康托尔集合论

1、康托尔集合论-罗素悖论-公理化集合论-不完全性定理1. 第二次数学危机的解决-集合论成了全部数学的基础。(第二次数学危机详细见参考中三次数学危机.) 19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass创立了 极限理论，19世纪70年代初，外尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理.从而把无穷小量从形而上学

2、的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。而严密的实数理论可以由集合论推出。集合论是19世纪70-80年代由德国数学家康托尔创立，它建立在一种无限观“实无限”的基础上。所谓“实无限”，即把“无限”作为一个已经完成了的观念实体来看待。例如，在集合论中用N=n：n是自然数表示全体自然数的集合就是如此。需要指出的是，在此之前的几千年数学发展史中，占主导地位的是另一种无限观，即古希腊哲学家亚里士多德所主张的“潜无限”观念。所谓“潜无限”，是把“无限”作为一个不断发展着的、又永远无法完成的过程来看待。例如，把自然数看成一个不断延伸的无穷无尽的序列1，2，3，n

3、，就是如此。 集合论是数学观念和数学方法上的一次革命性变革，由于它在解释旧的数学理论和发展新的数学理论方面都极为方便，因而逐渐为许多数学家所接受。实数理论奠定在集合论的基础上，而且各种复杂的数学概念都可以用“集合”概念定义出来，而各种数学理论又都可以“嵌入”集合论之内。因此，集合论就成了全部数学的基础，而且有力地促进了各个数学分支的发展。现代数学几乎所有的分支都会用到集合这个概念。2. 康托尔集合论(现在有人也称之为朴素集合论)面料挑战.从康托尔创立了数学领域中的“集合论”，用集合论中的观点来诠释各个数学概念之间的逻辑关系，真可谓是“天衣无缝”。因此集合论被誉为“数学大厦的

4、基石”。然而事情并非总是顺利的。1900年左右，正当康托尔的思想逐渐被人接受，并成功地把集合论应用到了许多别的数学领域中去，大家认为数学的“绝对严格性”有了保证的时候，一系列完全没有想到的逻辑矛盾，在集合论的边缘被发现了。开始，人们并不直接称之为矛盾，而是只把它们看成数学中的奇特现象。1897年意大利数学家布拉里.福尔蒂揭示了集合论的第一个悖论。1899年，康托尔发现了 “康托尔悖论”，亦称“最大基数悖论”。福尔蒂和康托的悖论只涉及到集合论中的结果，没有引起当时数学家们的足够重视。但罗素于1901年5月发现了一个悖论。它除了涉及集合概念本身外不需要别的概念。此后又有其他朴素集合论的悖

5、论出现, 例如理查德悖论, 培里悖论, 格瑞林和纳尔逊悖论等. 集合论的现代悖论与逻辑的几个古代悖论还有关系。例如，公元前4世纪的欧伯利得悖论：“我现在正在做的这个陈述是假的。”埃皮门尼德（公元前6世纪，克利特人）悖论：“克利特人总是说谎的人。”3. 罗素悖论和理发师悖论罗素悖论的数学表达：设性质P(x)表示“x不属于x ”，现假设由性质P确定了一个类A-也就是说“A全集P(x)(x属于A 与 x不属于A 性质不能同时成立 )”。那么现在的问题是：A属于A 是否成立？首先，若A属于A&

6、#160;，则A是A的元素，那么A具有性质P，由性质P知A不属于A ；其次，若A不属于A ，也就是说A具有性质P，而A是由所有具有性质P的类组成的，所以A不属于A 。罗素悖论的普通表达:“一切不包含自身的集合所形成的集合是否包含自身？”答案如果说是，即包含自身，属于这个集合，那么它就不包含自身；如果说否，它不包含自身，那么它理应是这个集合的元素，即包含自身。可能有人看不懂罗素悖论，没关系，罗素本人就用通俗的“理发师悖论”作了比喻；理发师自称，他给所有自己不刮胡子的人刮胡子，但不给任何自己刮胡子的人刮胡子。试问理发师该不该给自己刮胡子？如果他从来不给自己刮胡子，就属

7、于“自己不刮胡子的人”。根据他的自称，他就应该给自己刮胡子，但是，一旦他给自己刮胡子，他就成了“自己刮胡子的人”了。还是根据他的自称，他就不应该给自己刮胡子。所以不管理发师的胡子由谁来刮，都会产生矛盾。罗素悖论的详细解释:把集合分成两类，凡是不以自身作为元素的集合称为正常集P(x) 表示“x不属于x ”.(或称一种叫自吞的,一种叫非自吞的,或说自包含的,非自包含的.或说正常的,非正常的.)，（例如，自然数集合N本身不是自然数, 数学表达N不属于N. 因此N是正常集。再例如:所有彩虹网友的集合不是彩虹网友. 所有男人的集合不是男人）凡是以自身作为

