计算方法——插值法综述

1、计算方法插值法11223510 李晓东在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，然而，这种关系经常很难有明显的解析表达，通常只是一些离散数值。有时即使给出了解析表达式，却由于表达式过于复杂，使用不便，且不易于计算与分析。解决这类问题我们往往使用插值法：用一个“简单函数”逼近被计算函数，然后用的函数值近似替代的函数值。插值法要求给出的一个函数表，然后选定一种简单的函数形式，比如多项式、分段线性函数及三角多项式等，通过已知的函数表来确定作为的近似，概括地说，就是用简单函数为离散数组建立连续模型。一、 理论与算法（一）拉格朗日插值法在求满足插值条件次插值多项式之前，先考虑一个简单的插值

2、问题：对节点中任一点，作一n次多项式，使它在该点上取值为1，而在其余点上取值为零，即（1.1）上式表明个点都是次多项式的零点，故可设其中，为待定系数。由条件立即可得 （1.2）故 （1.3）由上式可以写出个次插值多项式。我们称它们为在个节点上的次基本插值多项式或次插值基函数。利用插值基函数立即可以写出满足插值条件的次插值多项式 （1.4）根据条件（1.1），容易验证上面多项式在节点处的值为，因此，它就是待求的次插值多项式。形如式（1.4）的插值多项式就是拉格朗日插值多项式，记为，即 （1.5）为了便于上机，常将拉格朗日插值多项式（1.5）改写成： （1.6）下图给出了利用式（1.6）计算x处函

3、数值的程序流程图：y0输入xi,yi(i=1,2.,n)及n,xyy+P*yk 输出x,y k=1,2,.,nP1 j=1,2,.,n是j=k? PP*(x-xj)/(xk-xj)否根据流程图用matlab语言编写的函数为：function y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j=k p=p*(x(i)-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end（二）分段线性插值法由于高次的插

4、值多项式有不收敛现象,有时会出现较大的误差,不能有效的逼近被插函数,所以人们提出了用分段的低次多项式逼近被插函数,这就是分段插值方法。常见的有分段线性插值和分段二次插值，本文使用的是分段线性插值法。当给定了个点上的函数值后，若要计算点处函数值的近似值。可先选取两个节点与，使，然后在小区间上座线性插值，即得：（2.1）相应的程序流程图如下：输入xi ,yi(i=1,2,.,n)及n,x j=1,2,.,n-1 输出x,P1(x) 按公式（2.1）计算P1(x)xxj,xj+1?是否根据流程图用matlab语言编写的函数为：function y=seg_linear(x0,y0,x)n = len

5、gth(x0);m=length(x);for i=1:m for j=1:n-1 if x(i)=x0(j) if x(i)=x0(j+1) y(i)=y0(j)*(x(i)-x0(j+1)/(x0(j)-x0(j+1)+y0(j+1)*(x(i)-x0(j)/(x0(j+1)-x0(j); end end endend（三）牛顿插值法设有函数，,为一系列互不相等的点，称为关于点的一阶差商。一般的称（3.1）为关于点的k阶差商。 则其中（3.2）（3.3）显然，是满足插值条件的至多n次的多项式。可得。因而它是的n次的插值多项式。我们称为牛顿插值多项式。在实际计算中，经常利用由式（3.1）构造

6、出的差商表3.1计算差商，即由表3.1中加下划横线的差商值直接构造插值多项式（3.2）表3.1 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商yy+F(1,1) 输出F,y输入xi,yi(i=1,2,.,n)及n,x j=2,3,.,n i=j,j+1,.,nF(i,j)F(i,j-1)-F(i-1,j-1)/(xi-xi-j+1) t1 i=1,2,.,k-1t(x-xi)*tj=2,3,.,nyy+F(j,j)*t程序流程图为： function y=newton(x0,y0,x)x0=x0(:);y0=y0(:);n=length(x0);m=length(x);F=zeros(n,n); %均

7、差表二维矩阵，对角线上元素对应y=0*x; %插值点对应的近似值F(:,1)=y0; %均差表第一列为已知节点函数值for j=2:n for i=j:n F(i,j)=(F(i,j-1)-F(i-1,j-1)/(x0(i)-x0(i-j+1); end endfor j=1:m for k=2:n t=1; for i=1:k-1 t=(x(j)-x0(i)*t; end y(j)=y(j)+F(k,k)*t; end y(j)=y(j)+F(1,1); enddisp(差商表：)F=x0,F;disp(F)二、 例题分析 给出的函数表0.40.550.650.800.901.050.410

8、750.578150.696750.888111.026521.253821、用Lagrange插值法计算的近似值；2、用分段线性插值法计算的近似值；3、构造差商表，用牛顿插值法计算的近似值。先将函数表存放到matlab的workspace中以便调用：1、Lagrange插值2、分段线性插值3、牛顿插值法拉格朗日插值的优点：它的形式是对称的，这样很容易编程上机实现。它在理论上十分重要。 牛顿插值的优点：在计算插值多项式及求解函数近似值都比较方便且计算量相对较小。从公式中可以看出：每增加一个节点，插值多项式只增加一项，因此便于递推运算，所以其具有灵活增加节点的优点。 两者的不同点：牛顿插值的计算量比拉格朗日要省，更利于程序设计。由插值多项式的唯一性可知，n次牛顿插值多项式与n次拉格朗日插值多项式是等价的，它们只是表示形式不同。因此，牛顿余项和拉格朗日余项也是等价的，故matlab计算结果二者一致。绘制所求点及已知节点在坐标中的位置，在matlab中运行：plot(x,y3,rv,x,y2,g,x0,y0,-.y,x0,y0,ob)得到坐标图：放大其中两组点可以看出，牛顿插值法和拉格朗日插值法有较高的精度，误差很小，而