数形结合法巧解函数问题

1、数形结合法巧解函数问题湖南祁东育贤中学 周友良 421600衡阳县三中 欧阳志辉数形结合是数学中的一种非常重要的思想方法。华罗庚曾说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。有时仅从“数”中观察很难入手，但如果把数量关系转化为图形的性质来确定，借助形的生动和直观性来阐明数量之间的联系，往往会产生“春雨断桥人不渡，小舟撑出柳荫来”的美妙感觉。一借助点到直线的距离公式模型例1、求函数的最值。略解 原函数改造为,将其中理解为动点至直线的距离即可，不难得出动点 的轨迹为单位圆的上半部分，如图2,从而易得函数在是减函数，在是增函数，因此求得当时，； 当时，。 二借助两点之间的距

2、离公式模型 例2、求的最小值。y(0,-2)xP(x,0)A(1,2)B(0,2) 解：先将函数的表达式进行有目的的转化： 设点A(1,2),B(0,2),P(x,0),点关于x轴的对称点为(0,-2),则，即，所以f(x)的最小值是注意：把函数转变成距离和,利用对称点.根据形(三角形边边关系)解决数(求函数最大(小)值)的问题,这种“数”转“形”的思想是解决A(0,1)P(x,x2)B(3,2)解析几何的主要方法之一.例3、求函数的最大值 解：先将函数的表达式进行有目的的转化：，它的几何意义是抛物线上的点到点A(3,2)与B（0，1）的距离之差。如图，连接AB并延长交抛物线于P，由三角形性质

3、可知：三利用斜率模型。 例4、已知实数x,y满足 ，求 的最小值。分析：如应用纯代数知识进行求解，令 方程联立进行消元，得：，再根据x的范围应用根的分布得：yx0(5,0)那计算量将是非常大。如将看成是过椭圆上的点（x,y）,(5,0)的直线斜率尤如“柳暗花明又一村”解：由得，看成是过椭圆上的点（x,y）,(5,0)的直线斜率设为k，故可以联立 得令得，故本题也可以改成：求的值域。分析：此题的一般实质是一个二元方程，求函数值域，实质就是要使方程有解，求y的取值范围，因此可转化为方程问题解决。主要的步骤有：（1）把函数化为三角函数（2）利用正弦函数的有界性得出关于y的不等式（3）解得不等式的值域

4、为。如果借助图象解决主要的步骤是，其几何意义为过与（5，0）两点的斜率。点是在上的点，其解题过程如上。例5、求函数的最值。略解 令vouAM1M2（*），构造椭圆曲线，则表示椭圆（*）（第一象限部分，包括）上一点与点两点连线的斜率。由图4可知， 图4的斜率范围是：，即当时，当时。三借助图象和导函数知识分析高次函数例6.设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）12xyO12xyO12xyO12xyO12xyOABCD分析：由导函数的图象知导函数在x=0和2时的导函数 值为0，故原来的函数在x=0和2时取得极值。当时，导函数值为正（或0），当时，导函数值为负,所以当时函数为增函

5、数 ，当时，函数为减函数，故选项为C。图23例7.已知函数f（x）ax3bx2cxd的图象如图23，则（ ）A.b（，0） B.b（0，1）C.b（1，2） D.b（2，）答案：A解法一：分别将x0，x1，x2代入f（x）ax3bx2cxd中，求得d0，ab，cb，f（x）当x（,0）时，f（x）0，又0，b0x（0，1）时，f（x）0，又0，b0x（1,2）时，f（x）0，又0，b0x（2）时，f（x）0，又0，b0故b（0）.解法二：由此题的函数图象可以联想到解高次不等式时所用的图象法a0，x1，x2，x3为图象与x轴的交点x12，x21，x30，ax3bx2cx+d=a（xx1）（xx2）（xx3）a（x2）（x1）（x0）f（x）=ax33ax22ax，又a0，b3a，b0选A解法三：函数f（x）的图象过原点，即f（0）=0得d=0又因f（x）的图象