复杂二次分式函数极值的快速解法

1、复杂二次分式函数极值的快速解法在高考中，我们经常会碰到二次分式函数问题，这类问题通常比较麻烦，有时运算量很大，很难在短时间内解决所以本文将研究求解二次分式函数单调性，值域,极值的简便方法希望能得到一个极值通用公式，以便在考试中套用，节约时间2Ay + Ry +二次分式函数具有形式 y = f（X）2（A, B不同时为0）.Dx2 + Ex+F我们将要研究它的定义域，值域,单调性，极值.1. 定义域和有界性当方程Dx2 Ex F = 0有解，设x1，x2（x! _ x2）是Dx2 Ex F =0两个根则函数定义 域x R | x =为 x = x2.当 A%C = 0, lim 或Ax2 Bx2

2、 C = 0, lim =：XX M此时函数无界.当Ax12 Bx1 C =0且Ax22 Bx2 C=0 ,函数有界且为常值函数（很少遇到x2 _12的情况，比如y 2）.所以通常当E -4DF _0 ,二次分式函数是无界的.x -1X = Nx = X2是函数的渐近线.当E2 -4DF ：0,函数定义域为R 函数有界.2. 单调性，极值，值域当 E2-4DF：0, Dx2Ex，F=0, 可 以将 函数 化 为x的方程 y Dx2ExF=Ax2 Bx C.即x2 Dy - A xEy - BFy - C = 0 对于值域中的每一个y,方程都有实数解，当Dy-A = 0_0,当Dy-A=0,验证

3、是否有解这样就可以求出值域值域的两个端点（方程的两个解）为函数极大值和极小值但为了计算在 何处取得极值,需将极值代入 x2 Dy-A x Ey-B ，Fy-C=0函数解出x，计算可能 有点慢下文会给出一个简便的计算方法AA2lim f （x）,根据极值与的大小即可判断单调区间.E 4DF : 0这种情况最多有三x厂DD个单调区间当E2 -4DF -0,用判别式法可能会产生增根.此时通常会解出y，R 出现这种情况，求解Dx2 Ex F = 0和Ax2 Bx C = 0 分式可化为一次分式，根据定义去求出这个一次分2 21 -2x x-1 x ：;_1 x ,3式值域上匕如y21x 1且X -2

4、j-2+x+x(-1+x)(2 + x) 2+x2 + x'，再下面给出一个具体例取x=1, y=0,所以函数值域fy|y = O且y =分离变量和换元再用基本不等式求解也是解决二次分式的常规方法子3x2 3x -2八 _x2 x 5首 先 定 义 域x | -x2 x 06x 13-x2 x 51 1 x|x = 2 1) X =(2 1 -.2? 分离分子中的二次项得 y = -3 人t 13令t =6x 13,x.代入得6y = -3x +x+5=3 虫._L 836t36 一 96x 13y 一367 . t36t当穿和当t <0-31 2 671 8-336 921F取

5、等号，x w一 67-136当穿和“67取等号，"2y - _3 '，土 836 -t36 9=31 2、6767 8 21 3629767 136函数值域（亠31+2庙）？（一31+2后+专21 213-也土空壬71 2167131 - . 2167 -131 .27<<<6 2 6 2可判断出单调区间增区间（-：,!_13 一.67 ）,（丄-13.67 ,丄1 .习）,（11，+:）6 6 2 2减区间（1 一13 -、67,1 1 - . 21 ）,（ 1 1- 21 , 1 -13 、67 ）62 2 6共有5个单调区间11顺便再算一下函数零点 3

6、x2 32= 0解得为二-3 - 33 , X2二3366有了这些信息，我们很容易画出函数大致图像通过这样一个例子，我们意识到，如果在考试中碰到这样的函数，分离变量换元的方法计算量非常大并且需要一定的技巧，浪费了我们很多的时间而判别式法只能求极值和值域，对于何处取极值，还需将极值代入原函数 对于上面的例子，直接代会函数运算过于复杂对于一些简 单二次分式函数，分离变量是可行的，并且非常快.但是对于像上面这种二次分式函数，我们找到需要一种计算量很小的方法二次分式函数极值公式很多老师不赞成用导数计算二次分式函数极值.但为了找到一个简便公式,我们必须通过导数来研究二次分式函数2Ax Bx CDxDxE

