常 微 分 方 程 教案

1、编定日期 教师 授课日期班级建环一、二班基本课题 §6.1 微分方程基本概念 教学重点 微分方程的概念 教学难点 微分方程的通解与特解 教学方法 讲解法 教学要求 1.理解微分方程的概念 2.了解微分方程的阶数 3.掌握微分方程通解与特解的概念 4.把握微分方程的初值问题 课外作业 第六章 常 微 分 方 程Ordinary Differential Equation在科学技术和经济管理的研究过程中,常常需要寻求有关变量之间的关系,有时这种变量间的关系往往不能直接建立起来,却可能建立起含有待求函数的导数或微分的等式,这样的等式称为微分方程,本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用

2、的微分方程的解法.§6.1 微分方程基本概念Basic Concept of Differential Equation1引例例1 一曲线在任意一点M(x, y)处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,且曲线经过点A(0,1),求该曲线方程.解 设所求曲线,由题意知应满足对上式两端积分,得(其中C为任意常数) 将条件代入上式,得所以所求曲线方程为例2 列车在平直的轨道上以30m/s的速度行驶,当制动时,列车加速度为-0.6m/s,求列车制动后行驶路程与时间的关系式.解 设列车开始制动后行驶路程是时间的函数,即.由题意满足:对上式积分一次,得，再积分一次,得将条件 代入上式,得， 于是得到列

3、车制动后路程与时间的关系为由引例知：依题意都可得到含有未知函数的导数的等式；对含有未知函数的导数的等式通过积分可以解出满足这等式的函数；解出的函数中有几个常数，就有几个约束条件。因此，通常我们把含有未知函数的导数(或微分)的等式叫做微分方程。2微分方程定义 凡含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程就称为微分方程(Differential Equation)，未知函数是一元函数的微分方程,称为常微分方程(Ordinary DifferentialEquation)，未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程(Partial Differential Equation) 。注：在微

4、分方程中未知函数与自变量可以不显含，但必须出现未知函数的导数或微分。如：与都不是微分方程.实际上，它们是一个函数方程。微分方程中的自变量由问题而定。常（偏）微分方程：自变量的个数只有一个（两个或两个以上）的微分方程。高等数学只研究常微分方程，并把常微分方程简称为微分方程或方程。3微分方程的阶数概念 微分方程中未知数导数或微分的最高阶数，称为该微分方程的阶(Order)。分类 微分方程的阶是，就称为该微分方程是阶微分方程。如：是一阶微分方程；是二阶微分方程。4微分方程的解若把某个函数以及它对应的各阶导数代入微分方程中,能使方程成为恒等式,那么这个函数就称为该微分方程的解(Solution of

5、Differential Equation)。定义1 能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程的解。通解 微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数（常数不能相互合并）与微分方程的阶数相同,此解称为微分方程的通解(General Solution of Differential Equation)。注意 独立的任意常数指的是任意常数之间不能相互合并。通解中的任意常数必须是独立的任意常数。例如，但和中任意常数只能算一个，而不是两个独立的任意常数。为了准确地描述这个问题，我们引入下面的概念定义2 设函数、是定义在区间（a, b）内的函数若对（a, b）内的任意x，恒为常数，则称、在（a,

6、 b）内线性相关。若对（a, b）内的任意x，为的函数，则称、在（a, b）为线性无关。例如与线性无关，与2线性相关。因此，函数就是微分方程的通解，就是微分方程的通解。注：微分方程的解有两种形式显式解或； 隐式解 由方程确定的函数关系；如。对常微分方程而言将不区分显式解与隐式解，统称为微分方程的解。方程的通解也不一定能包含它的一切解。如的通解（隐式通解），但也是微分方程的解，显然它不包含在通解中，因为无论取何值都得不到，这样的解叫奇解。特解 在微分方程的通解中满足某些特定条件的解，称为微分方程的特解(Special Solution of Differential Equation)。注：确定

7、了通解中任意常数，就得到了微分方程的特解。初始条件 为了得到满足要求的特解，必须根据要求对微分方程附加一定的条件，那么这些条件叫做初始条件(Initial Condition)(或叫定解条件)。即确定通解中任意常数的附加条件指的是当自变量取某定值时,要求未知函数及其导数取给定值，那么微分方程的特解就是满足初始条件的解。如上面两个例子中和分别是例1和例2满足相应初始条件的特解。初值问题 满足初始条件的微分方程问题，称为初值问题。即一个微分方程与其初始条件构成的问题。解微分方程 求微分方程解的过程叫做解微分方程。注意：对一阶微分方程也可写成，由于和的对称性，在求解时，根据问题的需要，有时把看成是未

