平均数教学案例与评析

1、“平均数”教学案例与评析杭州现代小学数学教育研究中心 唐彩斌点评：中科院心理所博导、教授 张梅玲一、问题的提出“平均数”教学可以说是一节“传统老课”，很多的老师都用自己的课堂诠释着对平均数的独特理解，很多的创见也得到了广大教师的认可和效仿。然而，在笔者选择这一课题再去实践的时候，却仍然发现了一些值得讨论的问题：学生不是不熟练于平均数的求解，而是当面对一组数据的时候，不能分辨该不该求平均数？是不是一定要求平均数？即便是求出了平均数的结果时，并不明白为什么要求平均数？平均数到底表示的什么？如果说在平均数的教学中，计算技能的掌握是一贯重视的，而相关的科学分析能力可能是曾被忽视的。基于此，笔者设计“平

2、均数”教学，尝试探讨相关的问题。二、教学的实践教学预设目标：1、学生基于对平均数的初步理解，通过丰富的素材进一步感受到平均数的必要和重要；2、经历在不同问题情境中应用平均数的过程，提高灵活应用平均数的水平；3、在应用平均数解决问题的过程中，感受数学与日常生活的联系，增强应用意识，提高学习数学的兴趣。教学主要过程：（一）创设情境，感受平均数是一组数的代表数。1、师：同学们，你们喜欢画画吗？平时你们画画，总是老师给你们打分，今天我们换换角色，让你们来给一幅画打打分，你们愿意吗？生：愿意。师：你觉得这幅画怎么样？打好分数写在纸上。生开始各自写分数，师叫几个学生介绍自己的打分。2、师：这是你一个人的想

3、法，接下来，和小组伙伴交流一下，如果要用一个分数来代表你们小组的意见，你们觉得该是几分？生：（分数5，5，5，7），我们选择5分，因为5分选的人多。生：（分数6，7，7，8），我们选择7分，因为7是中间的数。生：（分数5，5，9，9），我们选择7分，因为平均数是7。生：（分数6，8，8，9），我们选择8分，因为比较接近8分。3、师小结：看来，要用一个数来代表一组数的情况，有的人用中间的数，有的人用出现次数最多的数。为了更为精确地代表一个数，我们可以用平均数。备注：创设的情境是：学生给一幅名画打分。努力满足好情境的条件：能吸引学生的学习兴趣，能为学习数学知识做准备。让学生作主给画打分，这种“拍板

4、权”是人本源的一种自我实现的需要。而学生各自所打出的分数也将为学习平均数做准备，所以此情境直指教学目标，是一种高效的导入方式。（二）在应用中，巩固求平均数的技能。1、师：平均数在生活中到底有哪些应用呢？让我们一起去看一看。这些运动员是从事什么运动项目的呢？我们一起来算一算。姓名姚明刘炜李可胡雪峰杜锋王博身高（m）2.261.902.081.852.072.02 请你计算出他们的平均身高。 你发现了什么？姓名占旭刚张国政唐功红刘春红体重（）797211970请你计算出他们的平均体重。你发现了什么？2、学生独立思考，列式计算，然后小组之间讨论。发现第一组运动员的平均身高比较高，判断他们是蓝球运动员

5、，第二组运动员的平均体重比较重，他们是柔道运动员。备注：以上的两个平均数比较具有现实意义，能够反映现实生活中的一个典型水平。而对于学生掌握求平均数的技能来说，这两个实际问题的解决也正是正面强化这一技能的形成。花絮：在判断第一组的时候，有同学不算也猜出来了，因为有一个名字：姚明，这时候我们可以发现，即便在小孩眼里，姚明已经是一种职业的象征；而当计算第二组的时候，比较有趣的是：举重运动员不仅举起来的东西比较重，而且举的人本身也比较重。这的确是一种有趣的现象，也的确是一种普遍的典型水平。（三）灵活应用，感受平均数的特征。师：平均数在实际生活中有着广泛的应用，到底怎样灵活应用平均数，让我们一起去一些比

6、赛的现场看一看。1、 少儿歌唱比赛 评委选手李吴王张刘2号587693号28889师：谁是冠军？生：两个人并列冠军：因为平均分是一样的。师：如果这样宣布比赛的结果，有一位选手可能对一位评委有意见？你们认为谁啊？生：3号选手一对李评委的打分有意见，他为什么把我的分打的那么低？备注：平均数容易受两极数据的影响，有时求平均数要略加处理。在现实生活中也为了更加合理地表达一个人的真正水平，总是先去掉一个最高分和一个最低分。这样的求得平均数就比较合理了。这种现象在众多电视节目中都有体现，而这种社会现象都会对学生学习平均数形成经验，对学习产生积极的影响。2、 实心球比赛 次数姓名122强强45m5 m55