7、x F Ex Ff' (2Ax + B)(Dx2 +Ex + F)(Ax2 + Bx + C)(2Dx + E) 以八(Dx2 Ex F)2AE BD x2 2 AF CD xCE BF2 2(Dx2 +Ex+F)2我们只关心导数的符号，导数分母是个正数，我们记分子N 二 AE-BD X2 2 AF-CD x-CE BF 函数取极值时 f'(x)=O,即N=0.我们只需解方程 AE - BD x2 2 AF -CD x-CE BF =0即可得到函数取极值时的 x值.为了防止错误，最好验证的得到的x值是否在定义域内将方程系数与比较发现N可以写成三阶行列式2AxBx C1-2x x

8、2N = A B C 这样就很容易记住了DEFc2对于上面的例子23x 3x - 2-x2 x 5-2x x32 =17+26x + 6x2 =01 . 1解得X1二13-767 ,X2二1367 这种方法比分离变量快多了 6 6要求单调区间，由于N的符号和f (x)相同，大致画出y = N的图像，只需画出开口方向，标出零点和渐近线即可确定单调区间由此可知二次分式函数最多可有5个单调区间 如果要求极值，把x代入函数-2 1 -13 - .671 -13- 67 "2 12计算量很大，对于x很复杂的情况建议用判别式求值域想到取极值时的x值可用方程N二0表示,我们也找到一个关于 y的方程

9、rAx? +Bx + C联立Dx2 Ex F，消去x整理得AE BD x2 2 AF -CD x CE BF = 02 2 2E-4DF y24 AF CD -2BE y B2 4AC =0二次项系数E2 -4DF和常数项B2 -4AC正好为分母和分子的判别式 2Ax + Bx + C我们只需特别记住一次项系数4 AF CD -2BE.比较2C发现这一项也挺好Dx十Ex十F记的:二次项系数与常数项系数积的和的4倍减一次项系数积的两倍对于上面的例子，将系数代入该方程得3 3 6 2 1y22角0得1 1 y31 -2：j67 i, y231 2、：/67 .根据已求出的单调区间A,比较和极值的大

10、小即可区分极大值和极小值D我们重新回顾判别式求值域的方法 x2 Dy - A x Ey - B Fy - C = 02Ey - B -4 Dy - A Fy -C =0的解即为极值.重新整理方程可得 B2 -4AC 4CD -2BE 4AF y E2-4DF y2=0 和刚才的到的方程是一样的.说明导数和判别式这两种方法是等价的.在考试中，我们碰到的二次分式函数定义域不是根据函数本身的得出的，而是已知条件给定的在特定的定义域内求解函数值域时，用判别式求解可能会放大值域.但我们能可用判别式求出 极值.再用N =0和渐近线求出单调区间进而求出值域 .下面给出一道有二次分式函数应用的高考例题2 2(

11、2013浙江)如图，点P(0, -1)是椭圆G：% 占=1( a b 0)的一个顶点，G的长轴是a b圆C2: x2 y2 = 4 的直径.l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2与A, B两点A交椭圆与G与另一点D.(1) 求椭圆G的方程；求D ABC面积取最大值的直线h的方程；第一问 C2: y14设 h : y 二kx -1(k R) ,l2 ： y 二-1 k。到AB距离占AB = 2E冷2(1吟J 代入 G 得 x 4 x 1 -4=0 设 P(xi, y-), D(X2, y2) Ik丿(l2: x ky0套用圆锥曲线硬解定理)x1 x224 + kx1 x2 = 0(形式而已)=(套用圆锥曲线硬解定理)2、(1 k)4(42 k k)4 +k8 丫1 k24 k21SIDPIIABI二1 8.1 k22 4 k2168,3 4k24 k2接下来是关键了，用我们的公式来算8 3 4k4 k23 4k2k4 8k2 16令t=k2(t _0),S=84t 3t2 8t 16161621-2t t2N = 04