推流+ +扩散流扩散流 RTD RTD 测量测量层流模型，湍流模型层流模型，湍流模型 CFDCFD模拟模拟建模目的建模目的描述停留时间、返混状描述停留时间、返混状态对化学反

19、应的影响态对化学反应的影响从第一原理出发确定流从第一原理出发确定流场分布场分布主要简化主要简化等效扩散系数等效扩散系数大尺度脉动大尺度脉动搅拌釜模型搅拌釜模型流体力学模型湍流方程CFD模拟化学工程模型根据反应快慢确定模型复杂度第一章数学模型建模方法反应区F,cA0反应区反应区F,cA0釜区反应区釜区F,cA0慢反应，均相混合慢反应，均相混合 快反应，两区模型快反应，两区模型极快反应，微观混合极快反应，微观混合F传统化学工程单元模型的特点传统化学工程单元模型的特点 突出传递与反应之间的关系 对“三传”的描述根据反应的要求确定 用于设计计算，难以从第一原理出发进行放大预测，后者还需采用可靠的流体力

20、学与传递模型。F近些年来化学工程模型化发展趋势近些年来化学工程模型化发展趋势 与流体力学结合，进行反应器CFD模拟 与量子化学结合，构造复杂反应网络与动力学第一章数学模型建模方法第一章数学模型建模方法3 化工问题的数学表述化工问题的数学表述1. 守恒方程（守恒方程（balance equations)质量守恒、动量守恒、能量守恒、粒数守恒质量守恒、动量守恒、能量守恒、粒数守恒通用公式：通用公式：输入项输入项 输出项输出项 生成项生成项 积累项积累项 注意问题：注意问题：对象的选择对象的选择坐标系的选择坐标系的选择u化学工程发展史上的几个重要阶段化学工程发展史上的几个重要阶段19011920s：

21、工业化学：工业化学化学工程化学工程19231930s：单元操作，化工数学：单元操作，化工数学19401950s：传递现象，数学模拟：传递现象，数学模拟19571960s：化学反应工程：化学反应工程1970s ：过程系统工程：过程系统工程第一章数学模型建模方法例例1 1 均相釜式反应器数学模型均相釜式反应器数学模型衡算对象衡算对象单元单元AAAAininVcdtdVrFccFFin,cAinVF,cA图1.3连续釜式反应器u化学工程发展史上的几个重要阶段化学工程发展史上的几个重要阶段19011920s：工业化学：工业化学化学工程化学工程19231930s：单元操作，化工数学：单元操作，化工数学1

22、9401950s：传递现象，数学模拟：传递现象，数学模拟19571960s：化学反应工程：化学反应工程1970s ：过程系统工程：过程系统工程第一章数学模型建模方法例例2 2 管式反应器管式反应器衡算对象衡算对象微元微元xdxv,cAinv,cAL0图1.4 管式反应器u化学工程发展史上的几个重要阶段化学工程发展史上的几个重要阶段19011920s：工业化学：工业化学化学工程化学工程19231930s：单元操作，化工数学：单元操作，化工数学19401950s：传递现象，数学模拟：传递现象，数学模拟19571960s：化学反应工程：化学反应工程1970s ：过程系统工程：过程系统工程第一章数学模

23、型建模方法输入输入输出输出xAAAJvAc xcDJAAAAAAAAAx dxxvAcAJvAcAJvAcAJdxxAdxckAA)(AdxctAA的积累速率微元内生成速率生成速率第一章数学模型建模方法xcDxckvcxtcAAAAAA)(反应器衡算方程反应器衡算方程初始与边界条件初始与边界条件00:0:1:0AAAinAAAtcccxvcvcDxcxx=-=u化学工程发展史上的几个重要阶段化学工程发展史上的几个重要阶段19011920s：工业化学：工业化学化学工程化学工程19231930s：单元操作，化工数学：单元操作，化工数学19401950s：传递现象，数学模拟：传递现象，数学模拟195

