第7讲-周期信号的傅立叶级数分解

1、 2/2/.cos).(2TTndttntfTadttntfTbTTn.sin).(22/2/1 2/2/0).(12TTdttfTa直流分量：一个周期内的平均直流分量：一个周期内的平均)sincos(2)(10tnbtnaatfnnn 12T x xy yT T 2 A A例例1:一周期矩形脉冲信号一周期矩形脉冲信号,高度为高度为A,周期周期T,其此信号的傅其此信号的傅立叶级数立叶级数解解:TAdttfTaTT 2/2/0)(12 2/2/cos)(2TTntdtntfTa 2/2/cos2 tdtnAT2/)2/sin(2 nnTA 2/2/sin)(2TTntdtntfTb=0)2/(2

2、 nsaTAx xy yT T 2 A AT 2 )cos)2(21()(1tnnSaTAtfn 三角形式：三角形式：例例2:一周期矩冲信号一周期矩冲信号,高度为高度为A,周期周期T,其此信号的傅立叶级数其此信号的傅立叶级数 5 . 0004/122tdta 5 . 00205 . 00)(ttttf5 . 00)cos(2T2dttntan bababavduuvudv分部积分分部积分 5 . 00)sin(4)sin(4dttnntnn25 . 002)(1)cos()sin()(4 nntnn 5 . 00)sin(2T2dttntbn nn )cos( x xy yT T 2 A AT

3、 2 三角形式：三角形式：)2/(2nsaTAansin(x)/x 取样信号取样信号(sample)2/(2nsaTAan)2/(2 nsaTA 2/2/cos)(2TTntdtntfTa结论：结论：(此结论具有一般性此结论具有一般性)1 收敛性收敛性:n增加增加,an,bn总体趋势减小的。总体趋势减小的。2 Gibbs现象：现象：n增加，间断点的误差还是很大增加，间断点的误差还是很大 二二 狄利赫利条件：狄利赫利条件：任意一周期信号只要满足狄利赫利条件，可展开任意一周期信号只要满足狄利赫利条件，可展开成正交函数线性组合的无穷级数：成正交函数线性组合的无穷级数： 狄利赫利条件：狄利赫利条件：在

4、一个周期内只有有限个间断点；在一个周期内只有有限个间断点；在一个周期内有有限个极值点；在一个周期内有有限个极值点；在一个周期内函数绝对可积，即在一个周期内函数绝对可积，即一般工程信号都可以满足此条件一般工程信号都可以满足此条件 dttfTtt. )(00tjnnnenAtf )()(三三 傅立叶级数的指数形式傅立叶级数的指数形式dtetfTATTtjnn 22)(1是是完完备备正正交交集集 ,2,1,0ntjne从信号分解求解系数从信号分解求解系数: 2222*22*)(1)(TTtjnTTtjntjnTTtjnndtetfTdteedtetfA欧拉公式：欧拉公式： sincosjej )si

5、ncos(2)(10tnbtnaatfnnn T 2 欧拉公式：欧拉公式： sincosjej )sincos(2)(10tnbtnaatfnnn )22(210jeebeeaatjntjnntjntjnnn )22(210tjnnntjnnnnejbaejbaa ) 0()(21 njbaAnnn)(21nnnjbaA 2)0(0aA 三角系数和指数系数关系三角系数和指数系数关系:共轭共轭引入了负频率引入了负频率tjnnnenAtf )()(dtetfTATTtjnn 22)(1)sincos(2)(10tnbtnaatfnnn T 2 x xy yT T 2 A A例例1:一周期矩形脉冲信

6、号一周期矩形脉冲信号,高度为高度为A,周期周期T,其此信号的傅其此信号的傅立叶级数立叶级数解解:TAdttfTaTT 22012/)(na2/)2/sin(2 nnTA0nbx xy yT T 2 A AT 2 )cos)2(21()(1tnnSaTAtfn 三角形式：三角形式：信号合成信号合成tjnnnenSaTAtf )2()( 指数形式：指数形式：四四 函数奇偶与谐波分量的关系函数奇偶与谐波分量的关系x xy yT T 2 A A1 偶函数偶函数 只有直流和只有直流和 an相，相，bn=0思考：思考：f(t)为实偶函数，其指数形式傅立叶级数系数是什么数？为实偶函数，其指数形式傅立叶级数系

7、数是什么数？TtnnnTAtfn 2),cos2/)2/sin(21()(1 2 奇函数奇函数 只有只有bn,直流和直流和an为零为零E/2-E/2T1/2-T1/2f(t)T 0.)3sin312sin21(sin)(111tttEtf思考：思考：f(t)为实奇函数，其指数形式傅立叶级数系数是什么数？为实奇函数，其指数形式傅立叶级数系数是什么数？T1/2-T1/20t)2()(1Ttftf 3 奇谐函数奇谐函数 ：01212 kkbaT1/2-T1/20t)2()(1Ttftf 实质：实质：T=T1/2,=2 1偶函数偶函数偶，奇谐函数偶，奇谐函数奇，奇谐函数奇，奇谐函数x xy yT/4T/40 0-T/4-T/4A Ax xy yT/4T/40 0-T/4-T/4A Ax xy yT/4T/40 0-T/4-T/4A AA 直流、正弦及余弦项直流、正弦及余弦项 B 只有直流、正弦项只有直流、正弦项 C 只有直流、只有直流、 余弦项余弦项 D 只有直流、奇次余弦项只有直流、奇次余弦项E 只有直流、奇次正弦项只有直流、奇次正弦项 -31-11t235例：如图所示的信号中，含有谐波分量为例：如图所示的信号