8、元素的集合称为异常集。（例如，所有的非生物的集合F并非生物，数学表达F属于F.因此F是异常集。所有非植物的集合不是植物.所有非质数的集合不是质数.等等）每个集合或者为正常集或者为异常集。设A为全体正常集(性质P)所组成的集合，那么A是不是正常集？如果A是正常集，由正常集P的定义知A不属于A，又因A是全体正常集的集合，所以正常集A属于A.但这说明A不是正常集，是异常集；反之，如果A不是正常集，是异常集，那么由异常集的定义知A属于A，这说明A是全体正常集组成的集合A的元素，因而A又应该是正常集。4. 公理化集合论的建立和完善.集合论中悖论的存在，明确地表示某些地方出了毛病。自从悖论被发现

9、之后，关于这一课题发表了大量的文章，为解决它们作过了大量的尝试。激进的是以荷兰数学家布劳威尔为代表的直觉主义学派，他们对集合论采取了全盘否定的态度，并认为“实无限”的观念是集合论悖论产生的根源。还有以罗素为代表的逻辑主义.特别突出的是以希尔伯特为代表的形式主义数学学派。这方面的代表性成果是公理集合论，它已成为现代数学的一个重要分支。公理集合论采用公理化的方法来刻画集合和集合的运算，并对康托尔集合论中的“概括原则”作了修正。就数学而论，看来有一条容易的出路：人们只要把集合论建立在公理化的基础上，加以充分限制以排除所知道的矛盾。第一次这样的尝试是策梅罗于1908年做出的。以后还有多人进行加工。但是

10、，此种方式曾受到批评，因为它只是避开了某些悖论，而未能说明这些悖论；此外，它不能保证将来不出现别种悖论。策梅罗的公理化集合理论中，集合这个概念一直不加定义，而它的性质就由公理反映出来。他不说什么是集合，而只讲从数学上怎样来处理它们，他引进七条公理：决定性公理(外延公理)、初等集合公理(空集公理、单元素公理、对集公理)、分离公理、幂集公理、并集公理、选择公理、无穷公理(稍稍改变一下原来形式)。 受到的批评：1)、为了讨论集合，我们必须从对象“域”开始，也就是用某种方法构成的域；2)、策梅罗关于确定的命题要有一个定义使得它精确化；3)、在所有完全的公理化中，集合论的概念不可避免地是相对的

11、；4)、策梅罗的公理系统不足以提供通常集合论的基础；5)、当人们打算证明公理的无矛盾时，谓语句所引起的困难；6)、对象域B的不唯一性；7)、数学归纳法对于抽象给出的公理系统的必要性；8)、选择公理的问题。 兰克尔改进的策梅罗集合论公理系统，再加上选择公理是足够数学发展所需的，但是还需要加一条限制性的公理，即除了满足这些公理的集合之外没有其他的集合。 为排除一个悖论涉及所谓基础集合，为了排除这种集合，冯诺依曼引进公理9(基础公理). 对改进后的ZF集合论公理系统的批评:这样施加限制有点不必要地过分严格，使得数学家在论证过程中失掉一些有时有用的论证方式，而这些论证方式

12、似乎是没有恶性循环的。仍然存在许多问题，例如：不可达基数和序数是不是存在？；连续统假设是否能够证明；公理系统的协调性和独立性，从三十年代之后，为了解决这些问题，公理集合论掀开了新的一页。5.公理系统的最后努力遇到了不完全性定理:1930年前，整个数学界是非常乐观的：希尔伯特的思想占统治地位；数学是建立在集合论和数理逻辑两块基石之上；康托尔的朴素集合论已被公理集合论所代替，从而消除了悖论；选择公理是一个很好的工具，数学中许多部门都要用到它；连续统假设仍然是悬案，不过希尔伯特多次觉得自己已接近解决这个难题，看来前景是乐观的；大部分数学可以建立在谓词演算的基础上，而一阶谓词演算的公理系统是无矛盾的，

13、尽管其完全性仍有待证明；整个数学的基本理论是自然数的算术和实数理论，它们都已经公理化。这些公理系统应该是无矛盾的、完全的，如果它们能够得证，并且集合论公理系统也能得到同样的结果，那么整个数学就比较牢靠了。为了不使一小撮直觉主义者指手划脚、评头品足，希尔伯特提出他的计划：把理论系统形式化，然后通过有限多步证明它们没有矛盾。他信心十足，在1930年9月东普鲁士哥尼斯堡的科学会会议上，他批判了不可知论。1928年希尔伯特提出四个问题：1)、分析的无矛盾性。1924年阿克曼和1927年冯诺依曼的工作使希尔伯特相信只要一些纯算术的初等引理即可证明。1930年夏天，哥德尔开始研究这个问题，他不理解希尔伯特

