组合数学试卷A201420151答卷

1、2014-2015-1组合数学试卷（A）答案一、填空题（每小题3分，共24分）1所有项的系数和是（ 64 ）.2将5封信投入3个邮筒，有（ 243 ）种不同的投法.3在棋盘中选取两个相邻的方格（即有一条公共边的两个方格），有 （ 22 ）种不同的选取方法.4把9个相同的球放入3个相同的盒，不允许空盒，则有（ 7 ）种不同方式.5把5个不同的球安排到4个相同盒子中，无空盒，共有种（ 10 ）不同方法.6一次宴会，5位来宾寄存他们的帽子，在取帽子的时候有（ 44 ）种可能使得没有一位来宾取回的是他自己的帽子.7. 在边长为a的正方形中，任意给定九点，这些顶点的三角形中必有一个三角形的面积不大于（

2、）.8棋盘多项式 R( )=（ x2 +3x+1 ）.二、单项选择题（每小题3分，共24分）9（ B ）， .A、； B、； C、； D、.10. 的展开式在合并同类项后一共有（ B ）项.A、； B、； C、； D、.11多项式中项的系数是（ C ）.A、 78 ； B、 104 ； C、 96 ； D、 48.12有4个相同的红球，5个相同的白球，则这9个球有（ B）种不同的排列方式.、 63 ； 、 126 ； 、 252 ；、 378.13. 设均为正整数且，则这样的有序数对共有（ D ）个.A. 100 ； B. 81 ； C. 50 ； D. 45.14. 递推关系的特解形式是（

3、B ）（为待定常数）.A、； B、； C、； D、.15递推关系的一般解是（ B ）（为任意常数）.A、； B、； C、； D、.16. 数列的普通母函数是（ D ）A、 ； B、 ； C、 ； D、.三、解答题（每小题10分，共30分） 17. 用数字1、2、3、4（数字可重复使用）可组成多少个含奇数个1、偶数个2且至少含一个3的n位数 ( n > 1 ).解：由指数母函数=，的系数 即为所求. 10分18. 解递推关系：解：递推关系 （1）的特征方程为，特征根为 故其通解为 （4分）因为（1）式无等于1的特征根，所以递推关系 （2）有特解 ，其中A和B是待定常数，代入（2）式得化简得

4、所以 解之得于是（8分）其中是待定常数. 由初始条件得解之得 所以（10分） 19. 求1到1000之间不能被5、6 或8整除的自然数的个数.解：设A为1至1000的整数中能被5整除的数的个数；B为1至1000的整数中能被6整除的数的个数；C为1至1000的整数中能被8整除的数的个数. 则所以 即所求为：. 10分四、证明题（每小题11分，共22分）20. 设，分别为第一、第二类Stirling数，定义为：，. 证明：（1）第二类Stirling数满足递推关系：；（2）两类Stirling数满足关系：.证明：（1）因为，所以比较两等式的的系数，即得递推关系：. 6分（2）因为，所以比较两等式的的系数，即得：. 11分21. 考虑n个数的乘积，依据乘法的结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积. 设为n个数乘积的n-1对括号插入的不同方案数.（1）证明的递推关系为：；（2）用母函数方法证明：证明：（1） n个数的乘积的最后一次乘法运算是前k个数的积与后n - k个数的积之间进行，其中. 前k个数可以有种不同的方法加括号，而后n-k个数可以用种不同的方法加括