7、m迪迪3 m6 m3 m你们认为谁是冠军？（请说明理由）。同意强强是冠军的举手？（全班都举手了）同意是迪迪是冠军的举手？（没有人举手。）备注：看到一组数据，是不是用平均数来代表一组数据，要看具体的情况。有的时候并不是选用平均数的。而在这个问题的解决中，学生受到思维的定势，就只用平均数。在老师的启发下，学生才回忆起自己的生活经验，根据最高分来决定成绩的排名。虽然是让学生出错了，但这个错误的经历对于学生的学习留下了深刻的印象，促动了思维灵活性。3、 跳绳比赛 选手组别1号2号3号4号5号6号7号第1组160175185172178180第2组161189165175167183178你们认为哪组是

8、冠军呢？（请写明理由）学生在之前的练习过程中，会有类似的想法：要比出分数的结果，不一定要平均数吗？用总数也能比出冠军吗？因为之前有的习题中份数是相同的，正因如此，本题就是为了突出应用平均数的必要性，让学生在比较中发现：用总数来比，不行，而用平均数来比，才比较恰当。备注：通过实例，区别平均数与总数的不同特征，尤其是当份数不同的时候，能较好地反映一组数据的典型水平，凸现平均数的特征。（四）联系生活，加深对平均数意义的理解。1、师：下面老师要给大家讲一个新“小马过河”的故事？森林里有两个马群，一个是黑马群，一个是黄马群，由于生长环境的不同，黑马群的平均身高是1.3米，黄马群的平均身高是1.2米，两个

9、马群各派出一匹马到河对岸取粮食，黑马一出来，还没看到黄马，就志高气昂地对别人说“我一定比黄马高”。2、组织学生讨论：黑马一定比黄马高吗？学生会举例说明：黑马群的平均身高是1.3米，但这只黑马比1.3米低呢，比如1.2米。黄马群的平均身高是1.2米，但这只黄马比1.2米高呢，比如1.5米。不就比黑马高了。学生的回答，总是能清楚地表达平均身高不是每匹马的身高。3、到底怎么样？呈现画面：黑马1.3米，黄马1.5米，他们来到小河边，小河的平均水深1.2米，黑马迫不及待地走下河，黄马却在想“会有危险吗？”，学生讨论：平均水深1.2米，但说不定比1.2米深的地方是1.6米，不就麻烦了。4、从学生的回答中，

10、平均数的特点已经理解到位。而这道题额外承载的教育含义却远不止这些，学生已经对黄马和黑马有了自己的看法：黑马：自高自大，骄傲，目光短浅；黄马呢，稳重，周到，细致。5、而在评价马的时候也折射出一些社会的现象：（因为当时在深圳上课，笔者就现场举例）一个是深圳特区，一个是西部的城镇，是不是特区的每一个人都比西部的每一个人都要富裕？这就不一定了。尽管，特区整体要优越很多。由此想来，生活的平均数，需要我们科学分析，正确应用。备注：平均数是一组数据的典型水平，但不是指每一个个体的真实水平。平均数是针对整体而言，不是针对个体的。除了数学知识的深刻认识，重要的是渗透了社会生活中的道理，这作为教育任务的数学必须承

11、载的，也是值得我们教师永恒追求的。三、实践后的反思1、置于整体，概念的特点更能显现；众所周知，同样看一个事物，从局部看局部，从整体看局部，显然显得更为清楚。而在数学学习的过程中，也有同样的道理。平均数是什么呢？我们需要一个全景式的了解，统计学认为，描述一组数据的特征量有三种：差异量，集中量和相关量。集中量就是表示一组数据的典型水平或集中趋势的量。集中量又分为众数，中位数与平均数。平均数又分为加权平均数，调和平均数和算术平均数。从现实情况看，小学生学习的平均数更多的是指算术平均数，较复杂的平均数中有加权平均数。有一个这样整体系统的认识，教学中更能抓住其本质特征。从这些背景知识中，可以发现：平均数

12、是众多集中量（小学生讲“代表数”比较容易理解）中的一个，并不唯一。反思第一环节，学生给名画打分的环节，要找一个能代表小组意见的分数时，从学生的回答中，我们可以看到除了平均数还有中间数和众数的雏形，这就是一个概念形成的真实的整体背景。2、丰富经历，认知的形成更加完整；有经历，才会有体验。在正面强化学生初步学会求平均数的基础上，教学时创设多个比赛场景，要求学生面对一组组的数据来评判谁是冠军？当学生面对唱歌比赛的分数结果时，生活经验的积累和认识的冲突结合在起来，感受到平均数作为一个集中量，在实际使用中有它的不足：容易受到两极数据的影响。当学生在面对实心球比赛成绩的时候，这种思维的定势是强烈的，学生一

