抽象函数专题

1、精选优质文档-倾情为你奉上抽象函数专题讲座抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数。一.抽象函数定义域1已知的定义域，求的定义域其解法是：若的定义域为，则在中，从中解得的取值范围即为的定义域例1.已知函数的定义域为，求的定义域解：的定义域为，故函数的定义域为2、已知的定义域，求的定义域其解法是：若的定义域为，则由确定的的范围即为的定义域例2已知函数的定义域为，求函数的定义域解：由，得令，则，故的定义域为二.抽象函数表达式与函数值1. 换元法.例3. 已知f(1+ x2)=2+ x2+x4, 求f(x)解:令t=1+ x2 原式即为：2.待定系数法：如果抽象函数的类型

2、是确定的，可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。例4.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (a0)代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1. 3.赋值法：有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。例5.对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2f(y)2且f(1)0,则f(2001)=_.解:令x=y=0,得：f(0)=0,令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f(1)2,三、抽象函数的模型构造1

3、、线性函数型抽象函数f（x）kx（k0）-f（x±y）f（x）±f（y）例6、已知函数对任意实数x，y，均有，且当时，求在区间2，1上的值域。解：设，则，当时，即，为增函数在条件中，令yx，则，再令xy0，则， ，故，为奇函数，又，的值域为4，2。2、指数函数型的抽象函数 f（x）ax- f（xy）f（x）f（y）；f（xy）例7定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当时，（1）试求的值；（2）判断的单调性并证明你的结论；（3）试举出一个满足条件的函数解：（1）在中，令得：因为，所以，（2）要判断的单调性，可任取，且设在已知条件中，若取，则已知条件可化为：由于，所以为比

4、较的大小，只需考虑的正负即可在中，令，则得 时， 当时，又，所以，综上，可知，对于任意，均有 函数在R上单调递减（3）如3、对数函数型的抽象函数f（x）logax（a>0且a1）-f（x·y）f（x）f（y）；f（） f（x）f（y）例8、已知函数满足定义域在上的函数，对于任意的，都有，当且仅当时，成立，（1）设，求证；（2）设，若，试比较与的大小；（3）解关于的不等式证明：（1），（2），即当且仅当时，成立，当时，（3）令代入得，关于的不等式为，由（2）可知函数在定义域上是减函数，由得，当时，此时成立；当时，此时成立；当，此时成立。4、幂函数型的抽象函数 -，；例9.已知定义

5、在上的函数f(x)对任何x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)>0,当x>1时,有f(x)<1.（1）判断f(x)的奇偶性（2）判断并证明f(x)在(0,+)上的单调性.（3）求解不等式f()1解:（1）令y1，则，再令xy1，则， ，再令xy-1，则， ，故，为偶函数，（2）所以f(x1)>f(x2),故f(x)在R+上为减函数.(3)由（2）知函数在定义域内是单调递减的不等式f()即为学生练习：一填空题1. 若的定义域为，则的定义域为 2.若函数的定义域为,则函数的定义域为 3、函数f(x)的定义域为，对 任意正实数x,y都有f(xy)= f(x)+f(

6、y) 且f(4)=2 ，则 4（1）已知是一次函数，且满足， = ；（2）已知，= ；答案：（1） （2）（或）。5.已知是定义在R上的偶函数,且在是增函数,则不等式的解集是_.解:由已知O 1 2 3 xy.6.已知是定义在上的奇函数，当时，的图像如右图所示，那么不等式的解集是_；7._ 20008设f (x)是定义在R上的函数。对任意x1，x2，都有f (x1x2)f (x1)·f (x2)，且f(1)a0的值为_ 解： 由知：0，x0，1 ，f (1)a0，二、解答题9、已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（xy）2f（x）f（y），且当x>0时，f(x)>2，f

7、(3) 5，求不等式的解.解：先证明函数f（x）在R上是增函数；再求出f（1）3；最后脱去函数符号.得10.设定义在R上的函数f(x),满足当x>0时,f(x)>1,且对任意x,yR,有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2解:(1)先证f(x)>0,且单调递增，因为f(x)=f(x+0)=f(x)f(0),x>0时f(x)>1,所以f(0)=1.f(x)=f(x-xo)+xo=f(x-xo)f(xo)=0,与已知矛盾，故f(x)>0任取x1,x2R且x1<x2,则x2-x1>0,f(x2-x1)>1,所以f(x1)-f(x2)=f(

8、x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)f(x2-x1)-1>0.所以xR时,f(x)为增函数. 解得:x|1<x<2(2)f(1)=2,f(2)=2,f(3)=8,原方程可化为:f(x)2+4f(x)-5=0,解得f(x)=1或f(x)=-5（舍)由(1)得x=0.11.函数的定义域为R,并满足以下条件:对任意,有>0;对任意,有;.(1)求的值;(2)求证: 在R上是单调增函数;(3)若且,求证:. (1)解: 对任意,有>0, 令得,(2)任取任取,则令,故 函数的定义域为R,并满足以下条件:对任意,有>0;对

9、任意,有;函数是R上的单调增函数.(3) 由（1）（2）知，而12.定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x0时f(x)0恒成立.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明f(x)为减函数；若函数f(x)在-3，3）上总有f(x)6成立，试确定f(1)应满足的条件；解:（1）由已知对于任意xR，yR，f（x+y）=f（x）+ f（y）恒成立令x=y=0，得f（0+0）= f（0）+ f（0），f（0）=0令x=-y，得f(x-x)= f(x)+ f(-x)=0对于任意x，都有f(-x)= - f(x)f(x)是奇函数.（

10、2）设任意x1，x2R且x1x2，则x2-x10，由已知f（x2-x1）0（1）又f（x2-x1）= f（x2）+ f（-x1）= f（x2）- f（x1）（2）由（1）（2）得f(x1)f(x2),根据函数单调性的定义知f(x)在(-，+)上是减函数.f(x)在-3，3上的最大值为f(-3).要使f(x)6恒成立，当且仅当f(-3)6，又f（-3）= - f（3）= - f（2+1）=- f（2）+ f（1）= - f（1）+ f（1）+ f（1）= -3 f（1），f（1）-2.（3） f（ax2）- f（x） f（a2x）- f（a）f（ax2）- f（a2x）nf（x）- f（a）f（ax2-a2x）nf（x-a）（10分）由已知得：fn（x-a）=nf（x-a）f（ax2-a2x）f