24、71960s：化学反应工程：化学反应工程1970s ：过程系统工程：过程系统工程第一章数学模型建模方法例例3 3 催化剂颗粒催化剂颗粒 衡算对象衡算对象微元，柱坐标与球坐标微元，柱坐标与球坐标xdxdrzr0rdru化学工程发展史上的几个重要阶段化学工程发展史上的几个重要阶段19011920s：工业化学：工业化学化学工程化学工程19231930s：单元操作，化工数学：单元操作，化工数学19401950s：传递现象，数学模拟：传递现象，数学模拟19571960s：化学反应工程：化学反应工程1970s ：过程系统工程：过程系统工程第一章数学模型建模方法球型颗粒球型颗粒选择球壳型微元 输入项： 输出

25、项： 生成项： 积累项： 0 整理得：drdcrDAA240rdrdrdrdcDrdrddrdcrDAAAA)4(422 drrckAA24 0)(122AAAAckdrdcDrdrdr第一章数学模型建模方法一般式一般式AAAAssckdxdcDxdxdx)(1S0: 片型颗粒片型颗粒S1: 圆柱型颗粒圆柱型颗粒S2：球形颗粒：球形颗粒第一章数学模型建模方法3 化工问题的数学表述化工问题的数学表述2. 本构关系（本构关系（Constitutive Relations)物理量之间满足的本征结构关系物理量之间满足的本征结构关系热力学平衡关系热力学平衡关系动力学速率关系动力学速率关系3.3.定解条件

26、定解条件初始条件初始条件边界条件边界条件适定性问题适定性问题第一章数学模型建模方法4 无量纲化问题无量纲化问题1. 1. 为什么要无量纲化？为什么要无量纲化？减少参数数目减少参数数目变量规一化变量规一化获取问题的特征无量纲数获取问题的特征无量纲数2.2.如何无量纲化？如何无量纲化？选择自变量与因变量的特征尺度，将变量与方程无选择自变量与因变量的特征尺度，将变量与方程无量纲化量纲化第一章数学模型建模方法例例1 1 气液传质的双膜模型气液传质的双膜模型选择选择022nAAAAckdxcdD ALAAiAcccc,0/,/xzcccAiA第一章数学模型建模方法得得LnccccHadzcd)1(, 1

27、)0(0222AnAiADckHa1第一章数学模型建模方法例例2 2 管式反应器管式反应器22xcDckxcvtcAAAAAA0, 0:0 xctA0AAAinxcvcDvcx1:0Acxx第一章数学模型建模方法选取选取得得/ ,/ ,/AAinzx ltv lccc22010 :(0,)010 :11 :0zcccD aczPezczczcPezczz第一章数学模型建模方法,vklDa ADvlPe ),(),(1PeDafcltcXAinAA第一章数学模型建模方法例例3 3 管道阻力问题管道阻力问题1919世纪的水力学手册世纪的水力学手册二十世纪的阻力曲线二十世纪的阻力曲线,vlfWRef

28、第一章数学模型建模方法3.3. 关于相似放大问题关于相似放大问题相似放大：模型与原型保持无量纲相似准数相同相似放大：模型与原型保持无量纲相似准数相同对于物理过程，某些条件下可以满足相似条件对于物理过程，某些条件下可以满足相似条件对于化学过程，难以选择反应体系来满足相似条件对于化学过程，难以选择反应体系来满足相似条件所以，相似放大对反应过程一般不可行所以，相似放大对反应过程一般不可行数学模型放大是化学反应工程发展的趋势数学模型放大是化学反应工程发展的趋势第一章数学模型典型问题5 催催 化化 剂剂 颗颗 粒粒 模模 型型历史回顾历史回顾化学工程中持续的研究热点化学工程中持续的研究热点1910 -1

29、930s : 催化剂内扩散阻力，有效系数催化剂内扩散阻力，有效系数1950s-1970s:催化剂颗粒的热稳定性，多重态催化剂颗粒的热稳定性，多重态1970s-1980s:催化剂异型化，异型催化剂催化剂异型化，异型催化剂颗粒内部的活性分布，蛋壳、蛋颗粒内部的活性分布，蛋壳、蛋白、蛋黄型白、蛋黄型2011- ： 仿生型催化剂芯片仿生型催化剂芯片第一章数学模型典型问题1历史回顾历史回顾催化剂颗粒模型研究的名人名家催化剂颗粒模型研究的名人名家Aris R Villadsen J袁权袁权第一章数学模型典型问题5 催催 化化 剂剂 颗颗 粒粒 模模 型型AAssAAprxcxxxDtc)(1AsspHrx