8、知函数，有时也可把看成是未知函数。5微分方程解的几何意义常微分方程的特解的图形为一条曲线，叫做微分方程的积分曲线；微分方程的通解的图形是以为参数的曲线族。因此，初值问题的解的几何意义是微分方程过初始条件构成的点的那条积分曲线。微分方程的特解的几何意义是一条积分曲线,而通解的几何意义则表示一族积分曲线。编定日期 教师 授课日期班级建环一、二班基本课题 §6.2 分离变量的微分方程 教学重点 分离变量法 教学难点 分离变量法 教学方法 讲解法 教学要求 1. 了解可分离变量微分方程的概念 2. 掌握可分离变量微分方程的解法 3. 灵活运用可分离变量法解决实际问题 课外作业 §6

9、.2 分离变量的微分方程Separable Variables Differential Equation1引言对一阶微分方程，可通过求不定积分得到通解。但是也可以将方程写成，等号两边各自求不定积分,即，则有，这为我们提供了求解微分方程的一种新方法。2可分离变量的微分方程定义 形如的微分方程，称为可分离变量的微分方程(Separable Variables Differential Equation)。特点设，则方程可变形为（已分离变量）即将两个变量分离在等式两端，方程的一端只含有的函数与的乘积，另一端只含有的函数与。3求解方法（1）分离变量 （2）两边积分 （3）求出积分 其中：、分别是、的

10、一个原函数，即需各自求与，再加上任意常数即可注 约定在微分方程中不定积分式表示被积函数的一个原函数，而把积分所带来的任意常数明确地写上。4举例例1 求微分方程的通解。解 分离变量得两边积分得计算得即 这里,记,则有通解 (为任意常数).注意 今后遇到类似对数情形,可不必再写绝对值符号。例2 求微分方程=0的通解。解 分离变量得 两边积分得 计算得 即例3 求微分方程满足初始条件的特解。解 分离变量得两边积分得计算得于是通解为代入初始条件,得。所以特解为例4 求微分方程满足初始条件的特解。解 这是一个可分离变量的微分方程,分离变量得两边积分得即(为任意常数)或为使等式简化,记.化简得代入初始条件

11、,得，故所求特解为即编定日期 教师 授课日期班级建环一、二班基本课题 §6.3 一阶线性微分方程 教学重点 一阶线性齐次和非齐次微分方程的解法 教学难点 常数变易法 教学方法 讲解法 教学要求 1. 深刻理解一阶线性微分方程的概念 2. 一阶线性非齐次微分方程解的结构 3.掌握一阶线性齐次和非齐次微分方程的解法 4.灵活运用公式法解一阶线性微分方程 5.灵活运用常数变易法 课外作业 §6.3 一阶线性微分方程First-Order Linear Differential Equation形如的方程，称为一阶线性微分方程，其中、都是已知连续函数。当时，即称为一阶线性齐次微分方

12、程(First-0rder Homogeneous Differential Equation)。当时，称为一阶线性非齐次微分方程。如：是一阶线性齐次方程；都是一阶线性非齐次微分方程。注意 所谓线性是指方程中未知函数和它的导数都是一次的。例1 判下列微分方程是否为一阶线性微分方程（1）（2）（3）（4）（5）（6）解（1）、（3）是一阶线性的，其余的是非线性的。1一阶线性齐次微分方程解法（1）分离变量法变形两边积分即得齐次微分方程通解为(为任意常数) （2）通解公式法通解为(为任意常数)2一阶线性非齐次微分方程解法分析为了得到一阶线性非齐次微分方程的解,先分析对应的一阶线性齐次方程的通解表达形

13、式。一阶线性非齐次微分方程变形为其解为对于一阶线性非齐次微分方程,比较对应齐次方程的通解后容易看出,如果将齐次方程的通解中的任意常数换成的函数,就可能得到非齐次微分方程的解的形式,进而求出函数,便可求出非齐次方程的通解。解法（1）常数变易法将对应齐次方程通解中的任意常数变换为待定函数，从而得到非齐次方程通解的方法设对应非齐次微分方程的通解为为了确定,对上式求导,有将以上式中的和代入非齐次微分方程整理得 两边积分得所以一阶线性非齐次微分方程的通解为注意 在公式中，所有的不定积分其实已不含任意常数。在上述一阶线性非齐次微分方程的求解过程中,将对应齐次方程通解中的任意常数变易成一个待定函数,进而求出

