考研课件(第八九章)

1、考研资料- 43 -第八章 向量代数和空间解析几何第八章 内容概要与重点难点提示本章由三个部分组成：（1）向量代数 包括向量的二要素（模和方向） 抽象向量和具体向量的线性运算法则 数量积、向量积和混合积的运算；（2）空间曲面（球面，旋转面，锥面，柱面和二次曲面）的图形与方程之间的对应，空间曲线与方程组之间的对应；（3）平面和直线的方程。重点 向量运算（线性运算、点乘、叉乘） 画出空间曲面曲线的图形 求平面和直线的方程本章 无特别难的难点考试内容要点讲解一、 向量1、定义 既有大小又有方向的量称为向量（或者矢量），记为或者，比如位移、速度、加速度等，向量的二要素：（1）大小 也叫长度,、模或者范

2、数，记为或者；方向 向量箭头的指向或用方向角来刻画。常用的向量有零向量（模为零，方向任意）、单位向量（模为1）、向径(其中为空间直角坐标系的一点)、自由向量（与起讫点无关）。一般无特别说明我们都学的向量都是自由向量。向量是不能比较大小的。 抽象的向量用带箭头的线段来表示，具体向量表示为，叫做的横坐标或者在轴上的投影，叫做在轴上的分量。；，与同方向的单位向量为。2、向量的运算 对于抽象向量 （1）加减法（平行四边形法则） 做，以为邻边做平行四边形，则对角线构成的向量。（2）数乘 规定（为数量）是向量：模；方向是当时与同向，当时与反向，当时。（3）数量积（点积，内积） （结果为数量），式中为向量与

3、的夹角（）。（4）向量积（叉积，外积） 的结果是向量：模，为向量与的夹角（）；方向与与都垂直，且、符合右手系。（5）混合积 三个向量、的运算（结果为数量，在几何上该数的绝对值等于以、为棱的平行六面体体积）。 对于具体向量 设，则（1）加减法 ； （2）数乘 ；（3）数量积 ；（4）向量积 ；（5）混合积 ，（这里设）。3、常用的结论 （1）投影定理 ； 。（2）非零向量。非零向量(或与共线)唯一的使得 。非零向量、共面不全为零的数使得。（3）非零向量、构成三角形，则；反之不一定成立。 （4）以为邻边的平行四边形面积。4、运算性质（1）加减与数乘 ；。（2）数量积 ； ；。（3）向量积 ； ；

4、；。注 对点积和叉积都没有消去律，如由，且不能推出。（4）混合积 ，； ； 。例题1 求同时垂直于向量与轴的单位向量。解：法1 设所求向量为，则，。所以。法2 取 ，故 。例题2 设，与共面，且，求。解：法1 令，由与共面，得，解得 （1）又 ，由（1）（2）（3）得到，所以 。法2 因为与共面，且，知在的角平分线上，所以也在的角平分线上，设，由，即，得到，所以 。例题3 （1）设，则。（2）设（）（），（）（），则。解：（1）因为 ，所以原式。（2）由已知，。两式相减，得 ，代入方程组第一式，有 ，把它代入，即，求出，所以。二、 空间曲面、曲线的方程定义 设有曲面和三元方程，它们满足：，则满

5、足方程；，则不满足方程，那么称曲面为三元方程所表示的曲面，或说三元方程为曲面所对应的方程。1、常见的曲面及其对应的方程（1）球面 方程表示球心为、半径为的球面。它的一般式方程为（其中）。（2）平面 一般式方程为三元一次方程（不全为零）。（3）旋转曲面 将上平面曲线绕轴旋转一周所得到的曲面的方程为；绕轴旋转一周所得到的曲面的方程为（其它情形以此类推）。 （4）圆锥面 方程（）表示顶点为原点、中心轴为轴、半顶角的圆锥面。（5）柱面 方程表示母线平行于轴（因为缺变量）、准线为上平面曲线的柱面。（5）二次曲面（即三元二次方程所表示的曲面）椭球面方程 。旋转抛物面；椭圆抛物面；双曲抛物面。（）。单叶双曲