13、看到一组数据就计算平均数，但是用来确定比赛结果的并不是平均数，而是他们的最大值。当学生面对两组人数不同的组进行跳绳比赛的时候，他们又一次发现：用总数不能比，用平均数比还是有着便利的一面。纵观一节课，可以发现不同的情境让学生有了不同的经历，而所形成的体验也可以说是“此起彼伏”，“学会了用，又不能盲目用”“知道了平均数的不足，又知道了平均数的便利”，伴随着这样的情感体验，学生对平均数的认识就显得完整了许多。3、加强联系，学习的价值更为丰实；数学联系，就本节课教学设计而言，主要指数学与其他学科的联系，以及数学与德育的联系。本节课上，在数学学习的过程中，有美术中的名画欣赏，有体育项目的特点介绍，还有体

14、育和音乐中各种比赛的规则。当然，这些也仅仅是数学学习的素材而已，而数学与德育的联系却并非只是形式而已。在课堂上，我们发现，面对世界上最伟大的画家之一凡高的名画“向日葵”的时候，学生打分却上下不一，有的打了5分还振振有词，折射出的高雅艺术与现实大众审美之间的矛盾，这也是社会的现实，其实，即便是成人看到名画，又何尝不是这样呢？当听完新“小马过河”的故事时，学生不仅对黄马和黑马赋予了人的个性特点，渗透了为人处事的作风，同时联想现实生活中的一些“平均数”，如重点中学的学生平均分数比一般学校高，那么是否就是就读重点中学好；好的单位平均公资比一般单位好，那么是否要选择好单位就业，以及“宁当鸡头不作凤尾”的

15、俗语，都是对学生的学习和生活有着长远的教育意义的。“作为教育任务的数学”看来承载的不只是数学的学习。虽然我们也反对“去数学化”，反对数学与其他学科的牵强联系，也不赞成“贴标签式的德育渗透”，但我们认同和倡导用儿童所能接受并喜欢接受的方式，加强联系，渗透德育，真正实现“数学教学，不只教学数学。”探索的核心是创新学习唐彩斌执教“平均数”的思考 张梅玲（中国科学院心理研究所）“平均数” 的教学可以说是一节“传统老课”，不少老师也经常以此内容作为观摩课。这次观看杭州唐彩斌执教的平均数，我感到对这节传统的老课仍闪射出新意并引人思考。一、参与中重体验。平均数是描述一组数据的典型水平和集中趋势的量。这节课的

16、引入一般的设计均采用人数不等各组比赛，从出现不公平而引出平均数。本节课的设计是让每个学生参与对一幅名画的打分，引出如何表示小组的意见。这种设计体现了让每个学生在参与中真切地感受到平均数是一组数的代表数。教育的真实本性应该是其过程，尤其面对尚以形象思维为主导思维的小学生来说。让每个学生在参与过程中去体验，应该是理解抽象概念的基础。另外，教师要求各小组用一个数来代表小组的意见，对这个问题的解决在策略上又体现了开放性。有的小组选择5分，因为5分选的人多；有的小组选择7分，因为7分是中间的数；同样选7分的，但是采用求平均数的策略；也有选择8分，因为比较接近8分。这种开放性的解决问题的策略，不仅体现了策

17、略的开放性，而且渗透了表示集中量的另外的方式（采用众数和中位数）在这种教学情境中，教师很自然地引出为了更精确地代表一组数，可以用平均数。我认为这种设计确实促使每个学生在真实的体验中感受到平均数。二、交往中重思考。课堂教学过程是师生之间、生生之间、个体与群体之间根据制定的目标，采用合适的方法所进行多边互动交往过程中动态生成的过程。作为数学教学，互动生成的核心应该是在思考中学会思考。本节课的交往情境的设计非常注重学生的积极思考。具体的设计一是通过求身高和体重来强化求平均数技能。二是通过少儿歌唱比赛，体验在日常生活中平均数的灵活应用。三是通过学生日常实心球比赛和跳绳比赛进一步深化对平均数的理解，尤其是实心球比赛，通过负迁移的产生来强化平均数。这几个情境的设计，充分体现出执教教师对本节课的设计理念淡化平均数的计算技能，而强化对平均数的理解和数学分析能力的提高。三、应用中求升华。知识的应用是概念学习的重要环节，也是长智慧的基础，每个学生对知识的学习只有在把知识应用到实践中去，并创造性地用知识去解决问题，这样才能使课堂的教学从学知识提升到长智慧。本节课的巩固知识这一环节，设计了“小马过河