14、线性非齐次方程通解的方法叫常数变易法。（2）通解公式注意 公式可以直接套用，但容易忘记，所以要求掌握常数变易法。3一阶线性非齐次微分方程解的结构由一阶线性非齐次微分方程的通解公式可知，一阶非齐次线性微分方程的通解由两部分组成。第一部分（第一项）是原一阶线性非齐次方程的一个特解（令，得到特解），第二部分（第二项）恰好是对应的一阶线性齐次微分方程的通解。即一阶非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次线性微分方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。一般地，有如下的解的结构定理定理 一阶线性非齐次微分方程的通解由其非齐次微分方程的一个特解加上对应齐次方程的一个通解构成。即若用表示对应的一阶线性齐次微分方程的

15、通解, 表示一阶线性非齐次方程的一个特解,则一阶线性非齐次方程的通解可表示成的形式。4举例例1 求微分方程 的通解.解 这是一阶线性非齐次微分方程,利用常数变易法求解对应齐次方程为 分离变量得 两边积分得设非齐次方程通解为 则 代入方程并化简得 两边积分得例2 求方程 满足初始条件的特解.解 改写原方程为对应的齐次方程为分离变量得 两边积分得 即 将上式中的C换成,即设原方程的解为于是代入原方程得 两边积分得得非齐次微分方程的通解为将初始条件故所求方程的特解为实际上,我们也可直接利用非齐次方程通解公式求出通解.例3 求方程 的通解.解 于是 所以方程的通解为例4 求微分方程 解 将方程变形为

16、所以 于是 将初始条件代入求得.所以所求微分方程的特解为 例5 求微分方程的解。解 此方程若把看成函数，则方程为一阶线性非齐次微分方程，即则所以通解为即编定日期 教师 授课日期班级建环一、二班基本课题 §6.4 几类特殊类型的微分方程 教学重点 1.三类可降阶微分方程的解法 2.齐次微分方程的解法 教学难点 特殊类型的微分方程转化的求解法 教学方法 讲解法 教学要求 1. 灵活掌握可降阶微分方程的解法 2. 灵活掌握齐次微分方程的解法 3. 型微分方程的解法 4. 掌握伯努利方程的概念和解法 课外作业 §6.4 几类特殊类型的微分方程Several Special Diff

17、erential Equation微分方程的求解要根据所属类型采用不同的求解方法,下面介绍几种特殊的微分方程求解方法。一、可降阶的微分方程1型的微分方程对于这种类型的微分方程,只要等号两边同时积分次,即得到微分方程的通解.例1 求微分方程的通解.解 两边积分,得两边再积分,得再积分,得所以,所求微分方程的通解为例2 求微分方程满足初始条件的特解.解 由,得因此,所求方程的特解为2. 型的微分方程对于这种类型不含有微分方程,通常令则方程转化为解出,再求得原方程的通解.例3 求的通解.解 方程为型的微分方程,令则,代入原方程,得 分离变量,得 即 两边积分,得 例4 求微分方程满足初始条件的特解.

18、解 令则,方程化为即积分,得 即 求解,得 由,有于是,所求方程的特解为 例5 求微分方程的通解.解 令则,方程化为利用一阶线性微分方程求解,得再积分,得 即所求微分方程的通解为3. 型的微分方程这种类型的微分方程不含自变量,此时令由于所以，方程化为解出此方程后,再对积分一次,即得到原方程的解.例6 求微分方程的通解.解 令则原方程化为即.积分,得 所以 即 整理,得 .积分得所求微分方程的通解为 例7 求微分方程满足初始条件的特解.解 令则原方程化为分离变量,得 ,两边积分,得 即 .分离变量,得 两边积分,得 即 由条件,有所以所求特解为二、齐次型微分方程(Homogeneous Equa

19、tion)1定义 形如的微分方程称为齐次型微分方程.2求解设则代入原方程后,可得微分方程或 分离变量得 两端积分得， 求出积分后，再用代替便得齐次方程的通解。例1 求微分方程解解 令则代入原方程,得分离变量,得 两边积分,得 即 所以原方程的通解为例2 求微分方程的通解.解 整理,得 令则代入原方程,得 分离变量,得 两边积分,得 整理,得 所以所求微分方程的通解为3注意 有的微分方程，虽然表面上看不是变量分离的微分方程，但可通过适当的变形或变量代换，化为可分离变量的微分方程，齐次方程就是这样一类微分方程。 如果一阶微分方程中的函数可变形为，即，则称此方程为齐次方程。二、型微分方程1（1）时，