6、； 面双叶双曲面。椭圆柱面；抛物柱面（）；双曲柱面。2、空间曲线及所对应的方程（组）（1）一般式 方程组在空间表示的图形为曲线（被动的看成两个曲面的交线），叫做曲线的一般式方程。（2）参数式 方程组，在空间表示的图形为曲线（把曲线看成动点的轨迹）,叫做曲线的参数式方程。3、空间曲线在坐标面上的投影 （1）若，从方程组中消去，得到（它表示母线平行于轴、准线为曲线的投影柱面）。联立得C:就是曲线在面上的投影。（2），则就是曲线在面上的投影。 注 （1）一般地，在空间坐标系一个三元方程所表示的图形为曲面，两个三元方程（组）所表示的图形为曲线；（2）将方程（或方程组）与它所表示的图形(曲面或者曲线)对

7、应起来并能画出来在多元函数的积分学中尤为重要。例题4 下列方程（组）各表示什么图形？（1）； （2）；（3）； （4）。答：（1）它表示球心在、半径为1的下半球面。（2）它表示顶点为、开口向后的旋转抛物面。（3）它表示母线平行于轴、准线为上半圆 的半柱面。（4）它表示两个平面和的交线（其实也是所交的直线，可见曲线的一般式方程并不是唯一的）。三、平面、直线及其方程（一）、平面的方程1、平面方程的基本形式 （1）点法式 经过点且法向量为的平面方程为。(2)一般式 在只知道曲面是平面的情况下，其方程为 （不全为零）。（3）三点式 经过不共面的三点的平面的方程为 或者为 。(4)截距式 在三个轴上截距

8、依次为（都不为零）的平面方程为。（此时平面与三个坐标面所围的四面体体积为）。（5）参数式 经过点且与两个不共线的向量都平行的平面方程为 。、 平面之间的关系设，为两个已知的平面，则它们的夹角（指非钝角）满足。讨论：（1）；（2）（重合）；（3）。注:至于三个平面的位置关系比较复杂，这需要用到线性代数中的矩阵的秩的概念，也是常考的知识点，希望大家注意。 （二）、直线的方程1、直线方程的基本形式 （1）一般式（交面式） （把直线看成两个平面的交线）。（2）对称式（点向式）经过点且方向向量为的直线方程为 。（3）参数式 经过点且方向向量为的直线的参数方程为。（4）两点式 经过两点的直线方程为。、 直

9、线之间的关系设两直线方程为，则它们的夹角（指非钝角）满足。讨论：（1）。（2）。（3）且。（4）异面。3、直线与平面的关系设，则它们的夹角（指非钝角）满足 。讨论：（1）；（2）；（3）且且 或者（）。(三)直线、平面中的常见问题1、点到平面、点到直线的距离例题5 求点到平面的距离。解：由点到平面的距离公式，得 （点为平面外一点）。例题6求点到直线的距离。解 法1 由点到直线的距离公式，得 （直线过且）。法2 先求出过点、以的平面方程为 ， 即 。再求出该平面和已知直线的交点，为此联立 ，解得。最后得到。二、点关于平面、直线对称点坐标例题7 求点关于直线的对称点坐标。解：同上题一样，求出过点做

10、出的与已知直线垂直的平面，再求出该平面和直线的交点，最后设所求的点为，用中点公式， 得 ， ， ，解出，故所求的点为。三、平面束设有直线，则过得平面束方程为（其中）其特点：随不同，它表示不同位置的平面。但无论为何值，这些平面都经过（但不包含平面）。例题8 设平面过两个平面和的交线，且与平面垂直，求平面的方程。解 法1 （点法式）设平面的法向量为，因为交于一条直线，所以它们的法向量共面，令，又因为，所以，即，取，得。再在交线上任取一点（也在平面上），由点法式得 或 。法2（混合积）平面的交线的方向向量。是平面上不共线的向量，取，则平面的任意点满足的方程为，即，解得 。法3 （平面束）过得平面束为

