已知应力状态如图所示-

1、8.2. 已知应力状态如图所示,应力单位为MPa 。试用解析法和应力圆分别求:(1主应力大小,主平面位置;(2在单元体上绘出主平面位置及主应力方向;(3最大切应力。 (e (f (b 解:(b(1 应力分量50 0 20x y xy MPa MPa =主平面位置和主应力大小000220.819.3 90109.3xyx yo o tg =o=+= max min12357.0 7.0 57.0 0 7.0 MPa MPa MPa MPa= (2 画主平面位置及主应力方向: x >y ,0面对应max 。 (3 最大剪应力13max 57.07.032.022MPa += (4 应力圆 (

2、d(1 应力分量40 20 40x y xy MPa MPa MPa =主平面位置和主应力大小00022438 9052xyx yo o tg =o=+= max min 12311.2 71.2 11.2 0 71.2 MPa MPaMPa MPa= (2 画主平面位置及主应力方向: x <y ,0面对应min 。 (3 最大剪应力13max 11.271.241.2 22MPa +=(4 应力圆 (e(1 应力分量0 80 20x y xy MPa MPa =主平面位置和主应力大小000220.13.3 9076.7xyx yo o tg 5o=+= max min1234.784.

3、74.7 0 84.7MPa MPa MPa MPa=(2 画主平面位置及主应力方向: x >y ,0面对应max 。 1(3 最大剪应力13max 4.784.744.722MPa += (4 应力圆 (f(1 应力分量20 30 20x y xy MPa MPa MPa =主平面位置和主应力大小000220.819.3 90109.3xyx yo o tg o=+= max min123372737 0 27MPa MPa MPa MPa = =(2 画主平面位置及主应力方向:x <y ,0面对应min 。 (3 最大剪应力13max 37273222MPa += (4 应力圆

4、 8.3. 在图示应力状态应力单位为中MPa ,试用解析法计算和应力圆求出指定斜截面上的应力。 (d(f(e(b解:(b(1 应力分量30 50 200 30o x y xy MPa MPa MPa =(2 用解析法求斜截面上的应力(cos 2sin 22230503050cos 6020sin 6052.3 22sin 2cos 223050sin 6020cos 6018.7 2x yx yxy x yxy MPaMPa+=+=+°°=+=°+°=(3 应力圆 (d(1 应力分量70 70 0 30o x y xy MPa MPa =(2 用解析法求

5、斜截面上的应力cos 2sin 22270707070cos603522sin 2cos 227070sin 6060.62x yx yxy x yxy MPaMPa+=+=+°=+=°= (3 应力圆(e(1 应力分量o xyy x MPa MPa 30 0 70 70=(2 用解析法求斜截面上的应力2cos 2sin 270270702sin 2cos 22=+=+=+=x yx x yx y x MPa(3 应力圆:为一点圆 (f(1 应力分量100 50 0 60o x y xy MPa MPa =(2 用解析法求斜截面上的应力cos 2sin 2221005010

6、050cos12062.522sin 2cos 2210050sin12021.72x yx yxy x yxy MPaMPa+=+=+°=+=°=(3 应力圆 8.5. 图示锅炉直径D =1 m ,壁厚t =10 mm ,锅炉蒸汽压力p =3 MPa 。试求:(1壁内主应力1、2及最大切应力max ;(2斜截面ab 上的正应力及切应力。 解:(1 求主应力611233101150 220.0175 420pD MPat pD MPa t ××=×= 最大切应力13max 150075 22MPa = (2 斜截面ab 上的正应力及切应力:21

7、 0 60o x y xy =7515075150cos 2cos120131.3 2222x yx yo MPa +=+=+=75150sin 2sin12032.5 22x yo MPa = 8.6. 图示矩形截面梁某截面上的弯矩和剪力分别为M =10 kN.m,Q =120 kN 。试绘出截面上1、2、3、4各点的应力状态单元体,并求其主应力。 解:(1 截面上1点的应力:3(1(1221010120 0110.050.166M MPa bh ×=×× 应力状态单元:主应力:1230 120 MPa =(2 截面上2点的应力:3(2(233120100 36

8、 220.050.1Q MPa bh ×=×=×应力状态单元: 36MPa 主应力:12336 0 36 MPa MPa =(3 截面上3点的应力:(1(33*60 2120100.0250.050.037527 z MPaQS MPa(330.050.10.0512zbI =××××=××应力状态单元:60MPa 主应力: max min 12370.4 10.4 70.4 0 10.4 MPa MPa MPa MPa= (4 截面上4点的应力:(4(1(4120 0MPa =应力状态单元: 主应力:1

9、2120 0MPa 3=8.8. 图为薄壁圆筒的扭转-拉伸示意图。若P =20 kN ,T =600 NN·m ,且d =50 mm ,=2 mm 。试求:(1A 点在指定斜截面上的应力。(2A 点主应力的大小及方向,并用单元体表示。 解:(1 A 点的应力状态 属二向应力状态,应力分量是6662292000063.71063.750210060070.61070.62226210x y xy P Pa MPa A T Pa MPa r t =×=×××=×=×××(2 斜截面的应力:120cos 2si