20、则，通解为（2）时，则，即为齐次方程例3 求微分方程的通解解 将所给方程变型为。设则代入原方程得，（这是可分离变量的微分方程）分离变量；两边积分 换回原变量，得即所求的通解.2，不全为零（1）时，则= 令 则为，这是可分离变量微分方程，便可求解。（2）时，令 即令可得、的值，由于则原方程为，即为齐次方程，便可求解。三、伯努利方程解法1定义形如 的微分方程，成为伯努利方程。注意 时是已知的一阶线性微分方程；时为一阶线性齐次线性微分方程，从而可化为可分离变量；当时必有非零解。2解法作变换将方程化为一阶线性微分方程，即化为.伯努利方程既不是一阶齐次线性微分方程，也不是一阶非齐次线性微分方程，那么它的

21、解法是作变换将方程化为一阶线性微分方程。设将方程变形为，再利用一阶非齐次线性微分方程的通解公式求出其通解为然后把回代即得伯努利方程的通解，其通解为例 求通解解 原方程变形为令得 解得所以通解为编定日期 教师 授课日期班级建环一、二班基本课题 §6.5 二阶线性微分方程 教学重点 1. 二阶线性微分方程解的结构 2二阶常系数线性齐次微分方程通解的欧拉法 3自由项为特殊的二阶常系数线性非齐次微分方程特解求法 教学难点 1.二阶常系数线性齐次微分方程通解的欧拉法 2自由项为特殊的二阶常系数线性非齐次微分方程特解求法 教学方法 讲解法 教学要求 1.理解二阶线性微分方程解的结构 2.掌握特征

22、方程并灵活掌握二阶常系数线性齐次微分方程的求解法 3.自由项为特殊的二阶常系数线性非齐次微分方程的解法及其通解 课外作业 §6.5 二阶线性微分方程(Second Order Linear Differential Equation)形如的二阶微分方程, 称为二阶线性微分方程,其中都是的已知函数.当时,方程，称为二阶线性齐次微分方程。当时, 方程，称为二阶线性非齐次微分方程.一、二阶线性齐次微分方程解的结构二阶线性齐次微分方程解的结构有如下定理定理1 若与是二阶线性齐次微分方程的两个解,是任意常数,则也是方程的解.证明 根据定理的假设有 分别用乘上面两式并相加,得即 故 是方程的解.

23、注意 此定理说明二阶线性齐次微分方程解的具有叠加性。定理形式上，中包含两个任意常数,方程是二阶的, 而它不一定是该方程的通解。这是因为这两个任意常数未必独立（合并成一个任意常数），即是否线性无关。例如,假设是某个齐次微分方程的两个解,则也是齐次方程的一个解,但是由于两个常数合并成了一个任意常数,它就不能构成通解了.一般地,设是两个函数,若则称与是线性相关的;若则称与是线性无关的.定理2 如果与是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关的特解,则就是所求二阶线性齐次微分方程的通解。例如,可以验证与都是二阶线性齐次微分方程的解,且,即与线性无关,所以与的线性组合就是方程的通解.二、二阶线性非齐次微分方程

24、解的结构一阶线性非齐次微分方程的通解由对应的一阶线性齐次微分方程的通解加上其本身的一个特解构成。那么，二阶线性非齐次方程的通解形式与一阶线性非齐次微分方程的通解的结构完全类似。定理3 设是二阶线性非齐次微分方程的一个特解，是二阶线性非齐次微分方程对应的二阶线性齐次微分方程的通解，则是二阶线性非齐次微分方程的通解。证明（略）定理4 设、分别是方程与的解则是方程的解。证明（略）三、二阶常系数线性微分方程1概念在二阶线性微分方程中，如果、系数都是常数，则二阶线性微分方程即为。定义1形如的方程（其中、为常数为已知函数），称为二阶常系数线性微分方程。如果、不全为常数，为已知函数，那么，方程就称为二阶变系

25、数线性微分方程。定义2 在二阶常系数线性微分方程中，如果时,方程 （其中、为常数）称为二阶常系数线性齐次微分方程。如果时, 方程（其中、为常数为已知函数），称为二阶常系数线性非齐次微分方程。2二阶常系数线性齐次微分方程的通解（1）分析解的形式由定理2可知,求二阶常系数线性齐次微分方程的通解的关键在于找出它的两个线性无关的解与。从二阶常系数线性齐次微分方程可以看出，、必须是同类型的函数才能使等式右端等于零,因为指数函数（为常数）的各阶导数仍然是同类型函数，因此，它有可能是微分方程的解。设是方程的解，将、代入微分方程，得 ，而，因此有由此可见，只要是代数方程 的一个根，则就是微分方程的一个解，从而