11、，或者 。令，解出代入上式整理得到平面的方程为。四、公垂线的方程和公垂线段的长例题9 问直线与相交吗？若相交，求出交点；若异面，求出公垂线段的长和公垂线的方程。解：两条直线的方向向量为（显然不平行），分别在两条直线上的点构成的向量为，因为，故两条直线异面。下面来求公垂线段的长法1 过作平面，则平面的法向量可取为又由于过，所以平面的方程为即。点到平面的距离即为所求的公垂线段的长，故。法2 即为在公垂线的方向向量上投影的绝对值。 。再求公垂线的方程 过，以=即为法向量作平面，或；过，以即为法向量作平面 ，或 。所以公垂线的方程为。五 空间曲线绕坐标轴旋转所得曲面方程为求绕轴旋转所得曲面方程，只需要

12、从方程组中解出，所得曲面方程为：。例题10 (13，数一，6分)设过，将绕轴旋转一周所得曲面，求的方程并问曲面的名称。解：由两点式得的方程为，化为，则它绕轴旋转一周所得曲面的方程为 或。曲面可看成将面上的双曲线绕绕轴旋转一周所得旋转双曲面。习题一1、设都是单位向量，夹角为，求向量的夹角。2、证明到三点所确定的平面的距离为。3、求过直线，又切于球面的平面方程。4、将直线绕轴旋转一周，求所得曲面的方程，并讨论这是什么曲面。5、设入射线方程为，入射面方程为，求反射线的方程。6、在第一卦限内做椭球面的切平面，使得切平面与三个坐标面围成的立体体积最小，求切点的坐标。7、平面与曲面相切于点，而直线在平面内

13、，求的值。8、设柱面的母线平行于，准线为，求柱面的方程。9、证明：。 第九章 多元函数微分学内容概要与重点难点提示本章首先介绍了多元函数的概念（主要是二元函数）的概念、二重极限和连续性，接着介绍了偏导数和全微分的定义和计算公式，讨论了复合函数，隐函数的求导法则（包括二阶偏导数），最后介绍了多元函数微分学在几何上和极值（最值）问题上的应用。重点 二重极限求法 偏导数定义 单个函数、复合函数、隐函数的求导（包括二阶偏导数） 空间曲线的切线和法平面以及曲面的切平面和法线 函数的极值（最值） L氏乘数法难点 对函数在具体点的连续性、可导性和可微性的讨论 含抽象函数的复合函数以及隐函数的二阶偏导数求解

14、如何求极值和最值考试内容要点讲解一、多元函数的概念、二元函数的极限及连续性1多元函数的概念定义9.1 设D为的一个非空子集，称映射为定义在D上的二元函数，记为 或 ，其中点集D为该函数的定义域，分别称为第一、第二自变量，为因变量。注：（1）一般地，二元函数的定义域D为面上的区域；值域为轴上的区间；的图形为空间一张曲面。（2）曲面与平面的交线在面上的投影曲线称为的等高线。（3）一元函数、二元函数及元函数的联系与区别：一元函数是二元函数的特殊情形，当一个变量固定，另一个变化时，二元函数便转化为一元函数；一元函数中自变量代表轴上的点，只有两个变化方向，而二元函数自变量代表平面上的点，有无数个变化方向

15、。由一元函数到二元函数是质的变化，而由二元函数到元函数只是量的变化。2、二元函数的极限定义9.2 设函数在区域D有定义，为D的内点或边界点，若时，它对应的函数值无限接近一个确定的常数A，则称数A为当时的二重极限，记为或者。若用的语言叙述：，当时，有，则。注意：（1）这里的极限过程是动点以任何方式沿着任意路径趋于。（2）证明函数在某一点极限存在要用的语言；求二重极限时，除了罗比达法则外所有求一元函数极限的方法都适用；证明极限不存在的问题时通常用取路径的方法（千万不能用此法求二重极限）。（3）存在与否是和在处有无定义无关。3、二元函数的连续性定义9.3 设二元函数的定义域为D，为D的内点或边界点，