14、为什么要直接证明分析的无矛盾性。哥德尔认为应该把困难分解：用有限主义的算术证明算术的无矛盾性，再用算术的无矛盾性证明分析的无矛盾性，哥德尔由此出发去证明算术的无矛盾性而得出不完全性定理。2)、更高级数学的无矛盾性，特别是选择公理的无矛盾性。这个问题后来被哥德尔在1938年以相对的方式解决。3)、算术及分析形式系统的完全性。这个问题在1930年秋天哥尼斯堡的会议上，哥德尔已经提出了一个否定的解决，这个问题的否定成为数理逻辑发展的转折点。4)、一阶谓词逻辑的完全性。这个问题已被哥德尔在1930年完全解决。这样一来，哥德尔的工作把希尔伯特的方向扭转，使数理逻辑走上全新的道路。哥德尔的不完全性定理：这

15、是数理逻辑最重大的成就之一，是数理逻辑发展的一个里程碑和转折点。哥德尔在研究过程中直接考虑悖论及解决悖论的方法，从而把第三次数学危机引导至另外一个方向上。哥德尔证明不完全性定理是从考虑数学分析的协调性问题开始的。1930年秋在哥尼斯堡会议上，他宣布了第一不完全性定理：一个包括初等数论的形式系统，如果是协调的，那就是不完全的。不久之后他又宣布：如果初等算术系统是协调的，则协调性在算术系统内不可证明。哥德尔的证明使用了“算术化”的方法。哥德尔说：“一个系统的公式从外观上看是原始符号的有穷序列。不难严格地陈述，哪些原始符号的序列是合适公式，哪些不是；类似地，从形式观点看来，证明也只不过是(具有某种确

16、定性质的)一串公式的有穷序列”。因此，研究一个形式系统实际上就是研究可数个对象的集合。我们给每个对象配上一个数，这种把每一个对象配上一个数的方法称为“哥德尔配数法”。哥德尔通过这些数反过来看原来形式系统的性质。哥德尔研究了46种函数和谓词，哥德尔证明了他的前45个函数和谓词都是原始递归的。但第46个谓词为“X是一个可证公式的哥德尔数”。在对哥德尔配数的系统中，可以得到一个公式，它相当于：我是不可证的。所以这个句子是不可证的且是真的。所以系统中存在真语句而又不可证，也就是系统不完全。哥德尔的论文在1931年发表之后，立即引起逻辑学家的莫大兴趣。它开始虽然使人们感到惊异不解，不久即得到广泛承认，并

17、且产生巨大的影响：哥德尔的证明对希尔伯特原来的计划是一个巨大的打击，因此把整个数学形式化的打算是注定要失败的，因而逻辑主义和形式主义的原则是不能贯彻到底的；“希尔伯特计划”中证明论的有限主义观点必须修正，从而使证明论的要求稍稍放宽。1936年甘岑在容许超穷归纳的条件下证明了算术的无矛盾性，而倡导有限构造主义的直觉主义也不能解决问题；哥德尔的工具递归函数促进了递归函数论的系统研究，同时推动了不可判定问题的研究，开始出现递归论的新分支。哥德尔不完全定理的证明结束了关于数学基础的争论不休的时期，数学基础的危机不那么突出表现出来。数理逻辑形成了一个带有强技巧性的独立学科，而绝大部分数学家仍然把自己的研

18、究建立在朴素集合论或ZF公理集合论的基础上。尽管集合论中存在矛盾，但这些矛盾大部分均可回避。研究这些矛盾，特别是集合论的矛盾变成数理逻辑学家的事业。因为矛盾也好、危机也好，根源在于无穷，但是数学中毕竟少不了无穷。归根结蒂，数学终究是研究无穷的科学。6. 哥德尔第一不完全性定理哥德尔第一不完全性定理：一个包括初等数论的形式系统，如果是协调的，那就是不完全的。不久之后他又宣布：如果初等算术系统是协调的，则协调性在算术系统内不可证明。哥德尔不完备定理，将数学基础研究的哲学意义，揭示得更加明显。哥德尔不完备定理是说：当一个演绎系统是自足的（不矛盾的），总有至少一个或几个前提是在系统内不能证明

19、的。例如，在相对论中，光速C恒定且最大这个前提，就是不能在相对论演绎系统中证明的。如果我们要证明数学理论的相容性或完备性（这两者被视为数学真理性的要求），必须要依靠该数学理论以外的论据，也就是说我们需要更大的系统来说明理论本身是真的，在此之前，我们还需要更更大的系统来说明那个被扩大的系统是真的到了最後，无一处是独立的真理，因为每一个系统的真理性都依赖於其它系统的真理性，这个特徵不仅表现在数学之中，也表现在人类的所有语言形式之中。对於一个足够复杂的数学理论，并非所有的真命题在系统内都是可证的，就连其一致性在系统内也是不可证。某个程度可以这样说，当我们指出某个理论系统是真理性的，最低限度有其信念的成分，在那些不能完全证明的地方，