10、n 22263.763.7cos 24070.6sin 24045.222ox y x yxy MPa =+=+=+°+°=sin 2cos 2263.7sin 24070.6cos 2407.72x yxy MPa =+=°°= (3 主方向00022(70.62263.732.9 90122.9xyx yo o otg .22×=+=(4 主应力6.45 0 3.1096.453.1096.70(27.63(27.632(23212222minmax MPa MPa MPa MPa xyy x yx =+±=+±+= (

11、5 主单元体:x >y ,0面对应max 。 8.9. 图示简支梁为36a 工字梁,P =140 kN ,l =4 m 。A 点所在截面在P 的左侧,且无限接近于P 。试求:(1通过A 点在与水平线成30o 的斜面上的应力;(2A 点的主应力及主平面位置。解:(1 A 1401404P Pl 70 140 2244Q kN M kNm ×= (2 A 点的应力状态(3 截面几何性质x34875 15800360 136 10 15.8z W cm I cm h mm B mm b mm t mm=(4应力分量(3822223228220.36140104479.75158001

12、00228241670100.1360.360.3620.015815800100.0180.3620.01580.010.36241620.56x z y xyz h M MPaI h t Q B b h h h t I b MPa×××=×=+×=××××+= (5斜截面上的应力60cos 2sin 22279.7579.75cos12020.56sin120222.13sin 2cos 2279.75sin12020.56cos120224.25ox y x yxy o oxyxy o oMPa M

13、Pa =+=+=+××=+=×+×=(6主方向0002220.5620.51679.7513.6 9076.4xyx yo o otg ×=+=(7主应力 max min 12384.75.084.7 0 5.0MPa MPa MPa MPa =8.12. 图示二向应力状态的应力单位为MPa 。试作应力圆,并求主应力。 解:(1 用水平面截得 其中80 0 50 60o x xy MPa MPa =(2 求应力分量50cos 2sin 2228080cos(12002240x yx yxy y yo y MPa+=+=+=(3 主应力1280

14、40 0x y MPa MPa 3= (4 应力圆 8.15. 试求图示各应力状态的主应力及最大切应力,应力单位为MPa 。 (bxy z解:(1 z 面为一主平面,其上面的正应力为一主应力;(2 分析xy 平面的应力分量MPa MPa MPa xyy x 40 20 30=(3 求主应力大小 max min12352.242.252.2 50 42.2MPa MPa MPa MPa MPa=(4 最大剪应力13max 47.22MPa =8.16. 列车通过钢桥时,用变形仪测得钢桥横梁A 点的应变为x =0.0004,y = -0.00012。试求A点在x 和y 方向的正应力。设E =200

15、 GPa ,=0.3。 解:根据广义虎克定义:11( (x x y y y x EE= 解得92292220010(0.00040.30.0001280110.320010(0.000120.30.00040110.3x x y y y x E MPaE ×=+=×=×=+=+×= 7-8. 边长为10 mm 的立方铝块紧密无隙地置于刚性模内,如图所示,模的变形不计。铝的E =70 GPa ,=0.33。若P =6 kN ,试求铝块的三个主应力和主应变。 xyz解:(1 z 方向的应力MPa Pa A P z 601060101010600066=

16、15;=××= (2 x 方向和y 方向的线应变为零(6221(01(010.3310.33601029.6 110.33x x y z y y z x x y z E EMPa =+=+=+=×=(3 x 、y 、z 三个方向是主方向,主应力是12329.6 60MPa MPa =(4 x 、y 、z 三个方向的主应变(12332164901(1600.33229.610 5.78107010E =+=×××=×× 8.18. 从钢构件内某一点的周围取出一部分如图所示。根据理论计算已经求得=30 MPa ,=15

17、 MPa 。材料E =200 GPa 。=0.30。试求对角线AC 的长度改变l 。 解:(1 应力分量30 0 15x y xy MPa MPa =(2 求30o 和-60o 斜截面上的正应力:3060cos 2sin 2223030cos6015sin 6035.522cos 2sin 2223030cos(12015sin(120 5.522x yx yxy x y x yxy MPa MPa °°+=+=+°+=+=+=+°+°=(3 求30o 方向的线应变64303060911(35.490.3 5.4910 1.861020010E

18、 °°°=+××=××(4 求AC 的长度变化4330251.8610109.310sin 30l 3AC m °=×=×××=×°m 8.24. 某厚壁筒横截面如图所示。在危险点处,t =500 MPa ,r =-350 MPa ,第三个主应力垂直于图面是拉应力。且其数值为420 MPa 。试按第三和第四强度理论计算其相当应力。 解:(1 危险点处的主应力为:123500 420 350MPa MPa MPa =(2 按第三强度理论计算其相当应力313500350850r MPa =+=(3 按第四强度理论计算其相当应力 4813 r MPa= 8.25. 铸铁薄壁圆管如图所示。若管的外径为200 mm ,厚度 =15 mm ,管内压力p =4 MPa ,P =200 kN 。铸铁的抗拉许用压力t =30 MPa ,=0.25。试用第一和第二强度理论校