16、若，则称函数在点处连续。（若用增量形式给出定义，则为：设二元函数在的某个邻域有定义，为该邻域的任意一点，全增量满足，则称函数在点处连续。若用的语言给出定义，则为：，当时，有，则称函数在点处连续）。若在D上每一点都连续，称函数在点D上连续。相关性质： 1、一切二元初等函数在其定义区域上连续；2、（局部保号性）若在连续，且，则，当时，；3、（最值定理）设二元函数在有界闭区域D上连续，则它在D上一定能取到最大值和最小值（即存在，使得，有，其中和分别为 在D上的最小值和最大值）；4（中间值定理）设二元函数在区域D上连续，对于任意介于两个数值之间的数C，至少，使。例题1求二重极限：（1），（2），（3）

17、，（4）解;(1)原式=。（2）因为，所以 ，又，故 原式=。（3）令，则，所以原式=由于，所以原式= （有界乘以无穷小仍为无穷小）。（4）因为时，故原式=。例题2证明极限不存在。证法1：令沿着直线趋于，则原式=，其结果随不同而不同（如时极限值为；时极限值为1），故原式极限不存在。证法2：令，代入原式=，因其结果随不同而不同，故原式极限不存在。二、多元函数偏导数和全微分1、偏导数定义 设函数在的某个邻域有定义，让在处有增量（固定为不变），相应的函数有对的偏增量，若存在，则称此极限值为在处对变量的偏导数，记为或者或者，即（） 。同理 有在处对变量的偏导数的定义，若已知在处对变量的偏导数的存在，易

18、知。 把定义中的定点换成任一点，便得到偏导函数的定义，如 ， 类似地可以给出三元函数和元函数在某点的定义，如三元函数在对变量的偏导数为。偏导数的几何意义 表示曲面和平面的交线C：在点处的切线对轴的斜率（的几何意义以此类推）。求偏导数的方法：（1）定义法 （此法用于可导性未知的点以及分段函数分段点处）；（2）固定变量法 就是对变量求偏导数时，暂时把变量以外的变量看成常数，对变量求导（对其他变量求偏导数以此类推）；（3）代入法 比如求，先将代入，得到一元函数，再求出；则。2、全微分定义 设函数在的某个邻域有定义，若全增量可表示为 ，其中为仅与有关而与无关的常数，为与两点之间的距离，则称函数在处可微

19、，并把称为函数在处的全微分，记为。当在处的可微时，有计算公式；当在任一点可微时，有 （称为叠加原理）。（对三元及三元以上的多元函数的全微分有同样的定义和计算公式）。全微分的几何意义 函数在处的全微分表示曲面上点沿切平面的竖坐标的增量（而）表示曲面上点沿曲面的竖坐标的增量）。（3）二元函数连续性，可导性，可微性之间的关系（见表）注 讨论函数在某一点的连续性、可导性和可微性时，必须借助用定义，由表可以看出，讨论的次序是先讨论连续性或可导性。若两者都成立，再来讨论可微性，主要是看或者看，若为零，则在处可微，否则不可微。若两者至少有一个不成立，则在处必不可微。3、高阶偏导数定义 设函数在区域D内有偏导

20、数（仍然是关于的二元函数），若这两个的二元函数的偏导数也存在，则称它们都是的二阶偏导数。共有4个：（或），（或），（或），（或）。其中第一和第四个分别称为对和对的纯偏导数，第二和第三分别称为混合偏导数类似地可以定义3阶，。，阶偏导数。求法：逐次求偏导。定理 若在点处均连续，则（也称与求导次序无关）.多元函数为常数的条件设在区域D上任意点都满足，则；若只有则；若只有，则，其中、均为任意的一元函数。例题3（11年，数一，4分）设函数则。解： 法1 ， ，于是 。解： 法2 。例题4（05，数一，4分）设函数，其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有（A）， （B），（C）， （D）。解：，。，。

21、故应选（B）。例题 5 求方程满足条件的解。解：由两边对不定积分，得 。再两边对不定积分，得 。把代入，有 ，又，所以，故 。4 多元复合函数求导法则由于多元复合函数的复合方式是多种多样的，从而它的求导公式也是五花八门的，但是我们坚持这样的步骤就不会出错：（1）画复合关系图，审查自变量、因变量和中间变量（它可能是多个、多层的）；（2）根据“分线相加、连线相乘”的原则写出导数公式。下面列举几个常用的多元函数求导法则。（1） 多元函数与一元函数的复合设在点，而在处都可导，则它们的可以复合为一元函数，且在处可导，并有。（复合关系图见 ）（这里也把叫做全导数，把，表示对第一个变量求偏导数，其它以此类推

