弹性地基梁的计算

1、第3章 弹性地基梁的计算计算基础梁常用的三种假设：(1)地基反力按直线分布的假定； (2)文克尔假定； (3)地基为弹性半无限体(或弹性半无限平面)的假定。3.1按文克尔假定计算基础梁的基本方程 1. 弹性地基梁的挠度曲线微分方程 根据文克尔假定，地基反力用下式表达。 (3-1)式中，任一点的地基反力（kN/m2）相应点的地基沉陷量（m）弹性压缩系数（kN/m3）梁的角变，位移、弯矩、剪力及荷载的正方向均如图中所示。推导出基础梁的挠度曲线微分方程。图3-1 从弹性地基梁中取出微段，根据平衡条件=0，得 ()+0化简后变为 (3-2)再根据=0，得(+)+()+=0 整理并略去二阶微量，则得 (

2、3-3) 由式(3-2)和式(3-3)，知 (3-4) 若不计剪力对梁挠度的影响，则由材料力学中得 = (3-5) 将式(3-5)代人式(3-4)，并应用式(3-1)，则得 (3-6) 令 （3-7） 代入式(3-6)，得 (3-8) 式中叫做梁的弹性标值。 式(3-8)就是弹性地基梁的挠度曲线微分方程。 为了便于计算，在上式中用变数代替变数，二者有如下的关系： (3-9) 将上式代入式(3-9)，则得 (3-10) 2. 挠度曲线微分方程的齐次解解的一般形式为： （3-11） 在上式中引用了 ， 3.2按文克尔假定计算短梁 1. 初参数和双曲线三角函数的引用 图示一等截面基础梁，设左端有位移

3、，角变、弯矩和剪力，它们的正方向如图中所示。求式(3-11)的各阶导数，并应用梁左端的边界条件，注意当0时chcosl，sh=sin=0。得到： 解以上四式，求出 （3-12） 图3-2 这样，将式(3-11)中的四个常数C1至C4用、和表达。 将式(3-12)代入式(3-11)中，变为 chcos+（chsin+shcos）shsin（chsinshcos） (3-13) 为了计算方便，引用下列记号： =chcos =chsin+shcos (3-14)=shsin=chsin-shcos 其中、叫做双曲线三角函数。这四个函数之间有如下的关系： (3-15) 将式(3-14)代入式(3-13

4、)并按式(3-7)消去，再按式(3-5)逐次求导数，并注意式(3-15)，则得以下各式： (3-16) 2荷载引起的附加项 (1)集中荷载引起的附加项 将座标原点移到荷载的作用点。因为仅考虑的作用，故在它的作用点处的四个初参数为, ， , 用、和代换式(3-16)中的、与则得 (3-17)式(3-17)即为荷载P引起的附加项。式中双曲线三角函数、均有下标，表示这些函数随变化。当求荷载P左边各截面的位移，既角变，弯矩和剪力时只用式(3-16)即可，不需用式(3-17)，因此，当时式(3-17)不存在。 (2)力矩引起的附加项 当梁只作用着力矩时，将座标原点移到力矩的作用点，此点的四个初参数为 ,

5、 ， , 用、Mx2、Qx2，代换式(3-16)中的、就得力矩M引起的附加项如下： (3-18) 式中、均有下标，表示这些函数随变化。当时式(3-18)不存在。 (3)分布荷载q引起的附加项 设求座标为截面的位移、角变、弯矩和剪力。将分布荷载看成是无限多个集中荷载qdu，代入式(3-17)，得 (3-19) 在式(3-19)中、随(x-u)变化。如视x为常数，则d(x-u)= -du考虑这一关系，并注意式(3-15)，得下列各式： (3-20)将以上各式代人式(3-19)，再施用部分积分，则得 (3-21) 式(3-21)就是求分布荷载q的附加项的一般公式。(a)梁上有一段均布荷载的附加项(图

6、3-3)：这时，0，代入式(3-21)得附加项为 (b)梁上有一段三角形分布荷载的附加项(图3-3)：梁上有一段三角形分布荷载。在到区段内任一点的荷载集度为 而 将以上关系代入式(3-21)，则得 (3-23) 在式(3-22)和式(3-23)中，函数的下标有的为，在式(3-23)中第一个方括号内还有乘数。使用此二式时要注意，当小于或等于时，圆括号内的均应换为，即改为，()改为()。(c)梁的全跨布满均布荷载的附加项(图3-4)：当均布荷载布满梁的全跨时，则=0，并且任一截面的座标距永小于或等于。这样，将式(3-22)中各函数的下标改为，则 ，由此，得全跨受均布荷载的附加项为 (d)梁的全跨布