30、TxxxktTc)(1第一章数学模型典型问题物理过程特征分析物理过程特征分析颗粒内部：传热快，传质慢颗粒内部：传热快，传质慢颗粒外部：传质快，传热慢颗粒外部：传质快，传热慢因此，传质阻力在粒内，传热阻力在粒外因此，传质阻力在粒内，传热阻力在粒外固体热容大，气体浓度小固体热容大，气体浓度小因此，保留温度变化项，忽略浓度变化项因此，保留温度变化项，忽略浓度变化项第一章数学模型典型问题合理假设合理假设颗粒内部温度均匀，浓度考虑为拟稳态颗粒内部温度均匀，浓度考虑为拟稳态将两个偏微分方程的问题简化为两个常微分方程的问题。将两个偏微分方程的问题简化为两个常微分方程的问题。)11(exp)(102uyxyx

31、xxss1102)11 (exp)() 1(sbiydxuuuBsdud第一章数学模型典型问题6 固定床反应器的拟均相模型固定床反应器的拟均相模型拟均相假设：不考虑流体固体差别拟均相假设：不考虑流体固体差别1. 二维拟均相模型（用于热点计算）二维拟均相模型（用于热点计算）Rrdrdz图1.9 固定床中的环形微元ABArArrcrrrDzcv)(1ABrpggHrrTrrrkzTvc)(1第一章数学模型典型问题2. 一维瞬态模型（用于动态操作一维瞬态模型（用于动态操作)Danckwerts边界条件：边界条件：AAAzAAckzcDzcvtc22)(2)(22TTRhckHzTkzTvctTcwA

32、AzpggpBB10 xcx关于关于Danckwerts边界条件边界条件的争论的争论第一章数学模型典型问题10 xcxDanckwerts P V(left)第一章数学模型典型问题3. 固定床仿生反应器模型固定床仿生反应器模型分布式进料/分布式出料网络动脉进料系统，静脉出料系统，催化剂组织细胞系统降低压降和催化剂粒径，将反应器小型化和强化第一章数学模型典型问题7 色谱过程的数学模型色谱过程的数学模型色谱：非均相的流动吸附分离过程色谱：非均相的流动吸附分离过程1. 1. 平衡色谱平衡色谱221iiiizcccnvDtxxiiNiiiicKcKNn1第一章数学模型典型问题2. 2. 非平衡色谱非平

33、衡色谱床层模型床层模型颗粒模型颗粒模型221xcDxcvcctzp)0 ()(1)1 (RrrcrrrDtntcFssppFp第一章数学模型典型问题活性位吸附模型活性位吸附模型界面平衡模型界面平衡模型)(FsFaccktn)(Fscfn 第一章数学模型典型问题Amundson N R第一章数学模型典型问题xc色谱分离过程中组分浓度分布变化第一章数学模型典型问题8 分批结晶器与连续结晶器的粒数衡算模型分批结晶器与连续结晶器的粒数衡算模型 成核动力学成核动力学晶体生长动力学晶体生长动力学bNckdtdnB)(gGckdtdlG)(第一章数学模型典型问题晶体生长的物理图像晶体生长的物理图像ldlGG

34、n0nt=0Gl0G0t=0t=t1t=t2nl图1.12 无成核时晶种生长的粒度分布曲线图1.13 恒速成核时的粒度分布曲线第一章数学模型典型问题晶体粒数衡算晶体粒数衡算 在在ll+dl区间内由于生长而输入的粒子数区间内由于生长而输入的粒子数 在在ll+dl区间内由于长大而离开的粒子数区间内由于长大而离开的粒子数在在ll+dl区间内的粒子数变化区间内的粒子数变化VnGNlindlVGnlVnGVnGNldllout)()(ndlVt第一章数学模型典型问题因此，粒数衡算方程为因此，粒数衡算方程为0()00 :( )0 :nG ntltnnlBlnG第一章数学模型典型问题9 边界层中的流动与传递边界层中的流动与传递1经典故事经典故事：边界层史话：边界层史话第一章数学模型典型问题名人名家名人名家普朗特普朗特Ludwig Prandtl, 18751953德国力学家，近代力学奠基人德国力学家，近代力学奠基人我只是在相信自己对物理本质已经有深入了解之后，才想到数学方程。方程的用处是说出量的大小，这是直观得不到的，同时它也证明结论是