22、）。（2） 多元函数与多元函数的复合设在处可微，而在处都具有对的偏导数，则它们的可以复合为二元函数，且在处都具有对的偏导数，并有， 。（复合关系图见 ）（3） 多个多层的不规则的函数复合设都在任意点可微，而在任意处可导，则它们的可以复合为一元函数，且在任意处可导，并有全导数（复合关系图见 ）定理 （一阶全微分形式不变性 ） 在中，无论是自变量还是中间变量（比如）全微分公式总是成立的。例题6 若对于任意正实数，都有 （），则称为次齐次函数。设为可微函数，证明：为次齐次函数的充要条件是证明：（必要性） 设为次齐次函数，则 两边对求导，得 令，得 。(充分性) 设上式成立，考察（把视为常数），求导得

23、，所以，即。例题7 设求的两个偏导数和。解：借助复合关系图，根据复合函数求导法则，得， 。 （这里要区别偏导数和导数的表示）例题8 设其中具有二阶连续偏导数，求。解： 这是求已经复合完毕的含抽象函数的二阶偏导数。令，则可以看成由，复合而成的复合函数。，。由于，故 （注意到）。注 式中在求和时要把的地位看成（即）一样，都是以为中间变量、以为自变量的函数，不能写做，表示对第一个变量的二阶偏导数（其它的类推）；由于题设具有二阶连续偏导数，所以。例题9（01，数一，,6分） 设函数在点处可微， 又，求。解： 易知 ，。因为 。所以 ，因此 。5 隐函数求导法则（1）由一个方程所确定的隐函数求导法 定理

24、 设函数在点的某个邻域有连续的偏导数，且，则方程在点的某个邻域恒能唯一确定具有连续导数的函数，它满足，且。注 定理给出二元方程确定一元隐函数的条件，并给出隐函数求导公式，其实这是上册书中的隐函数求导问题,当然可以两边直接求导，此外还可以用一阶微分形式不变性来求导。类似地 设函数在点的某个邻域有连续的偏导数，且，则方程在点的某个邻域恒能唯一确定一个具有连续偏导数的函数，它满足，且 。（2）由两个方程构成的方程组所确定的隐函数求导法定理 设在点的某个邻域对各个变量有连续的偏导数， 又，且雅克比（Jacobi）行列式。则两个四元方程构成的 方程组在点的某个邻域恒能确定两个具有连续偏导数的函数满足，且

25、，。类似的 两个三元方程构成的 方程组可以确定两个一元隐函数，且求导公式为。例题10（05，数一，,4分）设有方程，根据隐函数存在定理，存在点的一个邻域，在该邻域上述方程（A）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数；（B）可以确定两个具有连续偏导数的隐函数和；（C）可以确定两个具有连续偏导数的隐函数和；（D）可以确定两个具有连续偏导数的隐函数和。解： 令，则对均有连续偏导数，且。由于而，根据隐函数存在定理，在那个邻域内方程可以确定两个具有连续偏导数的隐函数和。 例题11 设而是由方程所确定的函数，其中都具有连续偏导数，证明。证明 法1（看成一个方程的情形）因为 ，两边对求导，得。又是由方程所确定的

26、函数，由隐函数求导法则，知，将它们代入上式，整理得。法2（看成两个三元方程构成的方程组的情形） 因为 方程组确定两个一元函数，两边对求导，得 ， 解出 。法3（采用微分形式不变性）因为把都看成独立变量，两边全微分，有 ，解方程组，得到，从而 。例题12 设，其中，具有一阶连续偏导数，求。解：法1（直接求导法）方程组两边同时对求偏导数（均为的二元函数），把和当成未知变量，解出得.法2（看成关于变量，的方程组）令，依次求偏导得，。由公式得，同理也有。法3（全微分法）将原方程组两边全微分（，都被视为变量），整理得，解出，于是 。（3）多元函数微分学的应用1、空间曲线的切线和法平面（1）设曲线的参数方