7、满三角形荷载的附加项(图3-4)：当三角形荷载布满梁的全跨时，=0，任一截面的座标距永小于或等于。与推导式(3-23)相同，从式(3-23)得 (3-25) 式(3-25)就是梁的全跨布满三角形荷载时的附加项。 图3-3 图3-4 在衬砌结构的计算中，常见的荷载有均布荷载、三角形分布荷载、集中荷载和力矩荷载，根据这几种荷载，将以上求位移、角变、弯矩和剪力的公式综合写出如下： = (3-26)= 式(3-26)中, 表示附加项只当>时才存在，余类推。例题3-1 图3-5所示基础梁，长度=4m，宽度b=0.2m。EJ=1333kN-m2。地基的弹性压缩系数K=40000 kNm3，梁的两端自

8、由。求梁截面1和截面2的弯矩。解：(1)查出双曲线三角函数 因梁宽b=0.2m，故K值须用 K=0.2×40000=8000 kNm 2 从表中查出各值，见表3-1 图3-11 表3-1x(m)x 1 2 3 4 l.1 3.2 3.3 4.4 0.7568 -3.6882 -13.4048 -13.5180 2.093O 1.0702 -15.5089 -51.2746 1.1904 3.6036 -2.1356 -38.7486 O.8811 6.3163 11.2272 -26.2460(2)确定初参数、Q。 由梁左端的边界条件，知。 =0， Q。=0其它两个初参数和可用梁右端

9、的边界条件 M=0与Q=0由式(3-26)确定。 因梁上作用着一段均布荷载q0，故须将式(3-22)迭加到式(3-26)中。尚须注意： =3m，= 0，=2m。这样，便可写出下列二式 将值，K值和表3-1中相应的值代入以上二式中，得 3.6036+38.7486=0 1.0702+51.2746-40×0.7568=0 解出 =0.00247m， = -0.0001188。 以上将四个初参数、Q。都求出来了。 (3)求截面1与截面2的弯矩 将式(3-22)迭加到式(3-26)中。集中荷载P的附加项对截面1和截面2的弯矩没有影响。并注意=0，由此，则得 将值，K值、和表3-1中相应的值

10、代人上式，算出截面1与截面2的弯矩如下： (a)截面1的弯矩 截面1距座标原点x=1m，在均布荷载范围以内，故应等于，因此，为零。截面1的弯矩 = = -0.270kN-m (b)截面2的弯矩 截面2在均布荷载范围以外，故=2m，=3m。可得截面2的弯矩 = = 7.957kN-m 3.3按文克尔假定计算长梁 1无限长梁梁的挠度曲线方程(3-11)又可写为： 当趋近于时，梁的值应趋近于零。根据这一关系，上式变为 (3-28)再确定常数A3与A4。依据式(3-5)求的各阶导数，得 图3-6 (3-29)在荷载作用点O。应有 和 代人式(3-29)，得 注意式(3-7)，解出 将A3及A4代入式(

11、3-28)和式(3-29)中，得以下各式： (3-30) 引用符号，令 (3-31)因此，式(3-30)变为 (3-32)式(3-32)就是计算无限长梁的方程。其中函数可以从表中查出，它们之间存在下列关系： ，, 用式(3-32)计算图3-6所示的无限长梁，求出地基反力和、及的曲线如图中所示，距离荷载P越远则、和越小。计算证明，与荷载P的作用点距离为处，荷载的影响很小。因此，给出如下的规定：当集中荷载P与梁端的距离x满足 时，则可按无限长梁计算。 有的文献中规定，当2.75时即可按无限长梁计算。 例题3-2 图3-7所示基础梁，E=2×l08kNm2，J=2500×10-8

12、m4，梁的宽度b=20cm。地基的弹性压缩系数K=15×l04kNm3，求点B的挠度及弯矩 (1)判定梁的类别 因梁的宽度b=20cm，故K值须用 K=0.2×15×l04=30000kNm2根据式(3-7)求出梁的弹性标值为 靠近梁端的荷载至梁端的距离为3.6m，则=1.1×3.6=3.86>2.75故可按无限长梁计算。 图3-7 (2)查出双曲线三角函数将座标原点分别放置于A、B，C、D各点，从表中查出各值见表3-2。 表3-2荷载至点B的距离x01m2m01.13.21.0000 -O.1457-O.15481.00000.44760.0244(3)计算点B的挠度和弯矩 由式(3-32)求出点B的挠度和弯矩为=0.00355m =(1-2×2半无限长梁左端的边界条件为(参照图3-8)，代人式(3-29)中则得, 解出 ， 将A3和A4代人式(3-28)与式(3-29)中，得 (3-33) 在上式中引用式(3-31)中的各函数，并注意 则变为 (3-34) 图3-8所示的梁当它的长度满足 (或2.7