26、求微分方程的解就转化为求代数方程的解。定义3 代数方程 称为微分方程 的特征方程，特征方程的两个根、叫做特征根。求解特征方程会出现三种情况当时,两个不相等的实根当时,相等的两个实根，即重根=当时,一对共扼复数根（2）求解根据特征根的三种不同情况，我们讨论常系数齐次微分方程的通解。 、是两个不相等的实根因为、是方程的两个特解,且线性无关,所以微分方程的通解是.例1 求微分方程的通解.解 特征方程为即特征根为微分方程对应的两个解 为且与线性无关，因此所求微分方程的通解为、是两个相等的实根因为=，常系数齐次微分方程只有一个特解,因此要求出通解就需要寻找一个与线性无关的特解,为此我们设,即,求导后代入

27、微分方程,整理得因为是特征方程的重根,所以于是上式可化成满足上式的函数有很多,我们只需要取最简单的一个,此时得到另一个与线性无关的特解。为方便,设,则方程的通解为例2 求微分方程为满足初始条件的特解.解 特征方程为解得特征根为所以微分方程的通解为.代入初始条件,得所以，所求微分方程的特解为、是一对共扼复数根设是一对共轭复根,则、是常系数微分方程的两个线性无关的特解,于是是微分方程的通解。这里我们得到的是微分方程的复数形式解,不便于应用,为了得到实数形式的通解,利用欧拉公式,可推出、是微分方程的两个实数形式的解,因此微分方程的通解为例3 求微分方程的通解.解 特征方程为,有共轭复根，所以方程通解

28、为例4求微分方程的通解.解 特征方程为,有共轭复根.所以方程通解为例5 求微分方程满足的特解.解 特征方程为,特征根为,此时，所以所求微分方程的通解为代入初始条件,得,，因此所求微分方程的特解为综上所述,求二阶线形常系数齐次微分方程通解时,不需要进行积分运算,只要求出特解方程的特解根，其解法的步骤为依方程写出特征方程；求出特征根、；由特征根写出方程的通解，就可按下表1写出微分方程的通解。表1情况特征方程的根微分方程的通解形式1两个不相等的实根、2重根=3一对共扼复数根【注意】以上求解的方法称为欧拉指数法3二阶常系数线性非齐次微分方程的通解二阶线性微分方程解的结构知，求二阶常系数线性非齐次微分方

29、程的通解必须求出方程对应的齐次微分方程的通解和它的一个特解。的通解有上述方法可得，关键是求的一个特解，下面给出就不同情况下，研究的特解。（1）（其中：是的次多项式，为常数）的情形表2情况常数与特征根的关系微分方程特解的形式1不是特征方程的根2是特征方程的一个单根3是特征方程的根重根得方程的通解（2） （其中：、分别是的次、次多项式，、为常数）的情形表3情况常（复）数与特征根的关系微分方程特解的形式1不是特征方程的根其中：2是特征方程的根其中：由可得方程的通解为编定日期 教师 授课日期班级建环一、二班基本课题 §6.6 微分方程应用举例 教学重点 微分方程在实际问题中的应用 教学难点

30、依据应用问题建立微分方程 教学方法 讲解法 教学要求 1. 在建立微分方程解决应用问题时应注意的事项 2. 利用微分方程解决实际问题的一般步骤 课外作业 §6.6 微分方程应用举例1在建立微分方程解决应用问题时应注意的事项对于一些需要求运动规律、变化规律、对应法则的实际问题，通常考虑用微分方程来解决。建立微分方程是根据实际问题的条件，列出未知函数和它的导数（或微分）及其自变量之间的等式，这些问题通常是几何学、运动学、力学、热学、电学以及生物、医学、生态、经济等领域的某些问题，虽然应用问题涉及的范围很广，但在建立数学模型时的基本原则和方法有共同之处，因此要注意以下几点（1）把握导数在各个实际问题中的意义由于微分方程中所含的导数都是实际问题中各种变量的变化率，因此要熟悉导数表示的各种变化率。如：切线的斜率、曲线的曲率、速度、加速度、角速度、角加速度、电流等（2）熟悉与问题有关的各种定律、原理、原则（3）利用微分方程解决实际问题的一般步骤分析问题，设定所求未知函数,建立微分方程,确定初始条件；求出微分方程的通解