27、程为，参数，假定上述三个函数在上有不全为零的导数，则曲线在对应的切点处的切线方程为，法平面方程为，其中为切线的方向向量。（2）设曲线的方程为，则曲线在对应的切点处的切线方程为，法平面方程为。（3）设曲线的方程为 那么曲线在切点处的切线方程为 ，（法平面方程略）。2、空间曲面的切平面和法线（1）设曲面方程为，且在处有不全为零的连续偏导数，则曲面在处切平面方程为，法线方程为，其中为处的法向量。（2）设曲面方程为（其中在具有连续偏导数），则曲面在处切平面方程为法线方程为。法向量为。例题13 在曲线的所有切线中，与平面平行的切线（A） 只有一条；（B）只有两条；（C）至少有三条；（D）不存在。解：曲线

28、在时的方向向量，令与平面的法向量垂直，即，得到，解出两个解或者，故选（B）例题14 设在点的某个邻域内有定义，且则（A），（B）曲面在点的一个法向量为，（C）曲线在点的一个切向量为,（D）曲线在点的一个切向量为。解：由于题目只告诉在点处两个偏导数存在，并未告诉是否可微，所以（A）是错误的。曲面在点的一个法向量为,或者为，所以（B）不对。曲线也就是在点的一个切向量为，故选（C）。例题15 （1）设具有连续偏导数，证明曲面上任意点的切平面都与定向量平行（为常数）。（2）设具有一阶连续导数，证明曲面上任意点的切平面都过定点。证明：（1）令，则，所以曲面上任意点处的法向量为，由于恒成立，故曲面上任意点

29、处的切平面都与定向量平行。注：本例也可以利用对曲面方程两边直接求偏导的方法求出法向量。（2）在曲面上任取一点，则，因为 所以处的法向量，于是处的切平面为把点代入，上式恒成立，故曲面上任意点的切平面都过定点。3 多元函数极值定义 若存在点的某个邻域使得对于该邻域内一切点，都有（或者），则称为函数的极大值（或者极小值）点，为函数的极大值（或者极小值），极大值（或者极小值）统称为极值。使得同时成立的点叫做函数的驻点。要求函数的极值，关键是找出极值点，而极值点是和函数的驻点以及不可导点有关。定理 （必要条件） 设在点具有偏导数，且在点取得极值，则有 。定理表明 对于可导函数，极值点一定是驻点，反之不一

30、定成立；另外不可导点也可能是极值点。定理（充分条件） 设在点的某个邻域有二阶连续偏导数，且，令 ，则（1）时，是极值点，且时取极小值，取极大值.。（2）时，一定不是极值点；（3）时，则不能确定是否为极值点，还需另作讨论。由定理可得出求具有二阶连续偏导数的函数的极值的步骤：第一步 解方程组，求出所有驻点；第二步 对每一个驻点求出 ，；第三步 由的符号依据定理判断是否为极值点，最后写出结论。例题16（03年，数一，4分） 设函数在点某个邻域连续，且，则（A）点不是极值点： （B）点是极大值点；（）点是极小值点； （D）无法判断点是不是极值点。解：显然，。由极限与无穷小的关系，得 ，或者 。取，；取

31、，故应选（）。例题17 设函数，证明：函数 有无穷多个极大值点，但无极小值点。证：， ，令， 解得，或者（其中）；在处，因为，且，所以为极大值点；在处，因为，所以不为极值点。多元函数最值（） 求在平面内有界闭区域上的最大值和最小值首先，由闭区域上连续函数最值存在定理，最大值（最小值）必定存在；其次，最值点可能在内的驻点或不可导点取得，也可能在的边界曲线上的驻点或不可导点取得；最值是唯一的（最值点可能不唯一）这是有别于极值问题的。特别对求实际问题的最值时，当目标函数在内只有唯一驻点而且通过分析该问题的最值是存在的，那么此驻点即为题目所求的最值点。例题18（，数一，分）求函数在区域上的最大值和最小值。解：先求函数在内的驻点和不可导点以及相应的函